2007 AMC 12A — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Una entrada para un espectáculo cuesta $\$20$ a precio completo. Susan compra $4$ entradas usando un cupón que le da un $25\%$ de descuento. Pam compra $5$ entradas usando un cupón que le da un $30\%$ de descuento. ¿Cuántos dólares más paga Pam que Susan?

One ticket to a show costs $\$20$ at full price. Susan buys $4$ tickets using a coupon that gives her a $25\%$ discount. Pam buys $5$ tickets using a coupon that gives her a $30\%$ discount. How many more dollars does Pam pay than Susan?

$2$

$5$

$10$

$15$

$20$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje dinero

Nivel de dificultad: 920

Solución:

Susan paga $(4)(0.75)(20)=60$ dólares.

Pam paga $(5)(0.70)(20)=70$ dólares.

Así que Pam paga $70-60=10$ dólares más que Susan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Susan pays $(4)(0.75)(20)=60$ dollars.

Pam pays $(5)(0.70)(20)=70$ dollars.

So Pam pays $70-60=10$ more dollars than Susan.

Thus, the correct answer is C.

2.

Un acuario tiene una base rectangular que mide $100$ cm por $40$ cm y una altura de $50$ cm. Está lleno de agua hasta una altura de $40$ cm. Se coloca en el acuario un ladrillo con base rectangular que mide $40$ cm por $20$ cm y una altura de $10$ cm. ¿Cuántos centímetros sube el agua?

An aquarium has a rectangular base that measures $100$ cm by $40$ cm and has a height of $50$ cm. It is filled with water to a height of $40$ cm. A brick with a rectangular base that measures $40$ cm by $20$ cm and a height of $10$ cm is placed in the aquarium. By how many centimeters does the water rise?

$0.5$

$1$

$1.5$

$2$

$2.5$

Respuesta: D

Conceptos:volumen prisma rectangular

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

El ladrillo tiene un volumen de $40\cdot 20\cdot 10=8000$ centímetros cúbicos.

Si el agua sube $h$ centímetros, el volumen añadido es $100\cdot 40\cdot h=4000h$ centímetros cúbicos.

Igualando esto al volumen del ladrillo se obtiene $8000=4000h,$ así que $h=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The brick has a volume of $40\cdot 20\cdot 10=8000$ cubic centimeters.

If the water rises by $h$ centimeters, the added volume is $100\cdot 40\cdot h=4000h$ cubic centimeters.

Setting this equal to the brick's volume gives $8000=4000h,$ so $h=2.$

Thus, the correct answer is D.

3.

El mayor de dos enteros impares consecutivos es tres veces el menor. ¿Cuál es su suma?

The larger of two consecutive odd integers is three times the smaller. What is their sum?

$4$

$8$

$12$

$16$

$20$

Respuesta: A

Conceptos:ecuación lineal

Nivel de dificultad: 890

Solución:

Sea el entero menor igual a $x.$ Entonces el mayor es $x+2.$

Así que $x+2=3x,$ lo que da $x=1.$

Los dos enteros son $1$ y $3,$ y su suma es $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the smaller integer be $x.$ Then the larger is $x+2.$

So $x+2=3x,$ which gives $x=1.$

The two integers are $1$ and $3,$ and their sum is $4.$

Thus, the correct answer is A.

4.

Kate anduvo en bicicleta durante $30$ minutos a una velocidad de $16$ mph, luego caminó durante $90$ minutos a una velocidad de $4$ mph. ¿Cuál fue su velocidad promedio total en millas por hora?

Kate rode her bicycle for $30$ minutes at a speed of $16$ mph, then walked for $90$ minutes at a speed of $4$ mph. What was her overall average speed in miles per hour?

$7$

$9$

$10$

$12$

$14$

Respuesta: A

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Kate anduvo en bicicleta durante $\tfrac12$ hora a $16$ mph, recorriendo $8$ millas.

Caminó durante $\tfrac32$ horas a $4$ mph, recorriendo $6$ millas.

Recorrió $14$ millas en $2$ horas, así que su velocidad promedio fue de $7$ mph.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Kate rode for $\tfrac12$ hour at $16$ mph, covering $8$ miles.

She walked for $\tfrac32$ hours at $4$ mph, covering $6$ miles.

She covered $14$ miles in $2$ hours, so her average speed was $7$ mph.

Thus, the correct answer is A.

5.

El año pasado el Sr. John Q. Public recibió una herencia. Pagó $20\%$ en impuestos federales sobre la herencia, y pagó $10\%$ de lo que le quedaba en impuestos estatales. Pagó un total de $\$10{,}500$ por ambos impuestos. ¿De cuántos dólares fue la herencia?

Last year Mr. John Q. Public received an inheritance. He paid $20\%$ in federal taxes on the inheritance, and paid $10\%$ of what he had left in state taxes. He paid a total of $\$10{,}500$ for both taxes. How many dollars was the inheritance?

