Question

Sea $\triangle XOY$ un triángulo rectángulo con $m\angle XOY=90^\circ.$ Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los catetos $OX$ y $OY,$ respectivamente. Dado que $XN=19$ y $YM=22,$ halla $XY.$

Let $\triangle XOY$ be a right-angled triangle with $m\angle XOY=90^\circ.$ Let $M$ and $N$ be the midpoints of legs $OX$ and $OY,$ respectively. Given that $XN=19$ and $YM=22,$ find $XY.$

$24$

$26$

$28$

$30$

$32$

Solución:

Sea $OM=a$ y $ON=b.$ Como $M,N$ son puntos medios, $XN^2=(2a)^2+b^2=361$ y $YM^2=a^2+(2b)^2=484.$

Al sumar, $5(a^2+b^2)=845,$ así que $a^2+b^2=169.$ Entonces $MN=\sqrt{a^2+b^2}=13,$ y como $MN$ es el segmento medio que une $M$ y $N,$ tenemos $XY=2\,MN=26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $OM=a$ and $ON=b.$ Since $M,N$ are midpoints, $XN^2=(2a)^2+b^2=361$ and $YM^2=a^2+(2b)^2=484.$

Adding, $5(a^2+b^2)=845,$ so $a^2+b^2=169.$ Then $MN=\sqrt{a^2+b^2}=13,$ and since $MN$ is the midsegment joining $M$ and $N,$ we have $XY=2\,MN=26.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años