Question

¿De cuántas maneras se puede pintar cada uno de los enteros $2,$ $3,$ $\ldots,$ $9$ de rojo, verde o azul de modo que cada número tenga un color distinto al de cada uno de sus divisores propios?

How many ways are there to paint each of the integers $2,$ $3,$ $\ldots,$ $9$ either red, green, or blue so that each number has a different color from each of its proper divisors?

$144$

$216$

$256$

$384$

$432$

Respuesta: E

Conceptos:teoría de grafos divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Los números $5$ y $7$ no tienen restricción; trata la cadena $2, 4, 8$ y las restricciones sobre $6, 9$

Numbers $5$ and $7$ are unconstrained; handle the chain $2, 4, 8$ and the constraints on $6, 9$

Pista grande:

El color de $6$ debe evitar tanto $2$ como $3,$ así que el recuento depende de si $2$ y $3$ comparten color

The color of $6$ must avoid both $2$ and $3,$ so count depends on whether $2$ and $3$ share a color

Solución:

Los primos $5$ y $7$ no tienen divisores propios aquí, dando $3$ opciones cada uno.

A lo largo de la cadena $2 \to 4 \to 8,$ hay $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ coloraciones. El número $9$ debe diferir de $3,$ dando $2$ opciones una vez fijado $3$ .

El número $6$ debe diferir tanto de $2$ como de $3.$ Sumando sobre los colores de $2$ y $3$ (iguales en $3$ pares, distintos en $6$ pares), el factor combinado para $4, 8, 9, 6$ suma $2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.$

Multiplicando por las $9$ maneras para $5$ y $7$ se obtiene $48 \cdot 9 = 432.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The primes $5$ and $7$ have no proper divisors here, giving $3$ choices each.

Along the chain $2 \to 4 \to 8,$ there are $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ colorings. Number $9$ must differ from $3,$ giving $2$ choices once $3$ is set.

Number $6$ must differ from both $2$ and $3.$ Summing over the colors of $2$ and $3$ (equal in $3$ pairs, unequal in $6$ pairs), the combined factor for $4, 8, 9, 6$ totals $2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.$

Multiplying by the $9$ ways for $5$ and $7$ gives $48 \cdot 9 = 432.$

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A Problema 13

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años