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2016 AMC 12A Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2016 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Una operación binaria ⋄\diamond tiene las propiedades de que a⋄(b⋄c)=(a⋄b)⋅ca\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c y que a⋄a=1a\diamond a=1 para todos los números reales no nulos a,a, b,b, y c.c. (Aquí el punto ⋅\cdot representa la operación de multiplicación usual.) La solución de la ecuación 2016⋄(6⋄x)=1002016\diamond(6\diamond x)=100 puede escribirse como pq,\dfrac{p}{q}, donde pp y qq son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale p+qp+q?
A binary operation ⋄\diamond has the properties that a⋄(b⋄c)=(a⋄b)⋅ca\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c and that a⋄a=1a\diamond a=1 for all nonzero real numbers a,a, b,b, and c.c. (Here the dot ⋅\cdot represents the usual multiplication operation.) The solution to the equation 2016⋄(6⋄x)=1002016\diamond(6\diamond x)=100 can be written as pq,\dfrac{p}{q}, where pp and qq are relatively prime positive integers. What is p+q?p+q?
109109
201201
301301
30493049
33,60133{,}601
Respuesta: A
Conceptos:operación personalizadaecuación funcional
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:
Usa a⋄a=1a\diamond a=1 para simplificar a⋄(a⋄a)a\diamond(a\diamond a).
Use a⋄a=1a\diamond a=1 to simplify a⋄(a⋄a)a\diamond(a\diamond a)
Pista grande:
Demuestra que a⋄b=ab,a\diamond b=\dfrac{a}{b}, así que 2016⋄(6⋄x)=20166x2016\diamond(6\diamond x)=\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}.
Show a⋄b=ab,a\diamond b=\dfrac{a}{b}, so 2016⋄(6⋄x)=20166x2016\diamond(6\diamond x)=\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}
Solución:
Al poner b=c=ab=c=a se obtiene a⋄1=a⋄(a⋄a)a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a) =(a⋄a)⋅a=a.=(a\diamond a)\cdot a=a. Luego, al poner c=bc=b se obtiene a=a⋄1a=a\diamond 1 =a⋄(b⋄b)=(a⋄b)⋅b,=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b, así que a⋄b=ab.a\diamond b=\dfrac{a}{b}.
Por lo tanto 2016⋄(6⋄x)=2016⋄6x=20166x=336x=100, \begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}\\ =336x=100, \end{gathered} así que x=100336=2584x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84} y p+q=25+84=109.p+q=25+84=109.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Setting b=c=ab=c=a gives a⋄1=a⋄(a⋄a)a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a) =(a⋄a)⋅a=a.=(a\diamond a)\cdot a=a. Then setting c=bc=b gives a=a⋄1a=a\diamond 1 =a⋄(b⋄b)=(a⋄b)⋅b,=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b, so a⋄b=ab.a\diamond b=\dfrac{a}{b}.
Therefore 2016⋄(6⋄x)=2016⋄6x=20166x=336x=100, \begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}\\ =336x=100, \end{gathered} so x=100336=2584x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84} and p+q=25+84=109.p+q=25+84=109.
Thus, the correct answer is A.
Problema 19#19
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