Question

¿Para cuántos enteros $n$ es $\dfrac{n}{20-n}$ el cuadrado de un entero?

For how many integers $n$ is $\dfrac{n}{20-n}$ the square of an integer?

$1$

$2$

$3$

$4$

$10$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrado perfecto divisibilidad

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Pon $\dfrac{n}{20-n}=k^2$ y despeja $n$ en términos de $k$ .

Set $\dfrac{n}{20-n}=k^2$ and solve for $n$ in terms of $k$

Pista grande:

$n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}$ ; como $\gcd(k^2,k^2+1)=1,$ $k^2+1$ debe dividir a $20$ .

$n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}$ ; since $\gcd(k^2,k^2+1)=1,$ $k^2+1$ must divide $20$

Solución:

Sea $\dfrac{n}{20-n}=k^2.$ Al resolver, $n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.$ Como $k^2$ y $k^2+1$ son coprimos, $k^2+1$ debe dividir a $20,$ lo que solo ocurre para $|k|=0,1,2,3.$

Los signos de $k$ no cambian $n;$ estos valores dan $n=0,$ $10,$ $16,$ y $18,$ cuatro valores en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $\dfrac{n}{20-n}=k^2.$ Solving, $n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.$ Since $k^2$ and $k^2+1$ are coprime, $k^2+1$ must divide $20,$ which happens only for $|k|=0,1,2,3.$

The signs of $k$ do not change $n;$ these give $n=0,$ $10,$ $16,$ and $18,$ which is four values.

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12B Problema 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años