¿Para cuántos enteros n es (n)/(20-n) el cuadrado de un entero?

2002 AMC 12B Problema 12 — Solución

2002 AMC 12B Problema 12

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 12 del 2002 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:cuadrado perfecto divisibilidad

Nivel de dificultad: 1490

12.

¿Para cuántos enteros $n$ es $\dfrac{n}{20-n}$ el cuadrado de un entero?

For how many integers $n$ is $\dfrac{n}{20-n}$ the square of an integer?

$1$

$2$

$3$

$4$

$10$

Solución:

Pon $\dfrac{n}{20-n}=k^2.$ Al despejar, $n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.$ Como $k^2$ y $k^2+1$ son coprimos, $k^2+1$ debe dividir a $20,$ lo que solo ocurre para $k=0,1,2,3.$

Estos dan $n=0,$ $10,$ $16,$ $18,$ que son cuatro valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $\dfrac{n}{20-n}=k^2.$ Solving, $n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.$ Since $k^2$ and $k^2+1$ are coprime, $k^2+1$ must divide $20,$ which happens only for $k=0,1,2,3.$

These give $n=0,$ $10,$ $16,$ $18,$ which is four values.

Thus, the correct answer is D.

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