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1981 AMC 12 Problema 12

Intenta el Problema 12 del 1981 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1981 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Si p,p, q,q, y MM son números positivos y q<100,q\lt100, entonces el número que se obtiene al aumentar MM en p%p\% y disminuir el resultado en q%q\% excede a MM si y solo si

If p,p, q,q, and MM are positive numbers and q<100,q\lt100, then the number obtained by increasing MM by p%p\% and decreasing the result by q%q\% exceeds MM if and only if

p>qp\gt q

p>q100−qp\gt\frac q{100-q}

p>q1−qp\gt\frac q{1-q}

p>100q100+qp\gt\frac{100q}{100+q}

p>100q100−qp\gt\frac{100q}{100-q}

Respuesta: E
Conceptos:porcentajedesigualdadmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:

Escribe los dos cambios porcentuales sucesivos como factores multiplicativos

Write the two successive percentage changes as multiplication factors

Pista grande:

Usa q<100q\lt100 al dividir por 100−q100-q

Use q<100q\lt100 when dividing by 100−q100-q

Solución:

La cantidad final es M(1+p100)(1−q100). M\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac q{100}\right). Excede a MM exactamente cuando (100+p)(100−q)>10000.(100+p)(100-q)\gt10000. Al desarrollar se obtiene p(100−q)>100q.p(100-q)\gt100q. Como 100−q>0,100-q\gt0, esto equivale a p>100q100−q.p\gt\frac{100q}{100-q}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The final amount is M(1+p100)(1−q100). M\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac q{100}\right). It exceeds MM exactly when (100+p)(100−q)>10000.(100+p)(100-q)\gt10000. Expanding gives p(100−q)>100q.p(100-q)\gt100q. Since 100−q>0,100-q\gt0, this is p>100q100−q.p\gt\frac{100q}{100-q}.

Therefore, the correct answer is E.

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