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2021 AMC 12B Fall Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2021 AMC 12B Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

Supongamos que P(z),P(z), Q(z),Q(z), y R(z)R(z) son polinomios con coeficientes reales, de grados 2,2, 3,3, y 6,6, respectivamente, y términos constantes 1,1, 2,2, y 3,3, respectivamente. Sea NN el número de números complejos distintos zz que satisfacen la ecuación P(z)⋅Q(z)=R(z).P(z) \cdot Q(z) = R(z). ¿Cuál es el valor mínimo posible de NN?

Suppose that P(z),P(z), Q(z),Q(z), and R(z)R(z) are polynomials with real coefficients, having degrees 2,2, 3,3, and 6,6, respectively, and constant terms 1,1, 2,2, and 3,3, respectively. Let NN be the number of distinct complex numbers zz that satisfy the equation P(z)⋅Q(z)=R(z).P(z) \cdot Q(z) = R(z). What is the minimum possible value of N?N?

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Respuesta: B
Conceptos:polinomioargumento extremal
Nivel de dificultad: 1850
Pista pequeña:

Considera D(z)=P(z)Q(z)−R(z)D(z) = P(z)Q(z) - R(z); ¿cuál es su grado y su término constante?

Consider D(z)=P(z)Q(z)−R(z)D(z) = P(z)Q(z) - R(z); what is its degree and constant term?

Pista grande:

Un polinomio de grado 66 puede tener una única raíz de multiplicidad 66.

A degree-66 polynomial can have a single root of multiplicity 66

Solución:

Sea D(z)=P(z)Q(z)−R(z).D(z) = P(z)Q(z) - R(z). Como PQP Q tiene grado 55 y RR tiene grado 6,6, el grado de DD es 6.6. Su término constante es 1⋅2−3=−1≠0.1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0.

Como RR no está restringido en lo demás, DD puede hacerse igual a cualquier polinomio real de grado 66 con término constante −1,-1, por ejemplo −(z−1)6.-(z - 1)^6.

Tal polinomio tiene una única raíz distinta, así que el mínimo es N=1.N = 1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let D(z)=P(z)Q(z)−R(z).D(z) = P(z)Q(z) - R(z). Since PQP Q has degree 55 and RR has degree 6,6, the degree of DD is 6.6. Its constant term is 1⋅2−3=−1≠0.1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0.

Because RR is otherwise unconstrained, DD can be made equal to any real degree-66 polynomial with constant term −1,-1, for instance −(z−1)6.-(z - 1)^6.

Such a polynomial has a single distinct root, so the minimum is N=1.N = 1.

Thus, the correct answer is B.

Problema 13#13
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Problema 15#15

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