Question

Para cierto número complejo $c,$ el polinomio

$\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}$

tiene exactamente $4$ raíces distintas. ¿Cuánto vale $|c|$ ?

For a certain complex number $c,$ the polynomial

$\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}$

has exactly $4$ distinct roots. What is $|c|?$

$2$

$\sqrt{6}$

$2\sqrt{2}$

$3$

$\sqrt{10}$

Solución:

Los factores $x^2 - 2x + 2$ y $x^2 - 4x + 8$ tienen raíces $1 \pm i$ y $2 \pm 2i,$ que son $4$ valores distintos.

Para que $P$ tenga exactamente $4$ raíces distintas, las raíces de $x^2 - cx + 4$ deben estar entre estas. Su producto debe ser igual a $4,$ y el único par así es una raíz de cada factor, por ejemplo $(1 + i)(2 - 2i) = 4.$

Entonces $c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,$ así que $|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The factors $x^2 - 2x + 2$ and $x^2 - 4x + 8$ have roots $1 \pm i$ and $2 \pm 2i,$ which are $4$ distinct values.

For $P$ to have exactly $4$ distinct roots, the roots of $x^2 - cx + 4$ must lie among these. Their product must equal $4,$ and the only such pair is one root from each factor, for example $(1 + i)(2 - 2i) = 4.$

Then $c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,$ so $|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años