Question

Una función $f$ de los enteros a los enteros se define de la siguiente manera: $f(n)= \begin{cases} n+3 & \text{si $n$ es impar},\\ \frac{n}{2} & \text{si $n$ es par}. \end{cases}$ Supón que $k$ es impar y que $f(f(f(k)))=27.$ ¿Cuál es la suma de las cifras de $k$ ?

A function $f$ from the integers to the integers is defined as follows: $f(n)= \begin{cases} n+3 & \text{if $n$ is odd},\\ \frac{n}{2} & \text{if $n$ is even}. \end{cases}$ Suppose $k$ is odd and $f(f(f(k)))=27.$ What is the sum of the digits of $k?$

$3$

$6$

$9$

$12$

$15$

Respuesta: B

Conceptos:piecewise functions paridad

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Como $k$ es impar, la primera iteración es $k+3$ , que es par

Because $k$ is odd, the first iterate is $k+3$ , which is even

Pista grande:

Trabaja hacia atrás desde $27$ , comprobando la paridad que exige cada rama inversa

Work backward from $27$ , checking the parity required by each inverse branch

Solución:

Como $k$ es impar, $f(k)=k+3$ es par, así que $f(f(k))=\frac{k+3}{2}.$ Si este valor fuera impar, sumar $3$ no podría producir $27$ , pues eso exigiría que el valor fuera $24.$ Por tanto, es par y al dividirlo entre dos se obtiene $27,$ de modo que $\frac{k+3}{2}=54.$ Así, $k=105,$ cuyas cifras suman $6.$ La respuesta correcta es B.

Since $k$ is odd, $f(k)=k+3$ is even, so $f(f(k))=\frac{k+3}{2}.$ If this value were odd, adding $3$ could not produce $27$ because that would require the value $24.$ Therefore it is even and is halved to $27,$ so $\frac{k+3}{2}=54.$ Hence $k=105,$ whose digits sum to $6.$ The correct answer is B.

1996 AMC 12 Problema 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años