Question

¿Cuál es el valor de $\begin{aligned} &\left(\sum_{k=1}^{20} \log_{5^k} 3^{k^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{k=1}^{100} \log_{9^k} 25^k\right)? \end{aligned}$

What is the value of $\begin{aligned} &\left(\sum_{k=1}^{20} \log_{5^k} 3^{k^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{k=1}^{100} \log_{9^k} 25^k\right)? \end{aligned}$

$21$

$100\log_5 3$

$200\log_3 5$

$2{,}200$

$21{,}000$

Solución:

Para la primera suma, $\log_{5^k} 3^{k^2} = \dfrac{k^2}{k}\log_5 3 = k\log_5 3$ , así que $\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{20} k\log_5 3 = \frac{20\cdot 21}{2}\log_5 3 \\ &= 210\log_5 3. \end{aligned}$

Para la segunda suma, $\log_{9^k} 25^k = \log_9 25 = \log_3 5$ , independiente de $k$ , así que la suma es $100\log_3 5$ .

Como $\log_5 3 \cdot \log_3 5 = 1$ , el producto es $210 \cdot 100 = 21{,}000$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For the first sum, $\log_{5^k} 3^{k^2} = \dfrac{k^2}{k}\log_5 3 = k\log_5 3,$ so $\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{20} k\log_5 3 = \frac{20\cdot 21}{2}\log_5 3 \\ &= 210\log_5 3. \end{aligned}$

For the second sum, $\log_{9^k} 25^k = \log_9 25 = \log_3 5,$ independent of $k,$ so the sum is $100\log_3 5.$

Since $\log_5 3 \cdot \log_3 5 = 1,$ the product is $210 \cdot 100 = 21{,}000.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Spring Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años