$30{,}000$

$32{,}500$

$35{,}000$

$37{,}500$

$40{,}000$

Respuesta: D

Conceptos:porcentaje trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Después de los impuestos federales, el Sr. Public conserva el $80\%$ de su herencia.

Paga el $10\%$ de eso en impuestos estatales, que es el $8\%$ de la herencia.

Su impuesto total es el $20\%+8\%=28\%$ de la herencia, así que la herencia es $\$10{,}500/0.28=\$37{,}500.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After federal taxes, Mr. Public keeps $80\%$ of his inheritance.

He pays $10\%$ of that in state taxes, which is $8\%$ of the inheritance.

His total tax is $20\%+8\%=28\%$ of the inheritance, so the inheritance is $\$10{,}500/0.28=\$37{,}500.$

Thus, the correct answer is D.

6.

Los triángulos $ABC$ y $ADC$ son isósceles con $AB=BC$ y $AD=DC.$ El punto $D$ está dentro del $\triangle ABC,$ $\angle ABC=40^\circ,$ y $\angle ADC=140^\circ.$ ¿Cuál es la medida en grados del $\angle BAD$ ?

Triangles $ABC$ and $ADC$ are isosceles with $AB=BC$ and $AD=DC.$ Point $D$ is inside $\triangle ABC,$ $\angle ABC=40^\circ,$ and $\angle ADC=140^\circ.$ What is the degree measure of $\angle BAD?$

$20$

$30$

$40$

$50$

$60$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Como el $\triangle ABC$ es isósceles, $\angle BAC=\tfrac12(180^\circ-\angle ABC)$ $=70^\circ.$

Como el $\triangle ADC$ es isósceles, $\angle DAC=\tfrac12(180^\circ-\angle ADC)$ $=20^\circ.$

Por lo tanto $\angle BAD=\angle BAC-\angle DAC$ $=70^\circ-20^\circ$ $=50^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $\triangle ABC$ is isosceles, $\angle BAC=\tfrac12(180^\circ-\angle ABC)$ $=70^\circ.$

Since $\triangle ADC$ is isosceles, $\angle DAC=\tfrac12(180^\circ-\angle ADC)$ $=20^\circ.$

Therefore $\angle BAD=\angle BAC-\angle DAC$ $=70^\circ-20^\circ$ $=50^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Sean $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ y $e$ cinco términos consecutivos de una progresión aritmética, y supongamos que $a+b+c+d+e=30.$ ¿Cuál de las siguientes se puede determinar?

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ be five consecutive terms in an arithmetic sequence, and suppose that $a+b+c+d+e=30.$ Which of the following can be found?

$a$

$b$

$c$

$d$

$e$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Sea $D$ la diferencia común. Entonces $a=c-2D,$ $b=c-D,$ $d=c+D,$ y $e=c+2D,$ así que $a+b+c+d+e=5c.$

Así que $5c=30,$ lo que da $c=6.$

Los demás términos no pueden determinarse: las sucesiones $4,5,6,7,8$ y $10,8,6,4,2$ satisfacen ambas las condiciones pero difieren en todos los términos salvo el del medio.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $D$ be the common difference. Then $a=c-2D,$ $b=c-D,$ $d=c+D,$ and $e=c+2D,$ so $a+b+c+d+e=5c.$

Thus $5c=30,$ giving $c=6.$

The other terms cannot be determined: the sequences $4,5,6,7,8$ and $10,8,6,4,2$ both satisfy the conditions but differ in every term except the middle one.

Thus, the correct answer is C.

8.

Se dibuja un polígono estrellado sobre la esfera de un reloj trazando una cuerda desde cada número hasta el quinto número contado en sentido horario a partir de ese número. Es decir, se trazan cuerdas desde $12$ hasta $5,$ desde $5$ hasta $10,$ desde $10$ hasta $3,$ y así sucesivamente, terminando de nuevo en $12.$ ¿Cuál es la medida en grados del ángulo en cada vértice del polígono estrellado?

A star-polygon is drawn on a clock face by drawing a chord from each number to the fifth number counted clockwise from that number. That is, chords are drawn from $12$ to $5,$ from $5$ to $10,$ from $10$ to $3,$ and so on, ending back at $12.$ What is the degree measure of the angle at each vertex in the star-polygon?

