Question

La solución de la ecuación $\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8,$ donde $x$ es un número real positivo distinto de $\tfrac13$ o $\tfrac12,$ se puede escribir como $\tfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p + q$ ?

The solution to the equation $\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8,$ where $x$ is a positive real number other than $\tfrac13$ or $\tfrac12,$ can be written as $\tfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p + q?$

$5$

$13$

$17$

$31$

$35$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Reescribe ambos lados con una base común: $\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x},$ y análogamente para $\log_{2x} 8$

Rewrite both sides with a common base: $\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x},$ and similarly for $\log_{2x} 8$

Pista grande:

Multiplicar en cruz reduce la ecuación a $(2x)^2 = (3x)^3;$ despeja $x$ como una fracción irreducible

Cross-multiplying reduces the equation to $(2x)^2 = (3x)^3;$ solve for $x$ as a reduced fraction

Solución:

Escribiendo ambos logaritmos en base $2:$ $\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x},$ así que $2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x,$ es decir $(2x)^2 = (3x)^3.$ Entonces $4x^2 = 27x^3,$ lo que da $x = \tfrac{4}{27}.$ Como $\gcd(4, 27) = 1,$ obtenemos $p + q = 4 + 27 = 31.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing both logarithms in base $2:$ $\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x},$ so $2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x,$ i.e. $(2x)^2 = (3x)^3.$ Then $4x^2 = 27x^3,$ giving $x = \tfrac{4}{27}.$ Since $\gcd(4, 27) = 1,$ we get $p + q = 4 + 27 = 31.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12A Problema 14

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años