Soluciones del 1981 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Si $\sqrt{x+2}=2,$ entonces $(x+2)^2$ es igual a

If $\sqrt{x+2}=2,$ then $(x+2)^2$ equals

$\sqrt2$

$2$

$4$

$8$

$16$

Conceptos:radical sustitución

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

La ecuación ya proporciona el valor de $x+2$

The equation already gives the value of $x+2$

Pista grande:

Eleva una vez más al cuadrado el valor conocido

Square the known value once more

Solución:

De $\sqrt{x+2}=2,$ obtenemos $x+2=4.$ Por lo tanto, $(x+2)^2=4^2=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

From $\sqrt{x+2}=2,$ we get $x+2=4.$ Therefore $(x+2)^2=4^2=16.$

Therefore, the correct answer is E.

2.

El punto $E$ está en el lado $AB$ del cuadrado $ABCD.$ Si $EB$ tiene longitud uno y $EC$ tiene longitud dos, entonces el área del cuadrado es

Point $E$ is on side $AB$ of square $ABCD.$ If $EB$ has length one and $EC$ has length two, then the area of the square is

$\sqrt3$

$\sqrt5$

$3$

$2\sqrt3$

$5$

Conceptos:cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras área

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

El triángulo $EBC$ es rectángulo

Triangle $EBC$ is a right triangle

Pista grande:

El cateto desconocido $BC$ también es la longitud del lado del cuadrado

The unknown leg $BC$ is also the side length of the square

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del cuadrado. En el triángulo rectángulo $EBC,$ $s^2+1^2=2^2.$ Por consiguiente, $s^2=3,$ que es precisamente el área del cuadrado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the square’s side length be $s.$ In right triangle $EBC,$ $s^2+1^2=2^2.$ Hence $s^2=3,$ which is exactly the area of the square.

Therefore, the correct answer is C.

3.

Para $x\ne0,$ $\frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x}$ es igual a

For $x\ne0,$ $\frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x}$ equals

$\frac1{2x}$

$\frac1{6x}$

$\frac5{6x}$

$\frac{11}{6x}$

$\frac1{6x^3}$

Conceptos:fracción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Usa $6x$ como denominador común

Use $6x$ as a common denominator

Pista grande:

Suma los numeradores resultantes $6,$ $3,$ y $2$

Add the resulting numerators $6,$ $3,$ and $2$

Solución:

Al usar el denominador común $6x$ , obtenemos $\begin{aligned} \frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x} &=\frac6{6x}+\frac3{6x}\\ &\quad+\frac2{6x}\\ &=\frac{11}{6x}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using the common denominator $6x$ gives $\begin{aligned} \frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x} &=\frac6{6x}+\frac3{6x}\\ &\quad+\frac2{6x}\\ &=\frac{11}{6x}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

4.

Si tres veces el mayor de dos números es igual a cuatro veces el menor y la diferencia entre los números es $8,$ entonces el mayor de los dos números es

If three times the larger of two numbers is four times the smaller and the difference between the numbers is $8,$ then the larger of the two numbers is

$16$

$24$

$32$

$44$

$52$

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Sean $L$ y $S$ los números mayor y menor, respectivamente

Let $L$ and $S$ denote the larger and smaller numbers

Pista grande:

Usa $3L=4S$ junto con $L-S=8$

Use $3L=4S$ together with $L-S=8$

Solución:

La relación $3L=4S$ da $S=\frac{3L}{4}.$ Por tanto, $L-S=L-\frac{3L}{4}=\frac L4=8,$ así que $L=32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The relation $3L=4S$ gives $S=\frac{3L}{4}.$ Thus $L-S=L-\frac{3L}{4}=\frac L4=8,$ so $L=32.$

Therefore, the correct answer is C.

5.

En el trapecio $ABCD,$ los lados $AB$ y $CD$ son paralelos, y la diagonal $BD$ y el lado $AD$ tienen la misma longitud. Si $\angle DCB=110^\circ$ y $\angle CBD=30^\circ,$ entonces $\angle ADB=$

In trapezoid $ABCD,$ sides $AB$ and $CD$ are parallel, and diagonal $BD$ and side $AD$ have equal length. If $\angle DCB=110^\circ$ and $\angle CBD=30^\circ,$ then $\angle ADB=$

$80^\circ$

$90^\circ$

$100^\circ$

$110^\circ$

$120^\circ$

Conceptos:trapecio rectas paralelas triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Usa las bases paralelas para hallar el ángulo interior completo en $B$

Use the parallel bases to find the full interior angle at $B$

Pista grande:

Después usa $AD=BD$ en el triángulo $ABD$

Then use $AD=BD$ in triangle $ABD$

Solución:

Como $AB\parallel CD,$ los ángulos interiores consecutivos dan $\angle ABC=180^\circ-110^\circ=70^\circ.$ Por tanto, $\angle ABD=70^\circ-30^\circ=40^\circ.$ Como $AD=BD,$ el triángulo $ABD$ cumple $\angle DAB=\angle ABD=40^\circ.$ Así, $\begin{aligned} \angle ADB &=180^\circ-40^\circ-40^\circ\\ &=100^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $AB\parallel CD,$ consecutive interior angles give $\angle ABC=180^\circ-110^\circ=70^\circ.$ Hence $\angle ABD=70^\circ-30^\circ=40^\circ.$ Because $AD=BD,$ triangle $ABD$ has $\angle DAB=\angle ABD=40^\circ.$ Therefore $\begin{aligned} \angle ADB &=180^\circ-40^\circ-40^\circ\\ &=100^\circ. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

6.