$20$

$24$

$30$

$36$

$60$

Respuesta: C

Conceptos:ángulo inscrito arco

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Considera las dos cuerdas que se encuentran en el número $5.$ Van hacia $12$ y hacia $10,$ así que el arco que subtienden se extiende desde $10$ hasta $12.$

Ese arco abarca dos de las doce marcas horarias, así que su medida es $\tfrac{2}{12}\cdot 360^\circ=60^\circ.$

Por el Teorema del Ángulo Inscrito, el ángulo del vértice es la mitad del arco, o $\tfrac12\cdot 60^\circ=30^\circ.$ Por simetría, cada ángulo de vértice es igual a $30^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Consider the two chords meeting at the number $5.$ They run to $12$ and to $10,$ so the arc they subtend extends from $10$ to $12.$

That arc spans two of the twelve hour-marks, so its measure is $\tfrac{2}{12}\cdot 360^\circ=60^\circ.$

By the Inscribed Angle Theorem, the vertex angle is half the arc, or $\tfrac12\cdot 60^\circ=30^\circ.$ By symmetry every vertex angle equals $30^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

9.

Yan está en algún lugar entre su casa y el estadio. Para llegar al estadio puede caminar directamente hasta el estadio, o bien puede caminar a casa y luego ir en bicicleta al estadio. Va en bicicleta $7$ veces más rápido de lo que camina, y ambas opciones requieren la misma cantidad de tiempo. ¿Cuál es la razón entre la distancia de Yan a su casa y su distancia al estadio?

Yan is somewhere between his home and the stadium. To get to the stadium he can walk directly to the stadium, or else he can walk home and then ride his bicycle to the stadium. He rides $7$ times as fast as he walks, and both choices require the same amount of time. What is the ratio of Yan's distance from his home to his distance from the stadium?

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{6}{7}$

Respuesta: B

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Sea $w$ la velocidad al caminar y sean $x$ y $y$ las distancias de Yan a su casa y al estadio.

Caminar al estadio toma $\dfrac{y}{w}.$ Caminar a casa y luego ir en bicicleta toma $\dfrac{x}{w}+\dfrac{x+y}{7w}=\dfrac{8x+y}{7w}.$

Igualando estos se obtiene $7y=8x+y,$ así que $8x=6y$ y $\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $w$ be the walking speed and let $x$ and $y$ be Yan's distances from home and from the stadium.

Walking to the stadium takes $\dfrac{y}{w}.$ Walking home then biking takes $\dfrac{x}{w}+\dfrac{x+y}{7w}=\dfrac{8x+y}{7w}.$

Setting these equal gives $7y=8x+y,$ so $8x=6y$ and $\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Un triángulo con longitudes de lados en la razón $3:4:5$ está inscrito en un círculo de radio $3.$ ¿Cuál es el área del triángulo?

A triangle with side lengths in the ratio $3:4:5$ is inscribed in a circle of radius $3.$ What is the area of the triangle?

$8.64$

$12$

$5\pi$

$17.28$

$18$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo rectángulo circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio área del triángulo

Nivel de dificultad: 1290

Solución:

Sean los lados $3x,$ $4x,$ y $5x.$ El triángulo es rectángulo, así que su hipotenusa es un diámetro.

Así que $5x=2\cdot 3=6,$ lo que da $x=\tfrac65.$

El área es $\tfrac12\cdot 3x\cdot 4x=6x^2$ $=6\cdot\tfrac{36}{25}$ $=\tfrac{216}{25}=8.64.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the sides be $3x,$ $4x,$ and $5x.$ The triangle is right, so its hypotenuse is a diameter.

Thus $5x=2\cdot 3=6,$ giving $x=\tfrac65.$

The area is $\tfrac12\cdot 3x\cdot 4x=6x^2$ $=6\cdot\tfrac{36}{25}$ $=\tfrac{216}{25}=8.64.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Una sucesión finita de enteros de tres dígitos tiene la propiedad de que las cifras de las decenas y de las unidades de cada término son, respectivamente, las cifras de las centenas y de las decenas del término siguiente, y las cifras de las decenas y de las unidades del último término son, respectivamente, las cifras de las centenas y de las decenas del primer término. Por ejemplo, tal sucesión podría comenzar con los términos $247,$ $475,$ y $756$ y terminar con el término $824.$ Sea $S$ la suma de todos los términos de la sucesión. ¿Cuál es el mayor número primo que siempre divide a $S$ ?

A finite sequence of three-digit integers has the property that the tens and units digits of each term are, respectively, the hundreds and tens digits of the next term, and the tens and units digits of the last term are, respectively, the hundreds and tens digits of the first term. For example, such a sequence might begin with terms $247,$ $475,$ and $756$ and end with the term $824.$ Let $S$ be the sum of all the terms in the sequence. What is the largest prime number that always divides $S?$

$3$

$7$

$13$

$37$

$43$

Respuesta: D

Conceptos:valor posicional divisibilidad

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Debido a la propiedad cíclica, cada dígito que aparece se usa el mismo número de veces en las posiciones de las centenas, las decenas y las unidades.

