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2007 AMC 12A Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2007 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Se cortan las esquinas de un cubo unitario de modo que cada una de las seis caras se convierte en un octágono regular. ¿Cuál es el volumen total de los tetraedros retirados?

Corners are sliced off a unit cube so that the six faces each become regular octagons. What is the total volume of the removed tetrahedra?

52−73\dfrac{5\sqrt2-7}{3}

10−723\dfrac{10-7\sqrt2}{3}

3−223\dfrac{3-2\sqrt2}{3}

82−113\dfrac{8\sqrt2-11}{3}

6−423\dfrac{6-4\sqrt2}{3}

Respuesta: B
Conceptos:geometría del cubovolumen
Nivel de dificultad: 1840
Pista pequeña:

Cortar una longitud xx de cada extremo de una arista deja un lado del octágono de x2x\sqrt2.

Cutting length xx from each end of an edge leaves an octagon side of x2x\sqrt2

Pista grande:

A partir de 1=2x+x21=2x+x\sqrt2 halla xx; cada tetraedro de esquina tiene volumen 16x3\tfrac16 x^3.

From 1=2x+x21=2x+x\sqrt2 find xx; each corner tetrahedron has volume 16x3\tfrac16 x^3

Solución:

El corte retira dos segmentos iguales de longitud xx de cada arista. Cada octágono tiene entonces lado de longitud x2,x\sqrt2, y la arista satisface 1=2x+x2,1=2x+x\sqrt2, así que x=12+2=2−22.x=\frac{1}{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.

Cada esquina retirada es un tetraedro con tres catetos mutuamente perpendiculares de longitud x,x, así que su volumen es 16x3.\tfrac16 x^3. Hay 88 esquinas, lo que da un volumen total 8⋅16x3=43(2−22)3=10−723. \begin{aligned} &8\cdot\tfrac16 x^3 \\ &=\tfrac43\left(\tfrac{2-\sqrt2}{2}\right)^3 \\ &=\frac{10-7\sqrt2}{3}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Slicing removes two equal segments of length xx from each edge. Each octagon then has side length x2,x\sqrt2, and the edge satisfies 1=2x+x2,1=2x+x\sqrt2, so x=12+2=2−22.x=\frac{1}{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.

Each removed corner is a tetrahedron with three mutually perpendicular legs of length x,x, so its volume is 16x3.\tfrac16 x^3. There are 88 corners, giving total volume 8⋅16x3=43(2−22)3=10−723. \begin{aligned} &8\cdot\tfrac16 x^3 \\ &=\tfrac43\left(\tfrac{2-\sqrt2}{2}\right)^3 \\ &=\frac{10-7\sqrt2}{3}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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