Question

Sean los puntos $A = (0, 0)$ , $B = (1, 2)$ , $C = (3, 3)$ y $D = (4, 0)$ . El cuadrilátero $ABCD$ se corta en piezas de igual área mediante una recta que pasa por $A$ . Esta recta corta a $\overline{CD}$ en el punto $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$ , donde estas fracciones están en su forma más simple. ¿Cuánto vale $p + q + r + s$ ?

Let points $A = (0, 0),$ $B = (1, 2),$ $C = (3, 3),$ and $D = (4, 0).$ Quadrilateral $ABCD$ is cut into equal area pieces by a line passing through $A.$ This line intersects $\overline{CD}$ at point $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ where these fractions are in lowest terms. What is $p + q + r + s?$

$54$

$58$

$62$

$70$

$75$

Solución:

Por la fórmula del cordón de zapato, el área de $ABCD$ es $\tfrac{15}{2}$ . Sea $G$ el punto donde la recta corta a $\overline{CD}$ . El triángulo $ADG$ debe tener área $\tfrac{15}{4}$ .

Como $AD = 4$ está sobre el eje $x$ , $\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}$ da $y_G = \tfrac{15}{8}$ . La recta $CD$ es $y = -3(x - 4)$ , así que $x_G = \tfrac{27}{8}$ .

Entonces $p + q + r + s$ $= 27 + 8 + 15 + 8$ $= 58$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the shoelace formula, the area of $ABCD$ is $\tfrac{15}{2}.$ Let the line meet $\overline{CD}$ at $G.$ Triangle $ADG$ must have area $\tfrac{15}{4}.$

Since $AD = 4$ lies on the $x$ -axis, $\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}$ gives $y_G = \tfrac{15}{8}.$ Line $CD$ is $y = -3(x - 4),$ so $x_G = \tfrac{27}{8}.$

Then $p + q + r + s$ $= 27 + 8 + 15 + 8$ $= 58.$

Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años