Sea $k$ la suma de las cifras de las unidades sobre todos los términos. Entonces $S=100k+10k+k=111k$ $=3\cdot 37\cdot k.$

Así que $S$ siempre es divisible entre $37.$ No tiene por qué ser divisible entre nada mayor: la sucesión $123,231,312$ da $S=666=2\cdot 3^2\cdot 37.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because of the cycling property, each digit that appears is used the same number of times in the hundreds, tens, and units places.

Let $k$ be the sum of the units digits over all terms. Then $S=100k+10k+k=111k$ $=3\cdot 37\cdot k.$

So $S$ is always divisible by $37.$ It need not be divisible by anything larger: the sequence $123,231,312$ gives $S=666=2\cdot 3^2\cdot 37.$

Thus, the correct answer is D.

12.

Los enteros $a,$ $b,$ $c,$ y $d,$ no necesariamente distintos, se eligen de forma independiente y al azar desde $0$ hasta $2007,$ inclusive. ¿Cuál es la probabilidad de que $ad-bc$ sea par?

Integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ not necessarily distinct, are chosen independently and at random from $0$ to $2007,$ inclusive. What is the probability that $ad-bc$ is even?

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{5}{8}$

Respuesta: E

Conceptos:paridad probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

Exactamente la mitad de los enteros desde $0$ hasta $2007$ son impares.

Un producto $ad$ es impar solo cuando ambos factores son impares, con probabilidad $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14,$ y par con probabilidad $\tfrac34.$ Lo mismo vale para $bc.$

Entonces $ad-bc$ es par cuando ambos productos son impares o ambos son pares: $\tfrac14\cdot\tfrac14+\tfrac34\cdot\tfrac34=\tfrac{10}{16}=\tfrac58.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Exactly half of the integers from $0$ to $2007$ are odd.

A product $ad$ is odd only when both factors are odd, with probability $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14,$ and even with probability $\tfrac34.$ The same holds for $bc.$

Then $ad-bc$ is even when both products are odd or both are even: $\tfrac14\cdot\tfrac14+\tfrac34\cdot\tfrac34=\tfrac{10}{16}=\tfrac58.$

Thus, the correct answer is E.

13.

Un trozo de queso está ubicado en $(12,10)$ en un plano de coordenadas. Un ratón está en $(4,-2)$ y corre subiendo por la recta $y=-5x+18.$ En el punto $(a,b)$ el ratón comienza a alejarse del queso en lugar de acercarse. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

A piece of cheese is located at $(12,10)$ in a coordinate plane. A mouse is at $(4,-2)$ and is running up the line $y=-5x+18.$ At the point $(a,b)$ the mouse starts getting farther from the cheese rather than closer to it. What is $a+b?$

$6$

$10$

$14$

$18$

$22$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica pendiente

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

El ratón está más cerca del queso en el pie de la perpendicular trazada desde $(12,10)$ hasta la recta.

Esta perpendicular tiene pendiente $\tfrac15,$ así que su ecuación es $y=10+\tfrac15(x-12)=\tfrac15 x+\tfrac{38}{5}.$

Igualando $\tfrac15 x+\tfrac{38}{5}=-5x+18$ se obtiene $x=2$ y $y=8.$ Así que $(a,b)=(2,8)$ y $a+b=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The mouse is closest to the cheese at the foot of the perpendicular from $(12,10)$ to the line.

This perpendicular has slope $\tfrac15,$ so its equation is $y=10+\tfrac15(x-12)=\tfrac15 x+\tfrac{38}{5}.$

Setting $\tfrac15 x+\tfrac{38}{5}=-5x+18$ gives $x=2$ and $y=8.$ Thus $(a,b)=(2,8)$ and $a+b=10.$

Thus, the correct answer is B.

14.

Sean $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ y $e$ enteros distintos tales que

$\begin{aligned} &(6-a)(6-b)(6-c) \\ &\quad {}\cdot(6-d)(6-e) \\ &=45. \end{aligned}$

¿Cuánto vale $a+b+c+d+e$ ?

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ be distinct integers such that

$\begin{aligned} &(6-a)(6-b)(6-c) \\ &\quad {}\cdot(6-d)(6-e) \\ &=45. \end{aligned}$

What is $a+b+c+d+e?$

$5$

$17$

$25$

$27$

$30$

Respuesta: C

Conceptos:factorización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Los cinco factores son enteros distintos no nulos con producto $45$ , así que cada uno es un divisor positivo o negativo de $45$ . Verificando $\pm1,\pm3,\pm5,\pm9,\pm15,\pm45$ , solo el conjunto de cinco elementos $\{-3,-1,1,3,5\}$ tiene producto $45$ .

Entonces $a,b,c,d,e$ son $9,7,5,3,1$ en algún orden, y su suma es $25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five factors are distinct nonzero integers with product $45$ , so each is a positive or negative divisor of $45$ . Checking $\pm1,\pm3,\pm5,\pm9,\pm15,\pm45$ , only the five-element set $\{-3,-1,1,3,5\}$ has product $45$ .

