Question

El triángulo no degenerado $\triangle ABC$ tiene longitudes de lados enteras, $\overline{BD}$ es una bisectriz de ángulo, $AD = 3,$ y $DC = 8.$ ¿Cuál es el menor valor posible del perímetro?

Nondegenerate $\triangle ABC$ has integer side lengths, $\overline{BD}$ is an angle bisector, $AD = 3,$ and $DC = 8.$ What is the smallest possible value of the perimeter?

$30$

$33$

$35$

$36$

$37$

Solución:

Usando el teorema de la bisectriz del ángulo, tenemos que $\dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8}$ $AB = \dfrac{3}{8} BC.$

Para que $AB$ y $BC$ sean enteros, debemos tener que $BC$ es múltiplo de $8.$

Para minimizar el perímetro, podemos poner $BC = 8$ y $AB = 3.$ Sin embargo, esto hace que el triángulo sea degenerado.

Entonces $BC$ debe ser $16$ y $AB = 6.$ Como $AC = AD + DC = 11,$ el perímetro es $16 + 6 + 11 = 33.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Using the Angle Bisector Theorem, we have that $\dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8}$ $AB = \dfrac{3}{8} BC.$

For $AB$ and $BC$ to be integers, we must have that $BC$ is a multiple of $8.$

To minimize the perimeter, we can set $BC = 8$ and $AB = 3.$ This, however, makes the triangle degenerate.

$BC$ must then be $16$ and $AB = 6.$ Since $AC = AD + DC = 11,$ the perimeter is $16 + 6 + 11 = 33.$

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años