Question

En $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $BC=7,$ y $CA=8.$ El punto $D$ está sobre $\overline{BC},$ y $\overline{AD}$ biseca $\angle BAC.$ El punto $E$ está sobre $\overline{AC},$ y $\overline{BE}$ biseca $\angle ABC.$ Las bisectrices se cortan en $F.$ ¿Cuál es la razón $AF:FD$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $BC=7,$ and $CA=8.$ Point $D$ lies on $\overline{BC},$ and $\overline{AD}$ bisects $\angle BAC.$ Point $E$ lies on $\overline{AC},$ and $\overline{BE}$ bisects $\angle ABC.$ The bisectors intersect at $F.$ What is the ratio $AF:FD?$

$3:2$

$5:3$

$2:1$

$7:3$

$5:2$

Solución:

Al aplicar el teorema de la bisectriz al $\triangle ABC$ se obtiene $BD:DC=AB:AC=6:8,$ así que $BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.$

Ahora $BF$ está sobre la bisectriz de $\angle ABD$ en $\triangle ABD,$ así que, por el teorema de la bisectriz de nuevo, $\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Applying the Angle Bisector Theorem to $\triangle ABC$ gives $BD:DC=AB:AC=6:8,$ so $BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.$

Now $BF$ lies along the bisector of $\angle ABD$ in $\triangle ABD,$ so by the Angle Bisector Theorem again, $\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 12A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años