Question

¿Cuál de las siguientes es el valor de $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}$ ?

Which of the following is the value of $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}?$

$1$

$\sqrt{\log_5 6}$

$2$

$\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}$

$\sqrt{\log_2 6} + \sqrt{\log_3 6}$

Solución:

Sea $a = \log_2 3,$ así que $\log_3 2 = \tfrac1a.$ Entonces $\begin{gathered} \log_2 6 + \log_3 6 \\ {}= (1 + \log_2 3) \\ \quad {}+ (1 + \log_3 2) \\ {}= 2 + a + \frac1a. \end{gathered}$

Mientras tanto, $\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2$ $= a + \frac1a + 2\sqrt{a \cdot \tfrac1a}$ $= a + \frac1a + 2,$ que es igual a la expresión anterior.

Tomando raíces cuadradas, $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}$ $= \sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $a = \log_2 3,$ so $\log_3 2 = \tfrac1a.$ Then $\begin{gathered} \log_2 6 + \log_3 6 \\ {}= (1 + \log_2 3) \\ \quad {}+ (1 + \log_3 2) \\ {}= 2 + a + \frac1a. \end{gathered}$

Meanwhile $\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2$ $= a + \frac1a + 2\sqrt{a \cdot \tfrac1a}$ $= a + \frac1a + 2,$ which equals the expression above.

Taking square roots, $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}$ $= \sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}.$

Thus, the correct answer is D.

2020 AMC 12B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años