Then $a,b,c,d,e$ are $9,7,5,3,1$ in some order, and their sum is $25.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Al conjunto $\{3,6,9,10\}$ se le agrega un quinto elemento $n,$ que no es igual a ninguno de los otros cuatro. La mediana del conjunto resultante es igual a su media. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $n$ ?

The set $\{3,6,9,10\}$ is augmented by a fifth element $n,$ not equal to any of the other four. The median of the resulting set is equal to its mean. What is the sum of all possible values of $n?$

$7$

$9$

$19$

$24$

$26$

Respuesta: E

Conceptos:mediana (datos)media análisis por casos

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

La media es $\dfrac{28+n}{5}.$

Si $n\lt 6,$ la mediana es $6,$ así que $28+n=30$ y $n=2.$

Si $6\lt n\lt 9,$ la mediana es $n,$ así que $28+n=5n$ y $n=7.$

Si $n\gt 9,$ la mediana es $9,$ así que $28+n=45$ y $n=17.$

La suma de todos los valores posibles es $2+7+17=26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The mean is $\dfrac{28+n}{5}.$

If $n\lt 6,$ the median is $6,$ so $28+n=30$ and $n=2.$

If $6\lt n\lt 9,$ the median is $n,$ so $28+n=5n$ and $n=7.$

If $n\gt 9,$ the median is $9,$ so $28+n=45$ and $n=17.$

The sum of all possible values is $2+7+17=26.$

Thus, the correct answer is E.

16.

¿Cuántos números de tres dígitos están compuestos por tres dígitos distintos tales que uno de los dígitos es el promedio de los otros dos?

How many three-digit numbers are composed of three distinct digits such that one digit is the average of the other two?

$96$

$104$

$112$

$120$

$256$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Los tres dígitos distintos forman una progresión aritmética creciente. Contando por diferencia común: $8$ con diferencia $1,$ $6$ con diferencia $2,$ $4$ con diferencia $3,$ y $2$ con diferencia $4,$ para $20$ conjuntos.

De estos, $4$ conjuntos contienen $0$ (a saber $\{0,1,2\},$ $\{0,2,4\},$ $\{0,3,6\},$ $\{0,4,8\}$ ); cada uno produce $2\cdot 2!=4$ números válidos, ya que $0$ no puede ir al inicio.

Los otros $16$ conjuntos producen cada uno $3!=6$ números. El total es $4\cdot 4+16\cdot 6=112.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The three distinct digits form an increasing arithmetic progression. Counting by common difference: $8$ with difference $1,$ $6$ with difference $2,$ $4$ with difference $3,$ and $2$ with difference $4,$ for $20$ sets.

Of these, $4$ sets contain $0$ (namely $\{0,1,2\},$ $\{0,2,4\},$ $\{0,3,6\},$ $\{0,4,8\}$ ); each yields $2\cdot 2!=4$ valid numbers since $0$ cannot lead.

The other $16$ sets each yield $3!=6$ numbers. The total is $4\cdot 4+16\cdot 6=112.$

Thus, the correct answer is C.

17.

Supongamos que $\sin a+\sin b=\sqrt{\tfrac53}$ y $\cos a+\cos b=1.$ ¿Cuánto vale $\cos(a-b)$ ?

Suppose that $\sin a+\sin b=\sqrt{\tfrac53}$ and $\cos a+\cos b=1.$ What is $\cos(a-b)?$

$\sqrt{\dfrac53}-1$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$1$

Respuesta: B

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1570

Solución:

Al elevar al cuadrado ambas ecuaciones se obtiene $\sin^2 a+2\sin a\sin b+\sin^2 b=\tfrac53$ y $\cos^2 a+2\cos a\cos b$ $+\cos^2 b=1.$

Sumando y usando $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ dos veces, $\begin{aligned} &2+2(\sin a\sin b+\cos a\cos b) \\ &=\tfrac83. \end{aligned}$

Así que $\cos(a-b)=\sin a\sin b$ $+\cos a\cos b$ $=\tfrac13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Squaring both equations gives $\sin^2 a+2\sin a\sin b+\sin^2 b=\tfrac53$ and $\cos^2 a+2\cos a\cos b$ $+\cos^2 b=1.$

Adding and using $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ twice, $\begin{aligned} &2+2(\sin a\sin b+\cos a\cos b) \\ &=\tfrac83. \end{aligned}$

So $\cos(a-b)=\sin a\sin b$ $+\cos a\cos b$ $=\tfrac13.$

Thus, the correct answer is B.

18.

El polinomio $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ tiene coeficientes reales, y $f(2i)=f(2+i)=0.$ ¿Cuánto vale $a+b+c+d$ ?

