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2020 AMC 12B Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2020 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Sea AB‾\overline{AB} un diámetro de una circunferencia de radio 52.5\sqrt2. Sea CD‾\overline{CD} una cuerda de la circunferencia que corta a AB‾\overline{AB} en un punto EE tal que BE=25BE = 2\sqrt5 y ∠AEC=45∘.\angle AEC = 45^\circ. ¿Cuánto vale CE2+DE2CE^2 + DE^2?

Let AB‾\overline{AB} be a diameter in a circle of radius 52.5\sqrt2. Let CD‾\overline{CD} be a chord in the circle that intersects AB‾\overline{AB} at a point EE such that BE=25BE = 2\sqrt5 and ∠AEC=45∘.\angle AEC = 45^\circ. What is CE2+DE2?CE^2 + DE^2?

9696

9898

44544\sqrt{5}

70270\sqrt{2}

100100

Respuesta: E
Conceptos:geometría analíticacuerdaFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:

Coloca el centro en el origen con AB‾\overline{AB} sobre el eje xx y parametriza la cuerda desde EE a 45∘45^\circ.

Put the center at the origin with AB‾\overline{AB} on the xx-axis and parametrize the chord from EE at 45∘45^\circ

Pista grande:

Si t1,t2t_1, t_2 son las distancias con signo desde EE hasta C,D,C, D, entonces CE2+DE2=t12+t22CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2.

If t1,t2t_1, t_2 are the signed distances from EE to C,D,C, D, then CE2+DE2=t12+t22CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2

Solución:

Coloca el centro en el origen con AB‾\overline{AB} sobre el eje xx; el radio es R=52,R = 5\sqrt2, así que R2=50.R^2 = 50. Entonces E=(xE,0)E = (x_E, 0) con xE=R−25x_E = R - 2\sqrt5 (su valor exacto no hace falta).

Parametriza la cuerda como E+t(12,12).E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right). Sustituyendo en x2+y2=50x^2 + y^2 = 50 se obtiene t2+2 xE t+(xE2−50)=0,t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0, cuyas raíces son las distancias con signo t1,t2t_1, t_2 hasta CC y D.D.

Por Vieta, t1+t2=−2 xEt_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E y t1t2=xE2−50,t_1 t_2 = x_E^2 - 50, así que CE2+DE2=t12+t22=(t1+t2)2−2t1t2=2xE2−2(xE2−50)=100. \begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Place the center at the origin with AB‾\overline{AB} on the xx-axis; the radius is R=52,R = 5\sqrt2, so R2=50.R^2 = 50. Then E=(xE,0)E = (x_E, 0) with xE=R−25x_E = R - 2\sqrt5 (its exact value is not needed).

Parametrize the chord as E+t(12,12).E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right). Substituting into x2+y2=50x^2 + y^2 = 50 gives t2+2 xE t+(xE2−50)=0,t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0, whose roots are the signed distances t1,t2t_1, t_2 to CC and D.D.

By Vieta, t1+t2=−2 xEt_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E and t1t2=xE2−50,t_1 t_2 = x_E^2 - 50, so CE2+DE2=t12+t22=(t1+t2)2−2t1t2=2xE2−2(xE2−50)=100. \begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100. \end{gathered}

Thus, the correct answer is E.

Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

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