Question

En la figura de abajo, $3$ de los $6$ discos se van a pintar de azul, $2$ de rojo, y $1$ de verde. Dos coloraciones que puedan obtenerse una de la otra mediante una rotación o una reflexión de toda la figura se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones distintas son posibles?

In the figure below, $3$ of the $6$ disks are to be painted blue, $2$ are to be painted red, and $1$ is to be painted green. Two paintings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. How many different paintings are possible?

$6$

$8$

$9$

$12$

$15$

Solución:

La figura tiene $3$ discos en las esquinas y $3$ discos que no están en esquinas, con el grupo de simetría de un triángulo. Fija el tipo del disco verde. Si el verde está en una esquina, los dos discos rojos pueden colocarse de modo que ambos, uno o ninguno sea adyacente al verde, lo que da $1 + 3 + 2 = 6$ coloraciones distintas. Si el verde no está en una esquina, los dos rojos pueden tener ambos, uno o ninguno en una esquina, de nuevo $1 + 3 + 2 = 6$ coloraciones. Los discos azules ocupan el resto, por lo que el total es $6 + 6 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The figure has $3$ corner disks and $3$ non-corner disks, with the symmetry group of a triangle. Fix the green disk's type. If green is a corner, the two red disks can be arranged so that both, one, or neither is adjacent to green, giving $1 + 3 + 2 = 6$ distinct paintings. If green is a non-corner, the two reds can have both, one, or neither in a corner, again $1 + 3 + 2 = 6$ paintings. The blue disks fill the rest, so the total is $6 + 6 = 12.$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años