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2013 AMC 12A Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2013 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

Sean los puntos A=(0,0),A = (0, 0), B=(1,2),B = (1, 2), C=(3,3),C = (3, 3), y D=(4,0).D = (4, 0). El cuadrilátero ABCDABCD se corta en piezas de igual área mediante una recta que pasa por A.A. Esta recta corta a CD‾\overline{CD} en el punto (pq,rs),\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right), donde estas fracciones están en su forma más simple. ¿Cuánto vale p+q+r+sp + q + r + s?
Let points A=(0,0),A = (0, 0), B=(1,2),B = (1, 2), C=(3,3),C = (3, 3), and D=(4,0).D = (4, 0). Quadrilateral ABCDABCD is cut into equal area pieces by a line passing through A.A. This line intersects CD‾\overline{CD} at point (pq,rs),\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right), where these fractions are in lowest terms. What is p+q+r+s?p + q + r + s?
5454
5858
6262
7070
7575
Respuesta: B
Conceptos:fórmula del cordóngeometría analíticaárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
Halla el área de ABCD;ABCD; la recta de corte forma un triángulo sobre la base ADAD con la mitad de esa área
Find the area of ABCD;ABCD; the cutting line makes a triangle on base ADAD with half that area
Pista grande:
Con base AD=4,AD = 4, la altura del triángulo es la coordenada yy del punto sobre CDCD
With base AD=4,AD = 4, the triangle’s height is the yy-coordinate of the point on CDCD
Solución:
Por la fórmula del cordón, el área de ABCDABCD es 152.\tfrac{15}{2}. Sea GG el punto donde la recta corta a CD‾.\overline{CD}. El triángulo ADGADG debe tener área 154.\tfrac{15}{4}.
Como AD=4AD = 4 está sobre el eje xx, la ecuación 12⋅4⋅yG=154\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4} da yG=158.y_G = \tfrac{15}{8}. La recta CDCD es y=−3(x−4),y = -3(x - 4), así que xG=278.x_G = \tfrac{27}{8}.
Entonces p+q+r+sp + q + r + s =27+8+15+8= 27 + 8 + 15 + 8 =58.= 58.
Por tanto, la respuesta correcta es B.
By the shoelace formula, the area of ABCDABCD is 152.\tfrac{15}{2}. Let the line meet CD‾\overline{CD} at G.G. Triangle ADGADG must have area 154.\tfrac{15}{4}.
Since AD=4AD = 4 lies on the xx-axis, 12⋅4⋅yG=154\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4} gives yG=158.y_G = \tfrac{15}{8}. Line CDCD is y=−3(x−4),y = -3(x - 4), so xG=278.x_G = \tfrac{27}{8}.
Then p+q+r+sp + q + r + s =27+8+15+8= 27 + 8 + 15 + 8 =58.= 58.
Thus, the correct answer is B.
Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

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