Question

Dos sucesiones no decrecientes de enteros no negativos tienen primeros términos diferentes. Cada sucesión tiene la propiedad de que cada término a partir del tercero es la suma de los dos términos anteriores, y el séptimo término de cada sucesión es $N.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $N$ ?

Two non-decreasing sequences of nonnegative integers have different first terms. Each sequence has the property that each term beginning with the third is the sum of the previous two terms, and the seventh term of each sequence is $N.$ What is the smallest possible value of $N?$

$55$

$89$

$104$

$144$

$273$

Solución:

Una sucesión que empieza con $a_1, a_2$ tiene séptimo término $5a_1 + 8a_2.$ Para las dos sucesiones, $5a_1 + 8a_2 = 5b_1 + 8b_2,$ así que $5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2).$ Como $\gcd(5, 8) = 1,$ necesitamos $8 \mid b_1 - a_1$ y $5 \mid a_2 - b_2.$ Tomando $a_1 \lt b_1$ con términos no decrecientes se obtiene $a_1 \le b_1 - 8 \le b_2 - 8 \le a_2 - 13.$ Eligiendo $a_1 = 0,$ $b_1 = b_2 = 8,$ $a_2 = 13$ resulta $N = 5\cdot 0 + 8\cdot 13 = 104.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A sequence starting $a_1, a_2$ has seventh term $5a_1 + 8a_2.$ For the two sequences, $5a_1 + 8a_2 = 5b_1 + 8b_2,$ so $5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2).$ Since $\gcd(5, 8) = 1,$ we need $8 \mid b_1 - a_1$ and $5 \mid a_2 - b_2.$ Taking $a_1 \lt b_1$ with nondecreasing terms gives $a_1 \le b_1 - 8 \le b_2 - 8 \le a_2 - 13.$ Choosing $a_1 = 0,$ $b_1 = b_2 = 8,$ $a_2 = 13$ yields $N = 5\cdot 0 + 8\cdot 13 = 104.$ Thus, the correct answer is C.

2013 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años