Question

Varios anillos enlazados, cada uno de $1$ cm de grosor, cuelgan de un gancho. El anillo superior tiene un diámetro exterior de $20$ cm. El diámetro exterior de cada uno de los otros anillos es $1$ cm menor que el del anillo que está encima. El anillo inferior tiene un diámetro exterior de $3$ cm. ¿Cuál es la distancia, en cm, desde la parte superior del anillo superior hasta la parte inferior del anillo inferior?

A number of linked rings, each $1$ cm thick, are hanging on a peg. The top ring has an outside diameter of $20$ cm. The outside diameter of each of the other rings is $1$ cm less than that of the ring above it. The bottom ring has an outside diameter of $3$ cm. What is the distance, in cm, from the top of the top ring to the bottom of the bottom ring?

$171$

$173$

$182$

$188$

$210$

Solución:

El anillo superior abarca $20$ cm. Cada anillo de abajo se superpone con el anillo de arriba en $2$ cm (dos veces el grosor de $1$ cm), así que agrega su diámetro exterior menos $2.$

Los anillos inferiores tienen diámetros exteriores $19, 18, \ldots, 3,$ que aportan $17, 16, \ldots, 1.$ Así, la distancia total es $\begin{gathered} 20 + (17 + 16 + \cdots + 1) \\ = 20 + \frac{17 \cdot 18}{2} \\ = 20 + 153 \\ = 173 \text{ cm}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The top ring spans $20$ cm. Each ring below overlaps the ring above by $2$ cm (twice the $1$ -cm thickness), so it adds its outside diameter minus $2.$

The lower rings have outside diameters $19, 18, \ldots, 3,$ contributing $17, 16, \ldots, 1.$ Thus the total distance is $\begin{gathered} 20 + (17 + 16 + \cdots + 1) \\ = 20 + \frac{17 \cdot 18}{2} \\ = 20 + 153 \\ = 173 \text{ cm}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 12A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años