Question

El cuadrado $ABCD$ tiene lado de longitud $30.$ El punto $P$ está dentro del cuadrado de modo que $AP=12$ y $BP=26.$ Los baricentros de $\triangle ABP,$ $\triangle BCP,$ $\triangle CDP,$ y $\triangle DAP$ son los vértices de un cuadrilátero convexo. ¿Cuál es el área de ese cuadrilátero?

Square $ABCD$ has side length $30.$ Point $P$ lies inside the square so that $AP=12$ and $BP=26.$ The centroids of $\triangle ABP,$ $\triangle BCP,$ $\triangle CDP,$ and $\triangle DAP$ are the vertices of a convex quadrilateral. What is the area of that quadrilateral?

$100\sqrt{2}$

$100\sqrt{3}$

$200$

$200\sqrt{2}$

$200\sqrt{3}$

Solución:

Coloca $A=(0,30),$ $B=(0,0),$ $C=(30,0),$ $D=(30,30),$ y $P=(3x,3y).$ Promediando los vértices, los cuatro baricentros son $\begin{gathered} (x,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y),\ \\ (x+20,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y+20). \end{gathered}$

Estos forman un cuadrado cuyas diagonales, una horizontal y una vertical, tienen cada una longitud $20.$ Su área es $\tfrac12\cdot20\cdot20=200,$ independiente de dónde se encuentre $P$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Place $A=(0,30),$ $B=(0,0),$ $C=(30,0),$ $D=(30,30),$ and $P=(3x,3y).$ Averaging the vertices, the four centroids are $\begin{gathered} (x,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y),\ \\ (x+20,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y+20). \end{gathered}$

These form a square whose diagonals, one horizontal and one vertical, each have length $20.$ Its area is $\tfrac12\cdot20\cdot20=200,$ independent of where $P$ lies.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años