Si $\frac{x}{x-1}=\frac{y^2+2y-1}{y^2+2y-2},$ entonces $x$ es igual a

If $\frac{x}{x-1}=\frac{y^2+2y-1}{y^2+2y-2},$ then $x$ equals

$y^2+2y-1$

$y^2+2y-2$

$y^2+2y+2$

$y^2+2y+1$

$-y^2-2y+1$

Conceptos:ecuación racional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Observa que cada denominador es uno menos que su numerador

Notice that each denominator is one less than its numerator

Pista grande:

Sea $A=y^2+2y-1$ y compara $\frac{x}{x-1}$ con $\frac A{A-1}$

Set $A=y^2+2y-1$ and compare $\frac{x}{x-1}$ with $\frac A{A-1}$

Solución:

Sea $A=y^2+2y-1.$ La ecuación se convierte en $\frac{x}{x-1}=\frac{A}{A-1}.$ Al multiplicar en cruz obtenemos $xA-x=Ax-A,$ por lo que $x=A=y^2+2y-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $A=y^2+2y-1.$ The equation becomes $\frac{x}{x-1}=\frac{A}{A-1}.$ Cross-multiplication gives $xA-x=Ax-A,$ so $x=A=y^2+2y-1.$

Therefore, the correct answer is A.

7.

¿Cuántos de los primeros cien enteros positivos son divisibles por todos los números $2,$ $3,$ $4$ y $5$ ?

How many of the first one hundred positive integers are divisible by all of the numbers $2,$ $3,$ $4,$ $5?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:mínimo común múltiplo divisibilidad

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Halla el mínimo común múltiplo de $2,$ $3,$ $4,$ y $5$

Find the least common multiple of $2,$ $3,$ $4,$ and $5$

Pista grande:

Cuenta los múltiplos de ese mínimo común múltiplo hasta $100$

Count the multiples of that least common multiple through $100$

Solución:

El mínimo común múltiplo es $\operatorname{lcm}(2,3,4,5)=60.$ Entre los enteros positivos hasta $100,$ solo $60$ es múltiplo de $60.$ Por tanto, la cantidad es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The least common multiple is $\operatorname{lcm}(2,3,4,5)=60.$ Among the positive integers through $100,$ only $60$ is a multiple of $60.$ Thus the count is $1.$

Therefore, the correct answer is B.

8.

Para todos los números positivos $x,$ $y,$ $z,$ el producto $\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}$ es igual a

For all positive numbers $x,$ $y,$ $z,$ the product $\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}$ equals

$x^{-2}y^{-2}z^{-2}$

$x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}$

$(x+y+z)^{-1}$

$\frac1{xyz}$

$\frac1{xy+yz+zx}$

Conceptos:manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Reescribe cada suma de recíprocos con un denominador común

Rewrite each sum of reciprocals over a common denominator

Pista grande:

Las dos sumas de recíprocos introducen los factores $xy+yz+zx$ y $x+y+z$

The two reciprocal sums introduce factors $xy+yz+zx$ and $x+y+z$

Solución:

Tenemos $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}$ y $\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz}. \end{aligned}$ Todos los factores de las sumas simétricas se cancelan, y queda $\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}$ and $\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz}. \end{aligned}$ All symmetric sum factors cancel, leaving $\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}.$

Therefore, the correct answer is A.

9.

En la figura adjunta, $PQ$ es una diagonal del cubo. Si $PQ$ tiene longitud $a,$ entonces el área de la superficie del cubo es

In the adjoining figure, $PQ$ is a diagonal of the cube. If $PQ$ has length $a,$ then the surface area of the cube is

$2a^2$

$2\sqrt2a^2$

$2\sqrt3a^2$

$3\sqrt3a^2$

$6a^2$

Conceptos:geometría del cubo diagonal área de superficie

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Relaciona la diagonal espacial del cubo con la longitud de su lado

Relate the cube’s space diagonal to its side length

Pista grande:

Sustituye la longitud del lado en la fórmula para las seis caras cuadradas

Substitute the side length into the formula for six square faces

Solución:

Si la longitud del lado es $s,$ entonces la diagonal espacial es $s\sqrt3=a,$ por lo que $s^2=\frac{a^2}{3}.$ El área de la superficie es $6s^2=6(\frac{a^2}{3})=2a^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the side length is $s,$ then the space diagonal is $s\sqrt3=a,$ so $s^2=\frac{a^2}{3}.$ The surface area is $6s^2=6(\frac{a^2}{3})=2a^2.$

Therefore, the correct answer is A.

10.

Las rectas $L$ y $K$ son simétricas entre sí respecto de la recta $y=x.$ Si la ecuación de la recta $L$ es $y=ax+b$ , con $a\ne0$ y $b\ne0,$ entonces la ecuación de $K$ es $y=$

The lines $L$ and $K$ are symmetric to each other with respect to the line $y=x.$ If the equation of line $L$ is $y=ax+b$ with $a\ne0$ and $b\ne0,$ then the equation of $K$ is $y=$

$\frac1a x+b$

$-\frac1a x+b$

$-\frac1a x-\frac ba$

$\frac1a x+\frac ba$

$\frac1a x-\frac ba$

Conceptos:geometría analítica reflexión (geometría)ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

La reflexión respecto de $y=x$ intercambia las dos coordenadas

Reflection across $y=x$ interchanges the two coordinates

Pista grande:

Intercambia $x$ y $y$ en la ecuación original y luego despeja $y$

Swap $x$ and $y$ in the original equation, then solve for $y$

Solución:

Al intercambiar $x$ y $y$ en $y=ax+b$ , obtenemos $x=ay+b.$ Al despejar, $y=\frac{x-b}{a}=\frac1a x-\frac ba.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Interchanging $x$ and $y$ in $y=ax+b$ gives $x=ay+b.$ Solving, $y=\frac{x-b}{a}=\frac1a x-\frac ba.$

Therefore, the correct answer is E.

11.

