Question

Una operación binaria $\diamond$ tiene las propiedades de que $a\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c$ y que $a\diamond a=1$ para todos los números reales no nulos $a,$ $b,$ y $c.$ (Aquí el punto $\cdot$ representa la operación de multiplicación usual.) La solución de la ecuación $2016\diamond(6\diamond x)=100$ puede escribirse como $\dfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p+q$ ?

A binary operation $\diamond$ has the properties that $a\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c$ and that $a\diamond a=1$ for all nonzero real numbers $a,$ $b,$ and $c.$ (Here the dot $\cdot$ represents the usual multiplication operation.) The solution to the equation $2016\diamond(6\diamond x)=100$ can be written as $\dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p+q?$

$109$

$201$

$301$

$3049$

$33{,}601$

Solución:

Al poner $b=c=a$ se obtiene $a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a)$ $=(a\diamond a)\cdot a=a.$ Luego, al poner $c=b$ se obtiene $a=a\diamond 1$ $=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b,$ así que $a\diamond b=\dfrac{a}{b}.$

Por lo tanto $\begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{6/x}\\ =336x=100, \end{gathered}$ así que $x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84}$ y $p+q=25+84=109.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Setting $b=c=a$ gives $a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a)$ $=(a\diamond a)\cdot a=a.$ Then setting $c=b$ gives $a=a\diamond 1$ $=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b,$ so $a\diamond b=\dfrac{a}{b}.$

Therefore $\begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{6/x}\\ =336x=100, \end{gathered}$ so $x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84}$ and $p+q=25+84=109.$

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años