2013 AMC 12B — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

En cierto día de enero, la temperatura máxima en Lincoln, Nebraska, fue $16$ grados mayor que la temperatura mínima, y el promedio de las temperaturas máxima y mínima fue $3^\circ.$ En grados, ¿cuál fue la temperatura mínima en Lincoln ese día?

On a particular January day, the high temperature in Lincoln, Nebraska, was $16$ degrees higher than the low temperature, and the average of the high and low temperatures was $3^\circ.$ In degrees, what was the low temperature in Lincoln that day?

$-13$

$-8$

$-5$

$-3$

$11$

Respuesta: C

Conceptos:media ecuación lineal

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

La máxima y la mínima difieren en $16,$ por lo que cada una está a $8$ de su promedio.

The high and low differ by $16,$ so each is $8$ away from their average

Pista grande:

La temperatura mínima está $8$ por debajo del promedio de $3$ .

The low temperature is $8$ below the average of $3$

Solución:

La máxima supera a la mínima en $16,$ así que la mínima está $8$ por debajo del promedio. Como el promedio es $3^\circ,$ la temperatura mínima es $3 - 8 = -5^\circ.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The high exceeds the low by $16,$ so the low is $8$ below the average. Since the average is $3^\circ,$ the low temperature is $3 - 8 = -5^\circ.$ Thus, the correct answer is C.

2.

El Sr. Green mide su jardín rectangular caminando dos de los lados y encuentra que mide $15$ pasos por $20$ pasos. Cada paso del Sr. Green mide $2$ pies de largo. El Sr. Green espera media libra de papas por pie cuadrado de su jardín. ¿Cuántas libras de papas espera el Sr. Green de su jardín?

Mr. Green measures his rectangular garden by walking two of the sides and finds that it is $15$ steps by $20$ steps. Each of Mr. Green’s steps is $2$ feet long. Mr. Green expects a half a pound of potatoes per square foot from his garden. How many pounds of potatoes does Mr. Green expect from his garden?

$600$

$800$

$1000$

$1200$

$1400$

Respuesta: A

Conceptos:conversión de unidades área tasa

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Primero convierte los pasos a pies: cada paso mide $2$ pies.

Convert steps to feet first: each step is $2$ feet

Pista grande:

Multiplica el área en pies cuadrados por $\dfrac12$ libra por pie cuadrado.

Multiply the area in square feet by $\dfrac12$ pound per square foot

Solución:

El jardín mide $2\cdot 15 = 30$ pies por $2\cdot 20 = 40$ pies, un área de $1200$ pies cuadrados. A media libra por pie cuadrado, el Sr. Green espera $\tfrac12\cdot 1200 = 600$ libras. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The garden is $2\cdot 15 = 30$ feet by $2\cdot 20 = 40$ feet, an area of $1200$ square feet. At half a pound per square foot, Mr. Green expects $\tfrac12\cdot 1200 = 600$ pounds. Thus, the correct answer is A.

3.

Al contar desde $3$ hasta $201,$ $53$ es el $51$ -ésimo número contado. Al contar hacia atrás desde $201$ hasta $3,$ $53$ es el $n$ -ésimo número contado. ¿Cuánto vale $n$ ?

When counting from $3$ to $201,$ $53$ is the $51$ st number counted. When counting backwards from $201$ to $3,$ $53$ is the $n$ th number counted. What is $n?$

$146$

$147$

$148$

$149$

$150$

Respuesta: D

Conceptos:conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Al contar hacia atrás, $201$ es el $1$ -er número, $200$ es el $2$ -do, y así sucesivamente.

Counting backwards, $201$ is the $1$ st number, $200$ is the $2$ nd, and so on

Pista grande:

El valor $x$ es el $(202-x)$ -ésimo número contado.

The value $x$ is the $(202-x)$ th number counted

Solución:

Contando hacia abajo desde $201,$ el valor $x$ es el $(202-x)$ -ésimo número. Así que $53$ es el $(202-53) = 149$ -ésimo número. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Counting down from $201,$ the value $x$ is the $(202-x)$ th number. So $53$ is the $(202-53) = 149$ th number. Thus, the correct answer is D.

4.

El auto de Ray promedia $40$ millas por galón de gasolina, y el auto de Tom promedia $10$ millas por galón de gasolina. Ray y Tom conducen cada uno la misma cantidad de millas. ¿Cuál es la tasa combinada de millas por galón de gasolina de los dos autos?

Ray’s car averages $40$ miles per gallon of gasoline, and Tom’s car averages $10$ miles per gallon of gasoline. Ray and Tom each drive the same number of miles. What is the cars’ combined rate of miles per gallon of gasoline?

