Question

Una región cuadrada $ABCD$ es tangente exteriormente al círculo de ecuación $x^2 + y^2 = 1$ en el punto $(0, 1)$ sobre el lado $CD.$ Los vértices $A$ y $B$ están sobre el círculo de ecuación $x^2 + y^2 = 4.$ ¿Cuál es la longitud del lado de este cuadrado?

A square region $ABCD$ is externally tangent to the circle with equation $x^2 + y^2 = 1$ at the point $(0, 1)$ on the side $CD.$ Vertices $A$ and $B$ are on the circle with equation $x^2 + y^2 = 4.$ What is the side length of this square?

$\dfrac{\sqrt{10} + 5}{10}$

$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}$

$\dfrac{9 - \sqrt{17}}{5}$

Solución:

Por simetría, sea $A = (a, b)$ con $a \gt 0$ y $B = (-a, b).$ El cuadrado se apoya en el punto de tangencia $(0,1),$ así que su ancho horizontal es $2a$ y su altura es $b - 1$ .

Como estos son iguales, $2a = b - 1,$ lo que da $b = 2a + 1$ .

Al sustituir en $a^2 + b^2 = 4$ se obtiene $5a^2 + 4a - 3 = 0.$ La raíz positiva es $a = \dfrac{\sqrt{19} - 2}{5},$ así que la longitud del lado es $2a = \dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By symmetry let $A = (a, b)$ with $a \gt 0$ and $B = (-a, b).$ The square sits on the tangent point $(0,1),$ so its horizontal width is $2a$ and its height is $b - 1.$

Since these are equal, $2a = b - 1,$ giving $b = 2a + 1.$

Substituting into $a^2 + b^2 = 4$ yields $5a^2 + 4a - 3 = 0.$ The positive root is $a = \dfrac{\sqrt{19} - 2}{5},$ so the side length is $2a = \dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

2012 AMC 12A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años