Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2013 AMC 12A Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2013 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

Sean los puntos A=(0,0),A = (0, 0), B=(1,2),B = (1, 2), C=(3,3),C = (3, 3), y D=(4,0).D = (4, 0). El cuadrilátero ABCDABCD se corta en piezas de igual área mediante una recta que pasa por A.A. Esta recta corta a CD‾\overline{CD} en el punto (pq,rs),\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right), donde estas fracciones están en su forma más simple. ¿Cuánto vale p+q+r+sp + q + r + s?

Let points A=(0,0),A = (0, 0), B=(1,2),B = (1, 2), C=(3,3),C = (3, 3), and D=(4,0).D = (4, 0). Quadrilateral ABCDABCD is cut into equal area pieces by a line passing through A.A. This line intersects CD‾\overline{CD} at point (pq,rs),\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right), where these fractions are in lowest terms. What is p+q+r+s?p + q + r + s?

5454

5858

6262

7070

7575

Respuesta: B
Conceptos:fórmula del cordóngeometría analíticaárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:

Halla el área de ABCD;ABCD; la recta de corte forma un triángulo sobre la base ADAD con la mitad de esa área

Find the area of ABCD;ABCD; the cutting line makes a triangle on base ADAD with half that area

Pista grande:

Con base AD=4,AD = 4, la altura del triángulo es la coordenada yy del punto sobre CDCD

With base AD=4,AD = 4, the triangle’s height is the yy-coordinate of the point on CDCD

Solución:

Por la fórmula del cordón, el área de ABCDABCD es 152.\tfrac{15}{2}. Sea GG el punto donde la recta corta a CD‾.\overline{CD}. El triángulo ADGADG debe tener área 154.\tfrac{15}{4}.

Como AD=4AD = 4 está sobre el eje xx, la ecuación 12⋅4⋅yG=154\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4} da yG=158.y_G = \tfrac{15}{8}. La recta CDCD es y=−3(x−4),y = -3(x - 4), así que xG=278.x_G = \tfrac{27}{8}.

Entonces p+q+r+sp + q + r + s =27+8+15+8= 27 + 8 + 15 + 8 =58.= 58.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

By the shoelace formula, the area of ABCDABCD is 152.\tfrac{15}{2}. Let the line meet CD‾\overline{CD} at G.G. Triangle ADGADG must have area 154.\tfrac{15}{4}.

Since AD=4AD = 4 lies on the xx-axis, 12⋅4⋅yG=154\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4} gives yG=158.y_G = \tfrac{15}{8}. Line CDCD is y=−3(x−4),y = -3(x - 4), so xG=278.x_G = \tfrac{27}{8}.

Then p+q+r+sp + q + r + s =27+8+15+8= 27 + 8 + 15 + 8 =58.= 58.

Thus, the correct answer is B.

Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

El Problema 13 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B