$10$

$16$

$25$

$30$

$40$

Respuesta: B

Conceptos:tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

El rendimiento combinado es el total de millas dividido entre el total de galones, no el promedio de las dos tasas.

Combined mileage is total miles divided by total gallons, not the average of the two rates

Pista grande:

Si cada uno conduce $D$ millas, los galones usados son $\dfrac{D}{40}$ y $\dfrac{D}{10}$ .

If each drives $D$ miles, the gallons used are $\dfrac{D}{40}$ and $\dfrac{D}{10}$

Solución:

Si cada uno conduce $D$ millas, juntos recorren $2D$ millas usando $\dfrac{D}{40}+\dfrac{D}{10} = \dfrac{D}{8}$ galones. La tasa combinada es $\dfrac{2D}{\frac{D}{8}} = 16$ millas por galón. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If each drives $D$ miles, together they cover $2D$ miles using $\dfrac{D}{40}+\dfrac{D}{10} = \dfrac{D}{8}$ gallons. The combined rate is $\dfrac{2D}{\frac{D}{8}} = 16$ miles per gallon. Thus, the correct answer is B.

5.

La edad promedio de $33$ estudiantes de quinto grado es $11.$ La edad promedio de $55$ de sus padres es $33.$ ¿Cuál es la edad promedio de todos estos padres y estudiantes de quinto grado?

The average age of $33$ fifth-graders is $11.$ The average age of $55$ of their parents is $33.$ What is the average age of all of these parents and fifth-graders?

$22$

$23.25$

$24.75$

$26.25$

$28$

Respuesta: C

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

El promedio general es la suma de todas las edades dividida entre el número total de personas.

The overall average is the total of all ages divided by the total number of people

Pista grande:

La edad total es $55\cdot 33 + 33\cdot 11,$ repartida entre $55+33$ personas.

The total age is $55\cdot 33 + 33\cdot 11,$ spread over $55+33$ people

Solución:

Las edades de los padres suman $55\cdot 33$ y las de los estudiantes de quinto grado suman $33\cdot 11,$ un total de $33\cdot 66.$ Al dividir entre $88$ personas se obtiene $\dfrac{33\cdot 66}{88} = 24.75.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The parents’ ages sum to $55\cdot 33$ and the fifth-graders’ to $33\cdot 11,$ a total of $33\cdot 66.$ Dividing by $88$ people gives $\dfrac{33\cdot 66}{88} = 24.75.$ Thus, the correct answer is C.

6.

Los números reales $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34.$ ¿Cuánto vale $x+y$ ?

Real numbers $x$ and $y$ satisfy the equation $x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34.$ What is $x+y?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Mueve todos los términos a un lado y completa el cuadrado tanto en $x$ como en $y$ .

Move every term to one side and complete the square in both $x$ and $y$

Pista grande:

Una suma de dos cuadrados igual a $0$ obliga a que cada cuadrado sea $0$ .

A sum of two squares equal to $0$ forces each square to be $0$

Solución:

Reordenando se obtiene $x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9$ $= 0,$ es decir $(x-5)^2 + (y+3)^2 = 0.$ Por lo tanto $x = 5$ y $y = -3,$ así que $x + y = 2.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rearranging gives $x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9$ $= 0,$ that is $(x-5)^2 + (y+3)^2 = 0.$ Hence $x = 5$ and $y = -3,$ so $x + y = 2.$ Thus, the correct answer is B.

7.

Jo y Blair se turnan para contar desde $1$ hasta uno más que el último número dicho por la otra persona. Jo empieza diciendo “ $1$ ”, así que Blair sigue diciendo “ $1,$ $2$ ”. Luego Jo dice “ $1,$ $2,$ $3$ ”, y así sucesivamente. ¿Cuál es el $53$ -ésimo número dicho?

Jo and Blair take turns counting from $1$ to one more than the last number said by the other person. Jo starts by saying “ $1$ ”, so Blair follows by saying “ $1,$ $2$ ”. Jo then says “ $1,$ $2,$ $3$ ”, and so on. What is the $53$ rd number said?

$2$

$3$

$5$

$6$

$8$

Respuesta: E

Conceptos:número triangular

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

El turno que termina en $n$ consiste en que alguien dice $1, 2, \ldots, n$ .

The turn that ends at $n$ consists of someone saying $1, 2, \ldots, n$

Pista grande:

Después del turno que termina en $n,$ se han dicho un total de $\tfrac12 n(n+1)$ números.

After the turn ending at $n,$ a total of $\tfrac12 n(n+1)$ numbers have been said

Solución:

Después del turno que cuenta hasta $n,$ se han dicho exactamente $1 + 2 + \cdots + n = \tfrac12 n(n+1)$ números. Para $n = 9$ eso es $45.$ El siguiente turno empieza $1, 2, \ldots,$ así que el $53$ -ésimo número es el $8$ º número de ese turno, es decir $8.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

After the turn that counts up to $n,$ exactly $1 + 2 + \cdots + n = \tfrac12 n(n+1)$ numbers have been said. For $n = 9$ that is $45.$ The next turn starts $1, 2, \ldots,$ so the $53$ rd number is the $8$ th number of that turn, namely $8.$ Thus, the correct answer is E.

8.

La recta $\ell_1$ tiene ecuación $3x - 2y = 1$ y pasa por $A = (-1, -2).$ La recta $\ell_2$ tiene ecuación $y = 1$ y corta a la recta $\ell_1$ en el punto $B.$ La recta $\ell_3$ tiene pendiente positiva, pasa por el punto $A,$ y corta a $\ell_2$ en el punto $C.$ El área del $\triangle ABC$ es $3.$ ¿Cuál es la pendiente de $\ell_3$ ?

Line $\ell_1$ has equation $3x - 2y = 1$ and goes through $A = (-1, -2).$ Line $\ell_2$ has equation $y = 1$ and meets line $\ell_1$ at point $B.$ Line $\ell_3$ has positive slope, goes through point $A,$ and meets $\ell_2$ at point $C.$ The area of $\triangle ABC$ is $3.$ What is the slope of $\ell_3?$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica área del triángulo pendiente

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Halla $B$ resolviendo $3x - 2y = 1$ junto con $y = 1$ .

Find $B$ by solving $3x - 2y = 1$ together with $y = 1$

Pista grande:

La distancia de $A$ a la recta $\ell_2$ es $3,$ así que $\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3$ da $BC$ .

The distance from $A$ to line $\ell_2$ is $3,$ so $\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3$ gives $BC$

Solución:

Al resolver $3x - 2y = 1$ con $y = 1$ se obtiene $B = (1, 1).$ La distancia de $A = (-1, -2)$ a la recta $y = 1$ es $3,$ así que $\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3$ da $BC = 2.$ Entonces $C = (3, 1)$ o $C = (-1, 1);$ esta última hace que $\ell_3$ sea vertical, así que $C = (3, 1)$ y la pendiente es $\dfrac{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \dfrac34.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Solving $3x - 2y = 1$ with $y = 1$ gives $B = (1, 1).$ The distance from $A = (-1, -2)$ to the line $y = 1$ is $3,$ so $\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3$ gives $BC = 2.$ Then $C = (3, 1)$ or $C = (-1, 1);$ the latter makes $\ell_3$ vertical, so $C = (3, 1)$ and the slope is $\dfrac{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \dfrac34.$ Thus, the correct answer is B.

9.

¿Cuál es la suma de los exponentes de los factores primos de la raíz cuadrada del mayor cuadrado perfecto que divide a $12!$ ?

What is the sum of the exponents of the prime factors of the square root of the largest perfect square that divides $12!$ ?

$5$

$7$

$8$

$10$

$12$

Respuesta: C

Conceptos:factorización en primos factorial cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Factoriza $12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$ .

Factor $12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$

Pista grande:

El mayor divisor cuadrado conserva solo los exponentes pares; al dividirlos entre dos se obtiene la raíz cuadrada.

The largest square divisor keeps only even exponents; halving them gives the square root

Solución:

Como $12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11,$ el mayor cuadrado perfecto que lo divide es $2^{10}\cdot 3^4\cdot 5^2,$ cuya raíz cuadrada es $2^5\cdot 3^2\cdot 5.$ Los exponentes suman $5 + 2 + 1 = 8.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11,$ the largest perfect square dividing it is $2^{10}\cdot 3^4\cdot 5^2,$ whose square root is $2^5\cdot 3^2\cdot 5.$ The exponents sum to $5 + 2 + 1 = 8.$ Thus, the correct answer is C.

10.

Alex tiene $75$ fichas rojas y $75$ fichas azules. Hay un puesto donde Alex puede entregar dos fichas rojas y recibir a cambio una ficha plateada y una ficha azul, y otro puesto donde Alex puede entregar tres fichas azules y recibir a cambio una ficha plateada y una ficha roja. Alex sigue intercambiando fichas hasta que ya no sea posible ningún intercambio. ¿Cuántas fichas plateadas tendrá Alex al final?

