Question

Una liga con $12$ equipos celebra un torneo de todos contra todos, en el que cada equipo juega contra cada uno de los demás exactamente una vez. Los partidos terminan con un equipo victorioso o bien terminan en empate. Un equipo obtiene $2$ puntos por cada partido que gana y $1$ punto por cada partido que empata. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la lista de $12$ puntuaciones no es verdadera?

A league with $12$ teams holds a round-robin tournament, with each team playing every other team exactly once. Games either end with one team victorious or else end in a draw. A team scores $2$ points for every game it wins and $1$ point for every game it draws. Which of the following is not a true statement about the list of $12$ scores?

Debe haber un número par de puntuaciones impares.

There must be an even number of odd scores.

Debe haber un número par de puntuaciones pares.

There must be an even number of even scores.

No puede haber dos puntuaciones de $0.$

There cannot be two scores of $0.$

La suma de las puntuaciones debe ser al menos $100.$

The sum of the scores must be at least $100.$

La puntuación más alta debe ser al menos $12.$

The highest score must be at least $12.$

Solución:

Cada uno de los $12$ equipos juega $11$ partidos, así que se juegan $\dfrac{12\cdot 11}{2} = 66$ partidos, y cada partido añade $2$ puntos a la lista. El total de todas las puntuaciones es $66\cdot 2 = 132.$

Si todos los partidos son empate, cada equipo obtiene $11,$ así que la puntuación más alta no necesita llegar a $12;$ por lo tanto la afirmación $\text{(E)}$ puede fallar. Las otras afirmaciones siempre se cumplen: la suma $132 \ge 100,$ el que la suma sea par obliga a que haya un número par de puntuaciones impares y por tanto un número par de puntuaciones pares, y dos equipos no pueden obtener ambos $0$ porque su partido mutuo le da al menos un punto a uno de ellos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each of the $12$ teams plays $11$ games, so $\dfrac{12\cdot 11}{2} = 66$ games are played, and each game adds $2$ points to the list. The total of all scores is $66\cdot 2 = 132.$

If every game is a draw, each team scores $11,$ so the highest score need not reach $12;$ thus statement $\text{(E)}$ can fail. The other statements always hold: the sum $132 \ge 100,$ the sum being even forces an even number of odd scores and hence an even number of even scores, and two teams cannot both score $0$ because their mutual game gives at least one of them a point.

Thus, the correct answer is E.

2015 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años