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1979 AMC 12 Problema 12

Intenta el Problema 12 del 1979 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1979 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

En la figura adjunta, CDCD es el diámetro de un semicírculo con centro O.O. El punto AA está en la prolongación de DCDC más allá de C;C; el punto EE está en el semicírculo, y BB es el punto de intersección (distinto de EE) del segmento AEAE con el semicírculo. Si la longitud ABAB es igual a la longitud OD,OD, y la medida de ∠EOD\angle EOD es 45∘,45^\circ, entonces la medida de ∠BAO\angle BAO es

In the adjoining figure, CDCD is the diameter of a semicircle with center O.O. Point AA lies on the extension of DCDC past C;C; point EE lies on the semicircle, and BB is the point of intersection (distinct from EE) of line segment AEAE with the semicircle. If length ABAB equals length OD,OD, and the measure of ∠EOD\angle EOD is 45∘,45^\circ, then the measure of ∠BAO\angle BAO is

10∘10^\circ

15∘15^\circ

20∘20^\circ

25∘25^\circ

30∘30^\circ

Respuesta: B
Conceptos:círculotriángulo isóscelespersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 1980
Pista pequeña:

Sea y=∠BAOy=\angle BAO y usa AB=OB=OEAB=OB=OE

Let y=∠BAOy=\angle BAO and use AB=OB=OEAB=OB=OE

Pista grande:

Expresa ∠BOE\angle BOE de dos maneras usando los triángulos isósceles y el ángulo central de 45∘45^\circ

Express ∠BOE\angle BOE in two ways using the isosceles triangles and the 45∘45^\circ central angle

Solución:

Sea y=∠BAO.y=\angle BAO. Como AB=OB,AB=OB, se tiene ∠AOB=y,\angle AOB=y, y por ello ∠EBO=2y.\angle EBO=2y. Además, OB=OE,OB=OE, así que ∠BEO=2y\angle BEO=2y y ∠BOE=180∘−4y.\angle BOE=180^\circ-4y. Por otra parte, ∠BOD=180∘−y, \angle BOD=180^\circ-y, de modo que ∠BOE=135∘−y.\angle BOE=135^\circ-y. Por tanto, 180∘−4y=135∘−y,180^\circ-4y=135^\circ-y, lo que da y=15∘.y=15^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let y=∠BAO.y=\angle BAO. Since AB=OB,AB=OB, ∠AOB=y,\angle AOB=y, so ∠EBO=2y.\angle EBO=2y. Also OB=OE,OB=OE, hence ∠BEO=2y\angle BEO=2y and ∠BOE=180∘−4y.\angle BOE=180^\circ-4y. On the other hand, ∠BOD=180∘−y, \angle BOD=180^\circ-y, so ∠BOE=135∘−y.\angle BOE=135^\circ-y. Therefore 180∘−4y=135∘−y,180^\circ-4y=135^\circ-y, giving y=15∘.y=15^\circ.

Therefore, the correct answer is B.

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