The polynomial $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ has real coefficients, and $f(2i)=f(2+i)=0.$ What is $a+b+c+d?$

$0$

$1$

$4$

$9$

$16$

Respuesta: D

Conceptos:número complejo polinomio

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Como $f$ tiene coeficientes reales, los conjugados $-2i$ y $2-i$ también son raíces. Por lo tanto $\begin{gathered} f(x) = (x^2+4)(x^2-4x+5) \\ = x^4-4x^3+9x^2 \\ {}-16x+20. \end{gathered}$

Entonces $a+b+c+d=-4+9$ $-16+20$ $=9.$ De forma equivalente, $a+b+c+d=f(1)-1$ $=(1+4)(1+1)-1$ $=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $f$ has real coefficients, the conjugates $-2i$ and $2-i$ are also roots. Thus $\begin{gathered} f(x) = (x^2+4)(x^2-4x+5) \\ = x^4-4x^3+9x^2 \\ {}-16x+20. \end{gathered}$

Then $a+b+c+d=-4+9$ $-16+20$ $=9.$ Equivalently, $a+b+c+d=f(1)-1$ $=(1+4)(1+1)-1$ $=9.$

Thus, the correct answer is D.

19.

Los triángulos $ABC$ y $ADE$ tienen áreas $2007$ y $7002,$ respectivamente, con $B=(0,0),$ $C=(223,0),$ $D=(680,380),$ y $E=(689,389).$ ¿Cuál es la suma de todas las posibles coordenadas $x$ de $A$ ?

Triangles $ABC$ and $ADE$ have areas $2007$ and $7002,$ respectively, with $B=(0,0),$ $C=(223,0),$ $D=(680,380),$ and $E=(689,389).$ What is the sum of all possible $x$ -coordinates of $A?$

$282$

$300$

$600$

$900$

$1200$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

La altura $h$ desde $A$ en el $\triangle ABC$ satisface $2007=\tfrac12\cdot 223\cdot h,$ así que $h=18.$ Por lo tanto $A$ está sobre $y=18$ o $y=-18.$

La recta $DE$ tiene ecuación $x-y-300=0.$ La condición sobre el $\triangle ADE$ coloca de forma análoga a $A$ sobre una de dos rectas paralelas a $DE.$

Las cuatro posibles posiciones de $A$ son los vértices de un paralelogramo cuyo centro es la intersección de $y=0$ con la recta $DE,$ a saber $(300,0).$ Por lo tanto, la suma de las cuatro coordenadas $x$ es $4\cdot 300=1200.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The altitude $h$ from $A$ in $\triangle ABC$ satisfies $2007=\tfrac12\cdot 223\cdot h,$ so $h=18.$ Thus $A$ lies on $y=18$ or $y=-18.$

Line $DE$ has equation $x-y-300=0.$ The condition on $\triangle ADE$ similarly places $A$ on one of two lines parallel to $DE.$

The four possible positions of $A$ are the vertices of a parallelogram whose center is the intersection of $y=0$ with line $DE,$ namely $(300,0).$ Hence the sum of the four $x$ -coordinates is $4\cdot 300=1200.$

Thus, the correct answer is E.

20.

Se cortan las esquinas de un cubo unitario de modo que cada una de las seis caras se convierte en un octágono regular. ¿Cuál es el volumen total de los tetraedros retirados?

Corners are sliced off a unit cube so that the six faces each become regular octagons. What is the total volume of the removed tetrahedra?

$\dfrac{5\sqrt2-7}{3}$

$\dfrac{10-7\sqrt2}{3}$

$\dfrac{3-2\sqrt2}{3}$

$\dfrac{8\sqrt2-11}{3}$

$\dfrac{6-4\sqrt2}{3}$

Respuesta: B

Conceptos:geometría del cubo volumen

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

El corte retira dos segmentos iguales de longitud $x$ de cada arista. Cada octágono tiene entonces lado de longitud $x\sqrt2,$ y la arista satisface $1=2x+x\sqrt2,$ así que $x=\frac{1}{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$

Cada esquina retirada es un tetraedro con tres catetos mutuamente perpendiculares de longitud $x,$ así que su volumen es $\tfrac16 x^3.$ Hay $8$ esquinas, lo que da un volumen total $\begin{aligned} &8\cdot\tfrac16 x^3 \\ &=\tfrac43\left(\tfrac{2-\sqrt2}{2}\right)^3 \\ &=\frac{10-7\sqrt2}{3}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Slicing removes two equal segments of length $x$ from each edge. Each octagon then has side length $x\sqrt2,$ and the edge satisfies $1=2x+x\sqrt2,$ so $x=\frac{1}{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$

Each removed corner is a tetrahedron with three mutually perpendicular legs of length $x,$ so its volume is $\tfrac16 x^3.$ There are $8$ corners, giving total volume $\begin{aligned} &8\cdot\tfrac16 x^3 \\ &=\tfrac43\left(\tfrac{2-\sqrt2}{2}\right)^3 \\ &=\frac{10-7\sqrt2}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

21.

