Question

Se cortan las esquinas de un cubo unitario de modo que cada una de las seis caras se convierte en un octágono regular. ¿Cuál es el volumen total de los tetraedros retirados?

Corners are sliced off a unit cube so that the six faces each become regular octagons. What is the total volume of the removed tetrahedra?

$\dfrac{5\sqrt2-7}{3}$

$\dfrac{10-7\sqrt2}{3}$

$\dfrac{3-2\sqrt2}{3}$

$\dfrac{8\sqrt2-11}{3}$

$\dfrac{6-4\sqrt2}{3}$

Solución:

El corte retira dos segmentos iguales de longitud $x$ de cada arista. Cada octágono tiene entonces lado de longitud $x\sqrt2,$ y la arista satisface $1=2x+x\sqrt2,$ así que $x=\frac{1}{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$

Cada esquina retirada es un tetraedro con tres catetos mutuamente perpendiculares de longitud $x,$ así que su volumen es $\tfrac16 x^3.$ Hay $8$ esquinas, lo que da un volumen total $\begin{aligned} &8\cdot\tfrac16 x^3 \\ &=\tfrac43\left(\tfrac{2-\sqrt2}{2}\right)^3 \\ &=\frac{10-7\sqrt2}{3}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Slicing removes two equal segments of length $x$ from each edge. Each octagon then has side length $x\sqrt2,$ and the edge satisfies $1=2x+x\sqrt2,$ so $x=\frac{1}{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$

Each removed corner is a tetrahedron with three mutually perpendicular legs of length $x,$ so its volume is $\tfrac16 x^3.$ There are $8$ corners, giving total volume $\begin{aligned} &8\cdot\tfrac16 x^3 \\ &=\tfrac43\left(\tfrac{2-\sqrt2}{2}\right)^3 \\ &=\frac{10-7\sqrt2}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2007 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años