Los tres lados de un triángulo rectángulo tienen longitudes enteras que forman una progresión aritmética. Uno de los lados podría tener longitud

The three sides of a right triangle have integral lengths which form an arithmetic progression. One of the sides could have length

$22$

$58$

$81$

$91$

$361$

Conceptos:Terna pitagórica sucesión aritmética divisibilidad

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Representa los tres lados igualmente espaciados como $s-d,$ $s,$ $s+d$

Represent the three equally spaced sides as $s-d,$ $s,$ $s+d$

Pista grande:

Todo triángulo rectángulo integral de este tipo es un múltiplo de un triángulo $3$ - $4$ - $5$

Every such integral right triangle is a multiple of a $3$ - $4$ - $5$ triangle

Solución:

Si los lados son $s-d,$ $s,$ $s+d,$ la ecuación pitagórica da $(s-d)^2+s^2=(s+d)^2,$ de donde $s=4k$ y $d=k$ para algún entero positivo $k.$ Así, los lados son $3k,$ $4k,$ $5k.$ Entre las opciones, $81=3\cdot27$ puede aparecer.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the sides are $s-d,$ $s,$ $s+d,$ the Pythagorean equation gives $(s-d)^2+s^2=(s+d)^2,$ hence $s=4k$ and $d=k$ for some positive integer $k.$ Thus the sides are $3k,$ $4k,$ $5k.$ Of the choices, $81=3\cdot27$ can occur.

Therefore, the correct answer is C.

12.

Si $p,$ $q,$ y $M$ son números positivos y $q\lt100,$ entonces el número que se obtiene al aumentar $M$ en $p\%$ y disminuir el resultado en $q\%$ excede a $M$ si y solo si

If $p,$ $q,$ and $M$ are positive numbers and $q\lt100,$ then the number obtained by increasing $M$ by $p\%$ and decreasing the result by $q\%$ exceeds $M$ if and only if

$p\gt q$

$p\gt\frac q{100-q}$

$p\gt\frac q{1-q}$

$p\gt\frac{100q}{100+q}$

$p\gt\frac{100q}{100-q}$

Conceptos:porcentaje desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Escribe los dos cambios porcentuales sucesivos como factores multiplicativos

Write the two successive percentage changes as multiplication factors

Pista grande:

Usa $q\lt100$ al dividir por $100-q$

Use $q\lt100$ when dividing by $100-q$

Solución:

La cantidad final es $M\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac q{100}\right).$ Excede a $M$ exactamente cuando $(100+p)(100-q)\gt10000.$ Al desarrollar se obtiene $p(100-q)\gt100q.$ Como $100-q\gt0,$ esto equivale a $p\gt\frac{100q}{100-q}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The final amount is $M\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac q{100}\right).$ It exceeds $M$ exactly when $(100+p)(100-q)\gt10000.$ Expanding gives $p(100-q)\gt100q.$ Since $100-q\gt0,$ this is $p\gt\frac{100q}{100-q}.$

Therefore, the correct answer is E.

13.

Supón que, al final de cada año, una unidad monetaria ha perdido el $10\%$ del valor que tenía al principio de ese año. Halla el menor entero $n$ tal que, después de $n$ años, la unidad monetaria haya perdido al menos el $90\%$ de su valor. (Al milésimo más cercano, $\log_{10}3$ es $0.477.$ )

Suppose that at the end of any year, a unit of money has lost $10\%$ of the value it had at the beginning of that year. Find the smallest integer $n$ such that after $n$ years the unit of money will have lost at least $90\%$ of its value. (To the nearest thousandth $\log_{10}3$ is $0.477.$ )

$14$

$16$

$18$

$20$

$22$

Conceptos:exponente logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Después de $n$ años, la fracción del valor que queda es $0.9^n$

After $n$ years, the fraction of value remaining is $0.9^n$

Pista grande:

Usa $\log_{10}0.9=2\log_{10}3-1$

Use $\log_{10}0.9=2\log_{10}3-1$

Solución:

Perder al menos el $90\%$ significa que $0.9^n\le0.1.$ Ahora, $\begin{aligned} \log_{10}0.9 &=\log_{10}9-1\\ &=2(0.477)-1\\ &=-0.046. \end{aligned}$ Así, $n(-0.046)\le-1,$ de modo que $n\ge21.739\ldots.$ El menor entero es $22.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

At least $90\%$ lost means $0.9^n\le0.1.$ Now $\begin{aligned} \log_{10}0.9 &=\log_{10}9-1\\ &=2(0.477)-1\\ &=-0.046. \end{aligned}$ Thus $n(-0.046)\le-1,$ so $n\ge21.739\ldots.$ The least integer is $22.$

Therefore, the correct answer is E.

14.

En una sucesión geométrica de números reales, la suma de los dos primeros términos es $7,$ y la suma de los seis primeros es $91.$ La suma de los cuatro primeros términos es

In a geometric sequence of real numbers, the sum of the first two terms is $7,$ and the sum of the first six terms is $91.$ The sum of the first four terms is

$28$

$32$

$35$

$49$

$84$

Conceptos:sucesión geométrica cuadrática

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Factoriza la suma de los seis primeros términos como la suma de los dos primeros multiplicada por $1+r^2+r^4$

Factor the first-six-term sum into the first-two-term sum times $1+r^2+r^4$

Pista grande:

Sea $t=r^2$ y resuelve $1+t+t^2=13$

Set $t=r^2$ and solve $1+t+t^2=13$

Solución:

Si el primer término es $a$ y la razón es $r,$ entonces $91=a(1+r)(1+r^2+r^4).$ Como $a(1+r)=7,$ tenemos $1+r^2+r^4=13.$ Con $t=r^2\ge0,$ resulta $t^2+t-12=0,$ así que $t=3.$ La suma de los cuatro primeros términos es $a(1+r)(1+r^2)=7(4)=28.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the first term is $a$ and ratio is $r,$ then $91=a(1+r)(1+r^2+r^4).$ Since $a(1+r)=7,$ we have $1+r^2+r^4=13.$ With $t=r^2\ge0,$ $t^2+t-12=0,$ so $t=3.$ The first four terms sum to $a(1+r)(1+r^2)=7(4)=28.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

Si $b\gt1,$ $x\gt0,$ y $(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0,$ entonces $x$ es

If $b\gt1,$ $x\gt0,$ and $(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0,$ then $x$ is