La suma de los ceros, el producto de los ceros, y la suma de los coeficientes de la función $f(x)=ax^2+bx+c$ son iguales. ¿Cuál de los siguientes también debe ser su valor común?

The sum of the zeros, the product of the zeros, and the sum of the coefficients of the function $f(x)=ax^2+bx+c$ are equal. Their common value must also be which of the following?

el coeficiente de $x^2$

the coefficient of $x^2$

el coeficiente de $x$

the coefficient of $x$

la intersección con el eje $y$ de la gráfica de $y=f(x)$

the $y$ -intercept of the graph of $y=f(x)$

una de las intersecciones con el eje $x$ de la gráfica de $y=f(x)$

one of the $x$ -intercepts of the graph of $y=f(x)$

el promedio de las intersecciones con el eje $x$ de la gráfica de $y=f(x)$

the mean of the $x$ -intercepts of the graph of $y=f(x)$

Respuesta: A

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El producto de los ceros es $\tfrac ca$ y la suma de los ceros es $-\tfrac ba.$ Igualándolos se obtiene $c=-b.$

Entonces la suma de los coeficientes es $a+b+c=a,$ que es el coeficiente de $x^2.$

Las otras opciones fallan en general: para $f(x)=-2x^2-4x+4$ el valor común es $-2,$ pero el coeficiente de $x$ es $-4,$ la intersección con el eje $y$ es $4,$ las intersecciones con el eje $x$ son $-1\pm\sqrt3,$ y su promedio es $-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The product of the zeros is $\tfrac ca$ and the sum of the zeros is $-\tfrac ba.$ Equating them gives $c=-b.$

Then the sum of the coefficients is $a+b+c=a,$ which is the coefficient of $x^2.$

The other choices fail in general: for $f(x)=-2x^2-4x+4$ the common value is $-2,$ but the coefficient of $x$ is $-4,$ the $y$ -intercept is $4,$ the $x$ -intercepts are $-1\pm\sqrt3,$ and their mean is $-1.$

Thus, the correct answer is A.

22.

Para cada entero positivo $n,$ sea $S(n)$ la suma de las cifras de $n.$ ¿Para cuántos valores de $n$ se cumple $n+S(n)+S(S(n))=2007$ ?

For each positive integer $n,$ let $S(n)$ denote the sum of the digits of $n.$ For how many values of $n$ is $n+S(n)+S(S(n))=2007?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:dígitos aritmética modular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Para $n\le 2007,$ $S(n)\le S(1999)=28,$ y luego $S(S(n))\le S(28)=10.$ Así que cualquier solución cumple $n\ge 2007-28-10=1969.$

Además $n,$ $S(n),$ y $S(S(n))$ son congruentes módulo $9,$ y $2007$ es múltiplo de $9,$ así que los tres deben ser múltiplos de $3.$

Revisando los múltiplos de $3$ entre $1969$ y $2007$ (muchos se eliminan porque $n+S(n)$ ya supera $2007$ ) quedan $1977,1980,1983,$ y $2001.$ Eso da $4$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $n\le 2007,$ $S(n)\le S(1999)=28,$ and then $S(S(n))\le S(28)=10.$ So any solution has $n\ge 2007-28-10=1969.$

Also $n,$ $S(n),$ and $S(S(n))$ are congruent modulo $9,$ and $2007$ is a multiple of $9,$ so all three must be multiples of $3.$

Checking the multiples of $3$ between $1969$ and $2007$ (many are eliminated because $n+S(n)$ already exceeds $2007$ ) leaves $1977,1980,1983,$ and $2001.$ That is $4$ values.

Thus, the correct answer is D.

23.

El cuadrado $ABCD$ tiene área $36,$ y $AB$ es paralelo al eje $x$ . Los vértices $A,$ $B,$ y $C$ están sobre las gráficas de $y=\log_a x,$ $y=2\log_a x,$ y $y=3\log_a x,$ respectivamente. ¿Cuánto vale $a$ ?

Square $ABCD$ has area $36,$ and $AB$ is parallel to the $x$ -axis. Vertices $A,$ $B,$ and $C$ are on the graphs of $y=\log_a x,$ $y=2\log_a x,$ and $y=3\log_a x,$ respectively. What is $a?$

$\sqrt[6]{3}$

$\sqrt3$

$\sqrt[3]{6}$

$\sqrt6$

$6$

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo geometría analítica cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Sea $A=(p,\log_a p)$ y $B=(q,2\log_a q).$ Como $AB$ es horizontal, $\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2,$ así que $p=q^2.$

La longitud del lado es $6=|p-q|=|q^2-q|,$ cuya única solución positiva es $q=3.$

Como $C=(q,3\log_a q),$ el lado vertical da $BC=6=\log_a q=\log_a 3.$ Así que $a^6=3,$ por lo que $a=\sqrt[6]{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $A=(p,\log_a p)$ and $B=(q,2\log_a q).$ Since $AB$ is horizontal, $\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2,$ so $p=q^2.$

The side length is $6=|p-q|=|q^2-q|,$ whose only positive solution is $q=3.$

Since $C=(q,3\log_a q),$ the vertical side gives $BC=6=\log_a q=\log_a 3.$ Thus $a^6=3,$ so $a=\sqrt[6]{3}.$

Thus, the correct answer is A.

