Question

¿Cuántos enteros positivos menores que $1000$ son $6$ veces la suma de sus dígitos?

How many positive integers less than $1000$ are $6$ times the sum of their digits?

$0$

$1$

$2$

$4$

$12$

Solución:

Si $N = 6\cdot(\text{digit sum}),$ entonces, dado que la suma de los dígitos de un número menor que $1000$ es a lo sumo $27,$ tenemos $N \le 162.$

Para un número de dos dígitos, $10t + u = 6(t + u)$ da $4t = 5u,$ lo que obliga a $t = 5$ y $u = 4,$ así que $N = 54.$ Un número de un dígito necesitaría $6u = u,$ imposible para $u \gt 0.$ Un número de tres dígitos $100h + 10t + u = 6(h + t + u)$ da $94h + 4t = 5u,$ cuyo lado izquierdo es al menos $94$ mientras el lado derecho es a lo sumo $45,$ así que no hay solución.

Por lo tanto, exactamente un número, $54,$ funciona.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If $N = 6\cdot(\text{digit sum}),$ then since the digit sum of a number below $1000$ is at most $27,$ we have $N \le 162.$

For a two-digit number $10t + u = 6(t + u)$ gives $4t = 5u,$ forcing $t = 5$ and $u = 4,$ so $N = 54.$ A one-digit number would need $6u = u,$ impossible for $u \gt 0.$ A three-digit number $100h + 10t + u = 6(h + t + u)$ gives $94h + 4t = 5u,$ whose left side is at least $94$ while the right side is at most $45,$ so there is no solution.

Hence exactly one number, $54,$ works.

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años