$\frac1{216}$

$\frac16$

$1$

$6$

no está determinado de manera única

not uniquely determined

Conceptos:logaritmo exponente sustitución

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Toma logaritmos en base $b$ de las dos potencias positivas iguales

Take logarithms to base $b$ of the two equal positive powers

Pista grande:

Sean $A=\log_b2,$ $B=\log_b3,$ y $u=\log_bx$

Let $A=\log_b2,$ $B=\log_b3,$ and $u=\log_bx$

Solución:

Sean $A=\log_b2,$ $B=\log_b3,$ y $u=\log_bx.$ Al tomar logaritmos en base $b$ obtenemos $A(A+u)=B(B+u).$ Como $A\ne B,$ $A+B+u=0.$ Por lo tanto, $u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6}),$ así que $x=\frac{1}{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $A=\log_b2,$ $B=\log_b3,$ and $u=\log_bx.$ Taking base- $b$ logarithms gives $A(A+u)=B(B+u).$ Since $A\ne B,$ $A+B+u=0.$ Therefore $u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6}),$ so $x=\frac{1}{6}.$

Therefore, the correct answer is B.

16.

La representación en base tres de $x$ es $12112211122211112222.$ El primer dígito (a la izquierda) de la representación en base nueve de $x$ es

The base three representation of $x$ is $12112211122211112222.$ The first digit (on the left) of the base nine representation of $x$ is

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:base numérica dígitos

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Como $9=3^2,$ agrupa los dígitos en base tres de dos en dos desde la derecha

Since $9=3^2,$ group the base-three digits in pairs from the right

Pista grande:

Convierte el par de la izquierda $12_3$ en un dígito de base nueve

Convert the leftmost pair $12_3$ into a base-nine digit

Solución:

La representación tiene un número par de dígitos en base tres, así que su primer dígito en base nueve proviene de $12_3.$ Ese par tiene valor $1\cdot3+2=5,$ por lo que el primer dígito en base nueve es $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The representation has an even number of base-three digits, so its leftmost base-nine digit comes from $12_3.$ That pair has value $1\cdot3+2=5,$ so the first base-nine digit is $5.$

Therefore, the correct answer is E.

17.

La función $f$ no está definida para $x=0,$ pero, para todo número real no nulo $x,$ $f(x)+2f\left(\frac1x\right)=3x.$ La ecuación $f(x)=f(-x)$ se satisface para

The function $f$ is not defined for $x=0,$ but, for all nonzero real numbers $x,$ $f(x)+2f\left(\frac1x\right)=3x.$ The equation $f(x)=f(-x)$ is satisfied by

exactamente un número real

exactly one real number

exactamente dos números reales

exactly two real numbers

ningún número real

no real numbers

infinitos números reales no nulos, pero no todos

infinitely many, but not all, nonzero real numbers

todos los números reales no nulos

all nonzero real numbers

Conceptos:ecuación funcional sistema de ecuaciones simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Vuelve a aplicar la relación dada después de sustituir $x$ por $\frac{1}{x}$

Apply the given relation again after replacing $x$ by $\frac{1}{x}$

Pista grande:

Resuelve las dos ecuaciones para $f(x)$ y luego compara sus valores en $x$ y $-x$

Solve the two equations for $f(x)$ , then compare its values at $x$ and $-x$

Solución:

Al sustituir $x$ por $\frac{1}{x}$ , obtenemos $f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}.$ Al resolver las dos ecuaciones lineales resulta $f(x)=\frac2x-x.$ Por consiguiente, $f(-x)=-f(x),$ así que la igualdad exige $f(x)=0.$ Por tanto, $\frac{2}{x}-x=0,$ o bien $x^2=2.$ Tanto $x=\sqrt2$ como $x=-\sqrt2$ funcionan, lo que da exactamente dos números reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Replacing $x$ by $\frac{1}{x}$ gives $f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}.$ Solving the two linear equations yields $f(x)=\frac2x-x.$ Hence $f(-x)=-f(x),$ so equality requires $f(x)=0.$ Thus $\frac{2}{x}-x=0,$ or $x^2=2.$ Both $x=\sqrt2$ and $x=-\sqrt2$ work, giving exactly two real numbers.

Therefore, the correct answer is B.

18.

El número de soluciones reales de la ecuación $\frac{x}{100}=\sin x$ es

The number of real solutions to the equation $\frac{x}{100}=\sin x$ is

$61$

$62$

$63$

$64$

$65$

Conceptos:trigonometría conteo de intersecciones simetría

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Usa la simetría impar y cuenta primero las soluciones positivas

Use odd symmetry and first count the positive solutions

Pista grande:

Solo las semiondas positivas del seno anteriores a $x=100$ pueden cortar la recta; trata con cuidado la primera

Only positive sine humps below $x=100$ can meet the line, with special care for the first hump

Solución:

La ecuación tiene simetría impar y posee la solución $x=0.$ En $(0,\pi)$ hay una solución positiva adicional. Para cada $k=1,2,\ldots,15,$ la semionda positiva del seno en $(2k\pi,(2k+1)\pi)$ sube por encima de $\frac{x}{100}$ y luego baja por debajo, lo que da dos soluciones. No hay soluciones positivas después de $31\pi$ , porque la siguiente semionda positiva comienza por encima de $100$ , mientras que $|\sin x|\le1.$ Por tanto, hay $1+2(15)=31$ soluciones positivas, el mismo número de negativas y además el cero: $31+31+1=63.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The equation is odd-symmetric and has the solution $x=0.$ On $(0,\pi)$ there is one further positive solution. For each $k=1,2,\ldots,15,$ the positive sine hump on $(2k\pi,(2k+1)\pi)$ rises above $\frac{x}{100}$ and then falls below it, giving two solutions. There are no positive solutions beyond $31\pi$ , because the next positive hump begins above $100$ while $|\sin x|\le1.$ Thus there are $1+2(15)=31$ positive solutions, the same number negative, and zero itself: $31+31+1=63.$

Therefore, the correct answer is C.

19.

En $\triangle ABC,$ $M$ es el punto medio del lado $BC,$ $AN$ biseca $\angle BAC,$ $BN\perp AN,$ y $\theta$ es la medida de $\angle BAC.$ Si los lados $AB$ y $AC$ tienen longitudes $14$ y $19,$ respectivamente, entonces la longitud $MN$ es igual a

In $\triangle ABC,$ $M$ is the midpoint of side $BC,$ $AN$ bisects $\angle BAC,$ $BN\perp AN,$ and $\theta$ is the measure of $\angle BAC.$ If sides $AB$ and $AC$ have lengths $14$ and $19,$ respectively, then length $MN$ equals

$2$

$\frac52$

$\frac52-\sin\theta$

$\frac52-\frac12\sin\theta$

$\frac52-\frac12\sin\left(\frac\theta2\right)$

Conceptos:bisectriz reflexión (geometría)punto medio

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Prolonga $BN$ a través de $N$ hasta que corte $AC$

Extend $BN$ through $N$ to meet $AC$

Pista grande:

Usa la congruencia a ambos lados de la bisectriz y luego aplica el teorema del segmento medio

Use congruence across the angle bisector, then apply the midpoint theorem

Solución:

Prolonga $BN$ hasta que corte $AC$ en $E.$ Los triángulos rectángulos $ABN$ y $AEN$ son congruentes porque comparten $AN$ y esta recta biseca el ángulo en $A.$ Por consiguiente, $BE$ queda bisecado por $N$ y $AE=AB=14.$ Como $AC=19,$ se tiene $EC=5.$ En el triángulo $BEC,$ los puntos $N$ y $M$ son los puntos medios de $BE$ y $BC,$ por lo que $MN=\frac{EC}{2}=\frac{5}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Extend $BN$ to meet $AC$ at $E.$ The right triangles $ABN$ and $AEN$ are congruent because $AN$ is common and bisects the angle at $A.$ Hence $BE$ is bisected by $N$ and $AE=AB=14.$ Since $AC=19,$ $EC=5.$ In triangle $BEC,$ points $N$ and $M$ are the midpoints of $BE$ and $BC,$ so $MN=\frac{EC}{2}=\frac{5}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

20.

Un rayo de luz parte del punto $A$ y viaja en un plano, reflejándose $n$ veces entre las rectas $AD$ y $CD,$ antes de incidir perpendicularmente en un punto $B$ (que puede estar en $AD$ o $CD$ ) y volver sobre su trayectoria hasta $A.$ (En cada punto de reflexión, el rayo forma dos ángulos iguales, como se indica en la figura adjunta. La figura muestra la trayectoria para $n=3.$ ) Si $\angle CDA=8^\circ,$ ¿cuál es el mayor valor que puede tener $n$ ?

A ray of light originates from point $A$ and travels in a plane, being reflected $n$ times between lines $AD$ and $CD,$ before striking a point $B$ (which may be on $AD$ or $CD$ ) perpendicularly and retracing its path to $A.$ (At each point of reflection the light makes two equal angles as indicated in the adjoining figure. The figure shows the light path for $n=3.$ ) If $\angle CDA=8^\circ,$ what is the largest value $n$ can have?

$6$

$10$

$38$

$98$

No existe un valor máximo.

There is no largest value.

Conceptos:reflexión (geometría)persecución de ángulos desigualdad

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Sigue el ángulo agudo entre el rayo y cada recta reflectora sucesiva

Track the acute angle between the ray and each successive reflecting line

Pista grande:

Cada reflexión aumenta ese ángulo en el ángulo de la cuña, $8^\circ$

Each reflection advances that angle by the wedge angle $8^\circ$

Solución:

Sea $\theta\gt0$ el ángulo agudo inicial entre el rayo y $AD.$ Las relaciones sucesivas entre ángulos exteriores aumentan el ángulo agudo correspondiente en $8^\circ$ con cada reflexión. En la incidencia perpendicular final, $90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ.$ Así, $\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0,$ por lo que $n\lt\frac{82}{8}=10.25.$ El mayor entero posible es $10,$ alcanzado cuando $\theta=2^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $\theta\gt0$ be the initial acute angle between the ray and $AD.$ Successive exterior-angle relations increase the corresponding acute angle by $8^\circ$ at each reflection. At the final perpendicular strike, $90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ.$ Thus $\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0,$ so $n\lt\frac{82}{8}=10.25.$ The greatest integer possible is $10,$ attained when $\theta=2^\circ.$

Therefore, the correct answer is B.

21.

En un triángulo cuyos lados tienen longitudes $a,$ $b,$ y $c,$ $(a+b+c)(a+b-c)=3ab.$ La medida del ángulo opuesto al lado de longitud $c$ es

In a triangle with sides of lengths $a,$ $b,$ and $c,$ $(a+b+c)(a+b-c)=3ab.$ The measure of the angle opposite the side of length $c$ is

$15^\circ$

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$150^\circ$

Conceptos:ley de los cosenos diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Desarrolla el lado izquierdo como una diferencia de cuadrados

Expand the left side as a difference of squares

Pista grande:

Compara la expresión resultante para $c^2$ con la ley de los cosenos

Compare the resulting expression for $c^2$ with the law of cosines

Solución:

La condición da $(a+b)^2-c^2=3ab,$ por lo que $c^2=a^2+b^2-ab.$ Si $\theta$ es el ángulo opuesto a $c,$ la ley de los cosenos dice que $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta.$ Por tanto, $2ab\cos\theta=ab,$ así que $\cos\theta=\frac{1}{2}$ y $\theta=60^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The condition gives $(a+b)^2-c^2=3ab,$ so $c^2=a^2+b^2-ab.$ If $\theta$ is opposite $c,$ the law of cosines says $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta.$ Therefore $2ab\cos\theta=ab,$ so $\cos\theta=\frac{1}{2}$ and $\theta=60^\circ.$

Therefore, the correct answer is D.

22.

¿Cuántas rectas de un sistema tridimensional de coordenadas rectangulares pasan por cuatro puntos distintos de la forma $(i,j,k),$ donde $i,$ $j,$ y $k$ son enteros positivos no mayores que cuatro?

How many lines in a three-dimensional rectangular coordinate system pass through four distinct points of the form $(i,j,k),$ where $i,$ $j,$ and $k$ are positive integers not exceeding four?

$60$

$64$

$72$

$76$

$100$

Conceptos:Geometría 3D punto reticular conteo básico

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Cuatro puntos reticulares colineales en esta cuadrícula de $4$ por $4$ por $4$ deben avanzar con pasos de coordenadas $0$ o $\pm1$

Four collinear lattice points in this $4$ -by- $4$ -by- $4$ grid must advance by coordinate steps $0$ or $\pm1$

Pista grande:

Cuenta por separado las rectas paralelas a los ejes, las diagonales de las caras y las diagonales espaciales

Count axis-parallel lines, face-diagonal lines, and space diagonals separately

Solución:

Hay $3\cdot4^2=48$ rectas paralelas a los ejes. Para las direcciones diagonales de las caras, se elige el par de coordenadas variables de $3$ maneras, una de las $2$ pendientes diagonales y se fija la coordenada restante de $4$ maneras, lo que da $3\cdot2\cdot4=24.$ Por último, el cubo tiene $4$ diagonales espaciales. Por tanto, el total es $48+24+4=76.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are $3\cdot4^2=48$ axis-parallel lines. For face-diagonal directions, choose the pair of varying coordinates in $3$ ways, choose one of $2$ diagonal slopes, and fix the remaining coordinate in $4$ ways, giving $3\cdot2\cdot4=24.$ Finally, the cube has $4$ space diagonals. Thus the total is $48+24+4=76.$

Therefore, the correct answer is D.

23.

El triángulo equilátero $\triangle ABC$ está inscrito en un círculo. Un segundo círculo es tangente interiormente al circuncírculo en $T$ y tangente a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q.$ Si el lado $BC$ tiene longitud $12,$ entonces el segmento $PQ$ tiene longitud

Equilateral $\triangle ABC$ is inscribed in a circle. A second circle is tangent internally to the circumcircle at $T$ and tangent to sides $AB$ and $AC$ at points $P$ and $Q.$ If side $BC$ has length $12,$ then segment $PQ$ has length

$6$

$6\sqrt3$

$8$

$8\sqrt3$

$9$

Conceptos:triángulo equilátero circunferencias tangentes semejanza

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Usa la simetría para situar los centros de ambos círculos y $T$ en la altura trazada desde $A$

Use symmetry to place both circle centers and $T$ on the altitude from $A$

Pista grande:

Relaciona el radio del círculo menor con el circunradio mediante el semiángulo de $30^\circ$ en $A$

Relate the smaller circle’s radius to the circumradius using the $30^\circ$ half-angle at $A$

Solución:

El circunradio del triángulo equilátero es $R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$ Si el radio menor es $r,$ su centro se encuentra en la altura y está a $2r$ de $A,$ porque su distancia a cualquiera de los lados es $r$ y el semiángulo es $30^\circ.$ La tangencia interior en la parte inferior da $2r=2R-r,$ así que $r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}.$ Los puntos de tangencia en los dos lados están separados por $PQ=r\sqrt3=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The circumradius of the equilateral triangle is $R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$ If the smaller radius is $r,$ its center lies on the altitude and is $2r$ from $A,$ because its distance to either side is $r$ and the half-angle is $30^\circ.$ Internal tangency at the bottom gives $2r=2R-r,$ so $r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}.$ The tangency points on the two sides are separated by $PQ=r\sqrt3=8.$

Therefore, the correct answer is C.

24.

Si $\theta$ es una constante tal que $0\lt\theta\lt\pi$ y $x+\frac1x=2\cos\theta,$ entonces, para cada entero positivo $n,$ $x^n+\frac1{x^n}$ es igual a

If $\theta$ is a constant such that $0\lt\theta\lt\pi$ and $x+\frac1x=2\cos\theta,$ then for each positive integer $n,$ $x^n+\frac1{x^n}$ equals

$2\cos\theta$

$2^n\cos\theta$

$2\cos^n\theta$

$2\cos n\theta$

$2^n\cos^n\theta$

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Reescribe la condición como una ecuación cuadrática en $x$

Rewrite the condition as a quadratic equation in $x$

Pista grande:

Sus dos raíces son $\cos\theta\pm i\sin\theta$

Its two roots are $\cos\theta\pm i\sin\theta$

Solución:

La ecuación es $x^2-2x\cos\theta+1=0,$ cuyas raíces son $e^{i\theta}$ y $e^{-i\theta}.$ Así, $x=e^{\pm i\theta}$ y $x^{-1}=e^{\mp i\theta}.$ Por el teorema de De Moivre, $\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The equation is $x^2-2x\cos\theta+1=0,$ whose roots are $e^{i\theta}$ and $e^{-i\theta}.$ Thus $x=e^{\pm i\theta}$ and $x^{-1}=e^{\mp i\theta}.$ By De Moivre’s theorem, $\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

25.