24.

Para cada entero $n\gt 1,$ sea $F(n)$ el número de soluciones de la ecuación $\sin x=\sin nx$ en el intervalo $[0,\pi].$ ¿Cuánto vale $\displaystyle\sum_{n=2}^{2007}F(n)$ ?

For each integer $n\gt 1,$ let $F(n)$ be the number of solutions of the equation $\sin x=\sin nx$ on the interval $[0,\pi].$ What is $\displaystyle\sum_{n=2}^{2007}F(n)?$

$2{,}014{,}524$

$2{,}015{,}028$

$2{,}015{,}033$

$2{,}016{,}532$

$2{,}017{,}033$

Respuesta: D

Conceptos:trigonometría conteo de intersecciones sumatoria

Nivel de dificultad: 2420

Solución:

En cada intervalo donde $\sin nx\ge 0$ , las gráficas de $\sin x$ y $\sin nx$ se encuentran dos veces, a menos que compartan allí el valor $1$ , en cuyo caso se encuentran una vez. Contando las jorobas y el extremo en $(\pi,0)$ se obtiene lo siguiente.

$F(n)=n+1$ cuando $n$ es par o $n\equiv 3\pmod 4,$ y $F(n)=n$ cuando $n\equiv 1\pmod 4.$

Por lo tanto $\begin{aligned} &\sum_{n=2}^{2007}F(n) \\ &=\sum_{n=2}^{2007}(n+1) \\ &\quad {}-\#\{n\equiv 1\!\!\pmod 4\}. \end{aligned}$ La primera suma es $2{,}017{,}033,$ y hay $501$ valores $n\equiv 1\pmod 4$ en el rango, lo que da $2{,}017{,}033-501=2{,}016{,}532.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

On each interval where $\sin nx\ge 0,$ the graphs of $\sin x$ and $\sin nx$ meet twice, unless they share the value $1$ there, in which case they meet once. Counting the humps and the endpoint at $(\pi,0)$ gives

$F(n)=n+1$ when $n$ is even or $n\equiv 3\pmod 4,$ and $F(n)=n$ when $n\equiv 1\pmod 4.$

Thus $\begin{aligned} &\sum_{n=2}^{2007}F(n) \\ &=\sum_{n=2}^{2007}(n+1) \\ &\quad {}-\#\{n\equiv 1\!\!\pmod 4\}. \end{aligned}$ The first sum is $2{,}017{,}033,$ and there are $501$ values $n\equiv 1\pmod 4$ in the range, giving $2{,}017{,}033-501=2{,}016{,}532.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Llamamos espaciado a un conjunto de enteros si contiene no más de uno de cada tres enteros consecutivos. ¿Cuántos subconjuntos de $\{1,2,3,\ldots,12\},$ incluido el conjunto vacío, son espaciados?

Call a set of integers spacy if it contains no more than one out of any three consecutive integers. How many subsets of $\{1,2,3,\ldots,12\},$ including the empty set, are spacy?

$121$

$123$

$125$

$127$

$129$

Respuesta: E

Conceptos:conteo recursivo subconjuntos

Nivel de dificultad: 2240

Solución:

Sea $c_n$ el número de subconjuntos espaciados de $\{1,\ldots,n\}.$ Un subconjunto espaciado o bien omite $n$ (hay $c_{n-1}$ de estos) o bien contiene $n,$ en cuyo caso omite $n-1$ y $n-2$ (hay $c_{n-3}$ de estos).

Por lo tanto $c_n=c_{n-1}+c_{n-3},$ con $c_1=2,$ $c_2=3,$ $c_3=4.$

La sucesión continúa $6,9,13,19,28,41,60,88,129,$ así que $c_{12}=129.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $c_n$ be the number of spacy subsets of $\{1,\ldots,n\}.$ A spacy subset either omits $n$ (there are $c_{n-1}$ of these) or contains $n,$ in which case it omits $n-1$ and $n-2$ (there are $c_{n-3}$ of these).

Hence $c_n=c_{n-1}+c_{n-3},$ with $c_1=2,$ $c_2=3,$ $c_3=4.$

The sequence continues $6,9,13,19,28,41,60,88,129,$ so $c_{12}=129.$

Thus, the correct answer is E.

Problemas del 2007 AMC 12A

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución: