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1956 AMC 12 Problema 14

Intenta el Problema 14 del 1956 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1956 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

Los puntos A,A, B,B, y CC están sobre un círculo O.O. La recta tangente en AA y la secante BCBC se cortan en P,P, con BB entre CC y P.P. Si BC=20BC=20 y PA=103,PA=10\sqrt3, entonces PBPB es igual a:

The points A,A, B,B, and CC are on a circle O.O. The tangent line at AA and the secant BCBC intersect at P,P, BB lying between CC and P.P. If BC=20BC=20 and PA=103,PA=10\sqrt3, then PBPB equals:

55

1010

10310\sqrt3

2020

3030

Respuesta: B
Conceptos:potencia de un puntotangent-secant theoremquadratic equation
Nivel de dificultad: 1570
Pista pequeña:

Usa PA2=PB⋅PCPA^2=PB\cdot PC

Use PA2=PB⋅PCPA^2=PB\cdot PC

Pista grande:

Si PB=t,PB=t, entonces PC=t+20PC=t+20

If PB=t,PB=t, then PC=t+20PC=t+20

Solución:

Sea PB=t.PB=t. Como BB está entre PP y C,C, tenemos PC=t+20.PC=t+20. El teorema de la tangente y la secante da (103)2=t(t+20). (10\sqrt3)^2=t(t+20). Por tanto, t2+20t−300=0,t^2+20t-300=0, o bien (t−10)(t+30)=0.(t-10)(t+30)=0. Una longitud es positiva, así que t=10.t=10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let PB=t.PB=t. Since BB lies between PP and C,C, we have PC=t+20.PC=t+20. The tangent-secant theorem gives (103)2=t(t+20). (10\sqrt3)^2=t(t+20). Thus t2+20t−300=0,t^2+20t-300=0, or (t−10)(t+30)=0.(t-10)(t+30)=0. A length is positive, so t=10.t=10.

Therefore, the correct answer is B.

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