En el triángulo $ABC$ de la figura adjunta, $AD$ y $AE$ trisecan $\angle BAC.$ Las longitudes de $BD,$ $DE,$ y $EC$ son $2,$ $3,$ y $6,$ respectivamente. La longitud del lado más corto de $\triangle ABC$ es

In triangle $ABC$ in the adjoining figure, $AD$ and $AE$ trisect $\angle BAC.$ The lengths of $BD,$ $DE,$ and $EC$ are $2,$ $3,$ and $6,$ respectively. The length of the shortest side of $\triangle ABC$ is

$2\sqrt{10}$

$11$

$6\sqrt6$

$6$

no está determinada de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Conceptos:teorema de la bisectriz ley de los cosenos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Sean los tres ángulos iguales a $\alpha$ , y aplica el teorema de la bisectriz a un subtriángulo adecuado

Let the three equal angles be $\alpha$ , and apply the angle-bisector theorem to a suitable subtriangle

Pista grande:

Iguala las expresiones de la ley de los cosenos para $\cos\alpha$ en los tres triángulos adyacentes

Equate law-of-cosines expressions for $\cos\alpha$ in the three adjacent triangles

Solución:

Sean $AB=c,$ $AD=y,$ $AC=b,$ y $AE=z.$ Como $AD$ biseca $\angle BAE,$ y $AE$ biseca $\angle DAC,$ el teorema de la bisectriz da $\frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6},$ así que $z=\frac{3c}{2}$ y $b=2y.$ Al aplicar la ley de los cosenos a los triángulos $ADB,$ $ADE,$ y $AEC$ e igualar sus valores comunes de $\cos\alpha$ , se obtiene $\begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72. \end{gathered}$ Por consiguiente, $y^2=54$ y $c^2=40.$ Los lados son $AB=2\sqrt{10},$ $BC=11,$ y $AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6,$ de modo que el más corto es $2\sqrt{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $AB=c,$ $AD=y,$ $AC=b,$ and $AE=z.$ Since $AD$ bisects $\angle BAE,$ and $AE$ bisects $\angle DAC,$ the angle-bisector theorem gives $\frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6},$ so $z=\frac{3c}{2}$ and $b=2y.$ Applying the law of cosines to triangles $ADB,$ $ADE,$ and $AEC$ and equating their common $\cos\alpha$ values gives $\begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72. \end{gathered}$ Hence $y^2=54$ and $c^2=40.$ The sides are $AB=2\sqrt{10},$ $BC=11,$ and $AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6,$ so the shortest is $2\sqrt{10}.$

Therefore, the correct answer is A.

26.

Alice, Bob y Carol se turnan repetidamente para lanzar un dado. Alice empieza; Bob siempre sigue a Alice; Carol siempre sigue a Bob; y Alice siempre sigue a Carol. Halla la probabilidad de que Carol sea la primera en sacar un seis. (La probabilidad de obtener un seis en cualquier lanzamiento es $\frac16,$ independientemente del resultado de cualquier otro lanzamiento.)

Alice, Bob, and Carol repeatedly take turns tossing a die. Alice begins; Bob always follows Alice; Carol always follows Bob; and Alice always follows Carol. Find the probability that Carol will be the first one to toss a six. (The probability of obtaining a six on any toss is $\frac16,$ independent of the outcome of any other toss.)

$\frac13$

$\frac29$

$\frac5{18}$

$\frac{25}{91}$

$\frac{36}{91}$

Conceptos:dados (probabilidad)distribución geométrica eventos independientes

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Para que Carol gane en una ronda, Alice y Bob deben fallar antes de que Carol tenga éxito

For Carol to win in a given round, Alice and Bob must fail before Carol succeeds

Pista grande:

Si los tres fallan, el proceso vuelve a empezar con las mismas probabilidades

If all three fail, the process restarts with the same probabilities

Solución:

Carol gana en la primera ronda con probabilidad $(\frac{5}{6})^2(\frac{1}{6})=\frac{25}{216}.$ Una ronda completa sin ningún seis tiene probabilidad $(\frac{5}{6})^3=\frac{125}{216}.$ Por lo tanto, la serie geométrica buscada es $\frac{\frac{25}{216}}{1-\frac{125}{216}} =\frac{25}{91}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Carol wins in the first round with probability $(\frac{5}{6})^2(\frac{1}{6})=\frac{25}{216}.$ A complete round with no six has probability $(\frac{5}{6})^3=\frac{125}{216}.$ Therefore the desired geometric series is $\frac{\frac{25}{216}}{1-\frac{125}{216}} =\frac{25}{91}.$

Therefore, the correct answer is D.

27.

En la figura adjunta, el triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo. El punto $D$ está en $\overset{\frown}{AC}$ , con $\overset{\frown}{DC}=30^\circ,$ y el punto $G$ está en $\overset{\frown}{BA}$ , con $\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}.$ Los lados $AB$ y $AC$ tienen cada uno la misma longitud que la cuerda $DG,$ y $\angle CAB=30^\circ.$ La cuerda $DG$ corta los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F,$ respectivamente. La razón entre el área de $\triangle AFE$ y el área de $\triangle ABC$ es

In the adjoining figure triangle $ABC$ is inscribed in a circle. Point $D$ lies on $\overset{\frown}{AC}$ with $\overset{\frown}{DC}=30^\circ,$ and point $G$ lies on $\overset{\frown}{BA}$ with $\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}.$ Side $AB$ and side $AC$ each have length equal to the length of chord $DG,$ and $\angle CAB=30^\circ.$ Chord $DG$ intersects sides $AC$ and $AB$ at $E$ and $F,$ respectively. The ratio of the area of $\triangle AFE$ to the area of $\triangle ABC$ is

$\frac{2-\sqrt3}{3}$

$\frac{2\sqrt3-3}{3}$

$7\sqrt3-12$

$3\sqrt3-5$

$\frac{9-5\sqrt3}{3}$

Conceptos:arco cuerda razón de áreas

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Usa las cuerdas iguales para identificar los arcos iguales pertinentes y los triángulos isósceles

Use equal chords to identify the relevant equal arcs and isosceles triangles

Pista grande:

Normaliza $AB=AC=DG=1$ y halla $AE$ mediante un triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$

Normalize $AB=AC=DG=1$ and find $AE$ from a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle

Solución:

Ajusta la escala para que $AB=AC=DG=1.$ Las relaciones entre arcos correspondientes a cuerdas iguales muestran que el triángulo $DEC$ es un triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ y que $AE=DE.$ Sea $AE=DE=x.$ Entonces $CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3},$ por lo que $x=2\sqrt3-3.$ Las cuerdas iguales también dan $AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}.$ Por tanto, $\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Scale so $AB=AC=DG=1.$ The equal-chord arc relations show that triangle $DEC$ is $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ and $AE=DE.$ Put $AE=DE=x.$ Then $CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3},$ so $x=2\sqrt3-3.$ Equal chords also give $AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}.$ Hence $\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

28.

