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2023 AMC 12B Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2023 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

La rana Cyrus salta 22 unidades en una dirección, luego 22 más en otra dirección. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga a menos de 11 unidad de su posición inicial?

Cyrus the frog jumps 22 units in a direction, then 22 more in another direction. What is the probability that he lands less than 11 unit away from his starting position?

16\dfrac{1}{6}

15\dfrac{1}{5}

38\dfrac{\sqrt{3}}{8}

arctan⁡12π\dfrac{\arctan\tfrac12}{\pi}

2arcsin⁡14π\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}

Respuesta: E
Conceptos:probabilidad geométricaley de los cosenos
Nivel de dificultad: 2110
Pista pequeña:

Fija el primer salto a lo largo del eje xx; el segundo salto forma un ángulo θ\theta uniformemente aleatorio

Fix the first jump along the xx-axis; the second jump makes a uniformly random angle θ\theta

Pista grande:

La distancia de aterrizaje satisface R2=8+8cos⁡θ;R^2=8+8\cos\theta; exige R<1,R\lt 1, es decir, cos⁡θ<−78\cos\theta\lt-\tfrac78

The landing distance satisfies R2=8+8cos⁡θ;R^2=8+8\cos\theta; require R<1,R\lt 1, i.e. cos⁡θ<−78\cos\theta\lt-\tfrac78

Solución:

Toma el primer salto como (2,0)(2,0) y el segundo como (2cos⁡θ,2sin⁡θ)(2\cos\theta,2\sin\theta) con θ\theta uniforme en [0,2π).[0,2\pi). La distancia de aterrizaje satisface R2=(2+2cos⁡θ)2R^2=(2+2\cos\theta)^2 +(2sin⁡θ)2+(2\sin\theta)^2 =8+8cos⁡θ.=8+8\cos\theta. Necesitamos R<1,R\lt 1, es decir, cos⁡θ<−78.\cos\theta\lt-\tfrac78. La medida de tales ángulos es 2arccos⁡78,2\arccos\tfrac78, así que la probabilidad es 2arccos⁡782π=arccos⁡78π.\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}. Usando arccos⁡(1−2x2)=2arcsin⁡x\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x con x=14x=\tfrac14 se obtiene arccos⁡78=2arcsin⁡14,\arccos\tfrac78=2\arcsin\tfrac14, así que la probabilidad es 2arcsin⁡14π.\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Take the first jump as (2,0)(2,0) and the second as (2cos⁡θ,2sin⁡θ)(2\cos\theta,2\sin\theta) with θ\theta uniform on [0,2π).[0,2\pi). The landing distance satisfies R2=(2+2cos⁡θ)2R^2=(2+2\cos\theta)^2 +(2sin⁡θ)2+(2\sin\theta)^2 =8+8cos⁡θ.=8+8\cos\theta. We need R<1,R\lt 1, i.e. cos⁡θ<−78.\cos\theta\lt-\tfrac78. The measure of such angles is 2arccos⁡78,2\arccos\tfrac78, so the probability is 2arccos⁡782π=arccos⁡78π.\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}. Using arccos⁡(1−2x2)=2arcsin⁡x\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x with x=14x=\tfrac14 gives arccos⁡78=2arcsin⁡14,\arccos\tfrac78=2\arcsin\tfrac14, so the probability is 2arcsin⁡14π.\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}.

Thus, the correct answer is E.

Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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