Question

Los enteros $a,$ $b,$ $c,$ y $d,$ no necesariamente distintos, se eligen de forma independiente y al azar desde $0$ hasta $2007,$ inclusive. ¿Cuál es la probabilidad de que $ad-bc$ sea par?

Integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ not necessarily distinct, are chosen independently and at random from $0$ to $2007,$ inclusive. What is the probability that $ad-bc$ is even?

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{5}{8}$

Solución:

Exactamente la mitad de los enteros desde $0$ hasta $2007$ son impares.

Un producto $ad$ es impar solo cuando ambos factores son impares, con probabilidad $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14,$ y par con probabilidad $\tfrac34.$ Lo mismo vale para $bc.$

Entonces $ad-bc$ es par cuando ambos productos son impares o ambos son pares: $\tfrac14\cdot\tfrac14+\tfrac34\cdot\tfrac34=\tfrac{10}{16}=\tfrac58.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Exactly half of the integers from $0$ to $2007$ are odd.

A product $ad$ is odd only when both factors are odd, with probability $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14,$ and even with probability $\tfrac34.$ The same holds for $bc.$

Then $ad-bc$ is even when both products are odd or both are even: $\tfrac14\cdot\tfrac14+\tfrac34\cdot\tfrac34=\tfrac{10}{16}=\tfrac58.$

Thus, the correct answer is E.

2007 AMC 12A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años