Considera el conjunto de todas las ecuaciones $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0,$ donde $a_2,$ $a_1,$ $a_0$ son constantes reales y $|a_i|\le2$ para $i=0,$ $1,$ $2.$ Sea $r$ el mayor número real positivo que satisface al menos una de estas ecuaciones. Entonces

Consider the set of all equations $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0,$ where $a_2,$ $a_1,$ $a_0$ are real constants and $|a_i|\le2$ for $i=0,$ $1,$ $2.$ Let $r$ be the largest positive real number which satisfies at least one of these equations. Then

$1\le r\lt\frac32$

$\frac32\le r\lt2$

$2\le r\lt\frac52$

$\frac52\le r\lt3$

$3\le r\lt\frac72$

Conceptos:polinomio desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Para $x$ positivo, los coeficientes que empujan una raíz más hacia la derecha toman sus cotas inferiores

For positive $x,$ the coefficients that push a root farthest right take their lower bounds

Pista grande:

Acota la raíz mayor de $x^3-2x^2-2x-2$ entre dos extremos consecutivos de las opciones

Bracket the largest root of $x^3-2x^2-2x-2$ at two consecutive choice endpoints

Solución:

Denota por $g$ un polinomio permitido. Para $x\ge0,$ $\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x), \end{aligned}$ donde $f(x)=x^3-2x^2-2x-2.$ Así, ninguna raíz positiva puede superar la raíz mayor $\rho$ de $f.$ Al tomar $a_2=a_1=a_0=-2$ se obtiene $g=f,$ por lo que $\rho$ sí se alcanza. Como $\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0, \end{gathered}$ tenemos $\frac{5}{2}\lt\rho\lt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write an allowed polynomial as $g.$ For $x\ge0,$ $\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x), \end{aligned}$ where $f(x)=x^3-2x^2-2x-2.$ Thus no positive root can exceed the largest root $\rho$ of $f.$ Taking $a_2=a_1=a_0=-2$ gives $g=f,$ so $\rho$ itself is attained. Since $\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0, \end{gathered}$ we have $\frac{5}{2}\lt\rho\lt3.$

Therefore, the correct answer is D.

29.

Si $a\gt1,$ entonces la suma de las soluciones reales de $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ es igual a

If $a\gt1,$ then the sum of the real solutions of $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ is equal to

$\sqrt a-1$

$\frac{\sqrt a-1}{2}$

$\sqrt{a-1}$

$\frac{\sqrt{a-1}}2$

$\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}$

Conceptos:radical cuadrática análisis por casos

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

La raíz cuadrada principal obliga a que $x\ge0$

The principal square root forces $x\ge0$

Pista grande:

Después de elevar una vez al cuadrado, factoriza una diferencia que contiene $\sqrt{a+x}-x$

After one squaring, factor a difference involving $\sqrt{a+x}-x$

Solución:

Como $x\ge0,$ al elevar una vez al cuadrado obtenemos $a-\sqrt{a+x}=x^2.$ Sea $y=\sqrt{a+x}.$ Entonces $y=a-x^2$ y $a=y^2-x,$ por lo que $0=(y+x)(y-x-1).$ Como $y+x\gt0,$ tenemos $y=x+1,$ es decir, $\sqrt{a+x}=x+1.$ Por tanto, $a+x=x^2+2x+1$ y $x^2+x+1-a=0.$ La única raíz no negativa es $x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2},$ y satisface la ecuación original. Por lo tanto, también es la suma de todas las soluciones reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $x\ge0,$ squaring once gives $a-\sqrt{a+x}=x^2.$ Let $y=\sqrt{a+x}.$ Then $y=a-x^2$ and $a=y^2-x,$ so $0=(y+x)(y-x-1).$ Since $y+x\gt0,$ we have $y=x+1,$ or $\sqrt{a+x}=x+1.$ Therefore $a+x=x^2+2x+1$ and $x^2+x+1-a=0.$ The only nonnegative root is $x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2},$ and it satisfies the original equation. It is therefore also the sum of all real solutions.

Therefore, the correct answer is E.

30.

Si $a,$ $b,$ $c,$ $d$ son las soluciones de la ecuación $x^4-bx-3=0,$ entonces una ecuación cuyas soluciones son $\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}$ es

If $a,$ $b,$ $c,$ $d$ are the solutions of the equation $x^4-bx-3=0,$ then an equation whose solutions are $\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}$ is

$3x^4+bx+1=0$

$3x^4-bx+1=0$

$3x^4+bx^3-1=0$

$3x^4-bx^3-1=0$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta sustitución

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Usa la ausencia del término cúbico para hallar $a+b+c+d$

Use the missing cubic term to find $a+b+c+d$

Pista grande:

Cada expresión de la lista se convierte en el recíproco negativo de una raíz original

Each listed expression becomes the negative reciprocal of one original root

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan $a+b+c+d=0.$ Así, por ejemplo, $\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d,$ y de manera análoga las raíces nuevas son $-\frac{1}{a},$ $-\frac{1}{b},$ $-\frac{1}{c},$ $-\frac{1}{d}.$ Sustituye $x=-\frac{1}{r}$ en $r^4-br-3=0.$ Al multiplicar por $x^4$ , obtenemos $1+bx^3-3x^4=0,$ o bien $3x^4-bx^3-1=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Vieta’s formulas give $a+b+c+d=0.$ Thus, for example, $\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d,$ and similarly the new roots are $-\frac{1}{a},$ $-\frac{1}{b},$ $-\frac{1}{c},$ $-\frac{1}{d}.$ Put $x=-\frac{1}{r}$ in $r^4-br-3=0.$ Multiplying by $x^4$ gives $1+bx^3-3x^4=0,$ or $3x^4-bx^3-1=0.$

Therefore, the correct answer is D.