Question

Una mañana, cada miembro de la familia de Angela bebió una mezcla de $8$ onzas de café con leche. Las cantidades de café y de leche variaban de taza en taza, pero nunca eran cero. Angela bebió un cuarto de la cantidad total de leche y un sexto de la cantidad total de café. ¿Cuántas personas hay en la familia?

One morning each member of Angela's family drank an $8$ -ounce mixture of coffee with milk. The amounts of coffee and milk varied from cup to cup, but were never zero. Angela drank a quarter of the total amount of milk and a sixth of the total amount of coffee. How many people are in the family?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Solución:

Medimos las cantidades en tazas de $8$ onzas, así que la taza de Angela contiene $c$ de café y $m$ de leche con $c + m = 1$ .

Como Angela bebió un sexto del café, el café total es $6c$ ; como bebió un cuarto de la leche, la leche total es $4m.$ El número de personas es igual al número total de tazas, $\begin{aligned} 6c + 4m &= 6c + 4(1 - c) \\ &= 4 + 2c. \end{aligned}$

Esto es un entero solo cuando $2c$ es un entero, y como $0 \lt c \lt 1$ esto obliga a $c = \tfrac12,$ dando $4 + 1 = 5$ personas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Measure amounts in $8$ -ounce cups, so Angela's cup holds $c$ coffee and $m$ milk with $c + m = 1.$

Since Angela drank a sixth of the coffee, the total coffee is $6c$ ; since she drank a quarter of the milk, the total milk is $4m.$ The number of people equals the total number of cups, $\begin{aligned} 6c + 4m &= 6c + 4(1 - c) \\ &= 4 + 2c. \end{aligned}$

This is an integer only when $2c$ is an integer, and since $0 \lt c \lt 1$ this forces $c = \tfrac12,$ giving $4 + 1 = 5$ people.

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 12 Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años