Question

En la figura de abajo, $3$ de los $6$ discos se van a pintar de azul, $2$ de rojo, y $1$ de verde. Dos coloraciones que puedan obtenerse una de la otra mediante una rotación o una reflexión de toda la figura se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones distintas son posibles?

In the figure below, $3$ of the $6$ disks are to be painted blue, $2$ are to be painted red, and $1$ is to be painted green. Two paintings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. How many different paintings are possible?

$6$

$8$

$9$

$12$

$15$

Respuesta: D

Conceptos:análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Cuenta primero las coloraciones etiquetadas, luego aplica el lema de Burnside a las $6$ simetrías del triángulo

Count the labeled colorings first, then apply Burnside’s Lemma to the $6$ symmetries of the triangle

Pista grande:

Ninguna rotación distinta de la identidad fija coloración alguna; en una reflexión, los recuentos impares de discos verdes y azules deben usar los dos discos fijos

A nonidentity rotation fixes none; under a reflection, the odd green and blue counts must use the two fixed disks

Solución:

Antes de tener en cuenta la simetría, hay $\dfrac{6!}{3!2!}=60$ coloraciones. Las dos rotaciones distintas de la identidad reparten los discos en dos ciclos de $3$ , así que ninguna de ellas puede fijar una coloración con recuentos de colores $3,2,1.$

Cada una de las $3$ reflexiones fija $2$ discos e intercambia los otros $4$ en $2$ parejas. Para que una coloración quede fija, el único disco verde y uno de los $3$ discos azules deben ocupar las dos posiciones fijas, en $2$ órdenes. De las dos parejas intercambiadas, cualquiera de ellas puede ser la pareja roja, lo que da $2\cdot2=4$ coloraciones fijas por reflexión. El lema de Burnside da entonces $\dfrac{60+3(4)}{6}=12$ coloraciones distintas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Before accounting for symmetry, there are $\dfrac{6!}{3!2!}=60$ paintings. The two nonidentity rotations partition the disks into two $3$ -cycles, so neither can fix a painting having color counts $3,2,1.$

Each of the $3$ reflections fixes $2$ disks and swaps the other $4$ in $2$ pairs. For a painting to be fixed, the lone green disk and one of the $3$ blue disks must occupy the two fixed positions, in $2$ orders. Of the two swapped pairs, either one can be the red pair, giving $2\cdot2=4$ fixed paintings per reflection. Burnside’s Lemma therefore gives $\dfrac{60+3(4)}{6}=12$ distinct paintings.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B Problema 13

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años