Question

¿Cuál es el mayor entero que es divisor de $\begin{aligned} &(n + 1)(n + 3)(n + 5) \\ &\quad {}\cdot (n + 7)(n + 9) \end{aligned}$ para todo entero positivo par $n$ ?

What is the largest integer that is a divisor of $\begin{aligned} &(n + 1)(n + 3)(n + 5) \\ &\quad {}\cdot (n + 7)(n + 9) \end{aligned}$ for all positive even integers $n?$

$3$

$5$

$11$

$15$

$165$

Solución:

Para $n$ par, los cinco factores son números impares consecutivos. Entre cualesquiera cinco números impares consecutivos, al menos uno es divisible entre $3$ y exactamente uno entre $5,$ así que el producto siempre es divisible entre $15.$

Ningún divisor mayor funciona siempre: los productos para $n = 2$ y $n = 10$ son $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11$ y $11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19,$ cuyo máximo común divisor es $15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For even $n,$ the five factors are consecutive odd numbers. Among any five consecutive odd numbers, at least one is divisible by $3$ and exactly one by $5,$ so the product is always divisible by $15.$

No larger divisor always works: the products for $n = 2$ and $n = 10$ are $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11$ and $11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19,$ whose greatest common divisor is $15.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años