Question

Una sucesión de tres números reales forma una progresión aritmética con primer término $9$ . Si se suma $2$ al segundo término y se suma $20$ al tercer término, los tres números resultantes forman una progresión geométrica. ¿Cuál es el menor valor posible del tercer término de la progresión geométrica?

A sequence of three real numbers forms an arithmetic progression with a first term of $9.$ If $2$ is added to the second term and $20$ is added to the third term, the three resulting numbers form a geometric progression. What is the smallest possible value for the third term of the geometric progression?

$1$

$4$

$36$

$49$

$81$

Solución:

La progresión aritmética es $9$ , $9 + d$ , $9 + 2d$ . Después de las sumas, la progresión geométrica es $9$ , $11 + d$ , $29 + 2d$ .

La condición geométrica da $(11 + d)^2 = 9(29 + 2d)$ , que se simplifica a $d^2 + 4d - 140 = 0$ , así que $d = 10$ o $d = -14$ .

Los terceros términos correspondientes $29 + 2d$ son $49$ y $1$ , así que el menor valor posible es $1$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The arithmetic progression is $9,$ $9 + d,$ $9 + 2d.$ After the additions, the geometric progression is $9,$ $11 + d,$ $29 + 2d.$

The geometric condition gives $(11 + d)^2 = 9(29 + 2d),$ which simplifies to $d^2 + 4d - 140 = 0,$ so $d = 10$ or $d = -14.$

The corresponding third terms $29 + 2d$ are $49$ and $1,$ so the smallest possible value is $1.$

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años