Question

Supongamos que $P(z),$ $Q(z),$ y $R(z)$ son polinomios con coeficientes reales, de grados $2,$ $3,$ y $6,$ respectivamente, y términos constantes $1,$ $2,$ y $3,$ respectivamente. Sea $N$ el número de números complejos distintos $z$ que satisfacen la ecuación $P(z) \cdot Q(z) = R(z).$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $N$ ?

Suppose that $P(z),$ $Q(z),$ and $R(z)$ are polynomials with real coefficients, having degrees $2,$ $3,$ and $6,$ respectively, and constant terms $1,$ $2,$ and $3,$ respectively. Let $N$ be the number of distinct complex numbers $z$ that satisfy the equation $P(z) \cdot Q(z) = R(z).$ What is the minimum possible value of $N?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$5$

Solución:

Sea $D(z) = P(z)Q(z) - R(z).$ Como $P Q$ tiene grado $5$ y $R$ tiene grado $6,$ el grado de $D$ es $6.$ Su término constante es $1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0.$

Como $R$ no está restringido en lo demás, $D$ puede hacerse igual a cualquier polinomio real de grado $6$ con término constante $-1,$ por ejemplo $-(z - 1)^6.$

Tal polinomio tiene una única raíz distinta, así que el mínimo es $N = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $D(z) = P(z)Q(z) - R(z).$ Since $P Q$ has degree $5$ and $R$ has degree $6,$ the degree of $D$ is $6.$ Its constant term is $1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0.$

Because $R$ is otherwise unconstrained, $D$ can be made equal to any real degree- $6$ polynomial with constant term $-1,$ for instance $-(z - 1)^6.$

Such a polynomial has a single distinct root, so the minimum is $N = 1.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Fall Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años