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2002 AMC 12B Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2002 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Sea △XOY\triangle XOY un triángulo rectángulo con m∠XOY=90∘.m\angle XOY=90^\circ. Sean MM y NN los puntos medios de los catetos OXOX y OY,OY, respectivamente. Dado que XN=19XN=19 y YM=22,YM=22, halla XY.XY.
Let △XOY\triangle XOY be a right-angled triangle with m∠XOY=90∘.m\angle XOY=90^\circ. Let MM and NN be the midpoints of legs OXOX and OY,OY, respectively. Given that XN=19XN=19 and YM=22,YM=22, find XY.XY.
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Respuesta: B
Conceptos:triángulo rectángulomediana (geometría)Teorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Sea OM=a,OM=a, ON=bON=b; entonces 192=(2a)2+b219^2=(2a)^2+b^2 y 222=a2+(2b)222^2=a^2+(2b)^2.
Let OM=a,OM=a, ON=bON=b; then 192=(2a)2+b219^2=(2a)^2+b^2 and 222=a2+(2b)222^2=a^2+(2b)^2
Pista grande:
Suma las ecuaciones para obtener 5(a2+b2)5(a^2+b^2); observa que XY=2a2+b2XY=2\sqrt{a^2+b^2}.
Add the equations to get 5(a2+b2)5(a^2+b^2); note that XY=2a2+b2XY=2\sqrt{a^2+b^2}
Solución:
Sea OM=aOM=a y ON=b.ON=b. Como M,NM,N son puntos medios, XN2=(2a)2+b2=361XN^2=(2a)^2+b^2=361 y YM2=a2+(2b)2=484.YM^2=a^2+(2b)^2=484.
Al sumar, 5(a2+b2)=845,5(a^2+b^2)=845, así que a2+b2=169.a^2+b^2=169. Entonces MN=a2+b2=13,MN=\sqrt{a^2+b^2}=13, y como MNMN es el segmento medio que une MM y N,N, tenemos XY=2 MN=26.XY=2\,MN=26.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let OM=aOM=a and ON=b.ON=b. Since M,NM,N are midpoints, XN2=(2a)2+b2=361XN^2=(2a)^2+b^2=361 and YM2=a2+(2b)2=484.YM^2=a^2+(2b)^2=484.
Adding, 5(a2+b2)=845,5(a^2+b^2)=845, so a2+b2=169.a^2+b^2=169. Then MN=a2+b2=13,MN=\sqrt{a^2+b^2}=13, and since MNMN is the midsegment joining MM and N,N, we have XY=2 MN=26.XY=2\,MN=26.
Thus, the correct answer is B.
Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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