Question

Sea $\overline{AB}$ un diámetro de una circunferencia de radio $5\sqrt2.$ Sea $\overline{CD}$ una cuerda de la circunferencia que corta a $\overline{AB}$ en un punto $E$ tal que $BE = 2\sqrt5$ y $\angle AEC = 45^\circ.$ ¿Cuánto vale $CE^2 + DE^2$ ?

Let $\overline{AB}$ be a diameter in a circle of radius $5\sqrt2.$ Let $\overline{CD}$ be a chord in the circle that intersects $\overline{AB}$ at a point $E$ such that $BE = 2\sqrt5$ and $\angle AEC = 45^\circ.$ What is $CE^2 + DE^2?$

$96$

$98$

$44\sqrt{5}$

$70\sqrt{2}$

$100$

Solución:

Coloca el centro en el origen con $\overline{AB}$ sobre el eje $x$ ; el radio es $R = 5\sqrt2,$ así que $R^2 = 50.$ Entonces $E = (x_E, 0)$ con $x_E = R - 2\sqrt5$ (su valor exacto no hace falta).

Parametriza la cuerda como $E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right).$ Sustituyendo en $x^2 + y^2 = 50$ se obtiene $t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0,$ cuyas raíces son las distancias con signo $t_1, t_2$ hasta $C$ y $D.$

Por Vieta, $t_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E$ y $t_1 t_2 = x_E^2 - 50,$ así que $\begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Place the center at the origin with $\overline{AB}$ on the $x$ -axis; the radius is $R = 5\sqrt2,$ so $R^2 = 50.$ Then $E = (x_E, 0)$ with $x_E = R - 2\sqrt5$ (its exact value is not needed).

Parametrize the chord as $E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right).$ Substituting into $x^2 + y^2 = 50$ gives $t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0,$ whose roots are the signed distances $t_1, t_2$ to $C$ and $D.$

By Vieta, $t_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E$ and $t_1 t_2 = x_E^2 - 50,$ so $\begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.

2020 AMC 12B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años