Alex has $75$ red tokens and $75$ blue tokens. There is a booth where Alex can give two red tokens and receive in return a silver token and a blue token, and another booth where Alex can give three blue tokens and receive in return a silver token and a red token. Alex continues to exchange tokens until no more exchanges are possible. How many silver tokens will Alex have at the end?

$62$

$82$

$83$

$102$

$103$

Respuesta: E

Conceptos:sistema de ecuaciones invariante

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Después de $m$ intercambios en el primer puesto y $n$ en el segundo, Alex tiene $75-(2m-n)$ fichas rojas y $75-(3n-m)$ fichas azules.

After $m$ exchanges at the first booth and $n$ at the second, Alex has $75-(2m-n)$ red and $75-(3n-m)$ blue tokens

Pista grande:

Los intercambios se detienen cuando quedan menos de $2$ rojas y menos de $3$ azules; el número de plateadas es $m+n$ .

Exchanges stop when fewer than $2$ red and fewer than $3$ blue remain; the silver count is $m+n$

Solución:

Después de $m$ intercambios en el puesto rojo y $n$ en el azul, Alex tiene $75 - (2m - n)$ fichas rojas, $75-(3n-m)$ fichas azules y $m+n$ fichas plateadas. Al terminar, la cantidad roja es $0$ o $1,$ y la azul es $0,1,$ o $2.$ Resolver las ecuaciones en estos seis casos deja solo $(m,n)=(59,44),$ con estado final $(1,2),$ o $(m,n)=(60,45),$ con estado final $(0,0).$ Este último es inalcanzable: su intercambio final tendría que comenzar en $(-1,3)$ o $(2,-1).$ Por tanto, Alex termina con $59+44=103$ fichas plateadas. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

After $m$ red-booth and $n$ blue-booth exchanges, Alex has $75 - (2m - n)$ red tokens, $75-(3n-m)$ blue tokens, and $m+n$ silver tokens. At termination the red count is $0$ or $1,$ and the blue count is $0,1,$ or $2.$ Solving the token equations over these six cases leaves only $(m,n)=(59,44),$ ending at $(1,2),$ or $(m,n)=(60,45),$ ending at $(0,0).$ The latter is unreachable: its final exchange would have to start at either $(-1,3)$ or $(2,-1).$ Hence Alex finishes with $59+44=103$ silver tokens. Thus, the correct answer is E.

11.

Dos abejas parten del mismo lugar y vuelan a la misma velocidad en las siguientes direcciones. La abeja $A$ viaja $1$ pie al norte, luego $1$ pie al este, luego $1$ pie hacia arriba, y después sigue repitiendo este patrón. La abeja $B$ viaja $1$ pie al sur, luego $1$ pie al oeste, y después sigue repitiendo este patrón. ¿En qué direcciones viajan las abejas cuando están exactamente a $10$ pies una de otra?

Two bees start at the same spot and fly at the same rate in the following directions. Bee $A$ travels $1$ foot north, then $1$ foot east, then $1$ foot upwards, and then continues to repeat this pattern. Bee $B$ travels $1$ foot south, then $1$ foot west, and then continues to repeat this pattern. In what directions are the bees traveling when they are exactly $10$ feet away from each other?

$A$ al este, $B$ al oeste

$A$ east, $B$ west

$A$ al norte, $B$ al sur

$A$ north, $B$ south

$A$ al norte, $B$ al oeste

$A$ north, $B$ west

$A$ hacia arriba, $B$ al sur

$A$ up, $B$ south

$A$ hacia arriba, $B$ al oeste

$A$ up, $B$ west

Respuesta: A

Conceptos:Geometría 3D fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Usa coordenadas con este, norte y arriba como $x, y, z;$ las abejas solo se alejan más con el tiempo.

Use coordinates with east, north, up as $x, y, z;$ the bees only get farther apart over time

Pista grande:

Calcula la distancia justo antes y justo después de cada pie para encontrar dónde cruza $10$ .

Compute the distance right before and right after each foot to find where it crosses $10$

Solución:

Toma este, norte y arriba como $x, y, z.$ Después de $7$ pies la abeja $A$ está en $(2, 3, 2)$ y la abeja $B$ está en $(-3, -4, 0),$ a una distancia $\sqrt{78} \lt 10.$ En el siguiente pie la abeja $A$ se mueve al este hasta $(3, 3, 2)$ y la abeja $B$ se mueve al oeste hasta $(-4, -4, 0),$ a una distancia $\sqrt{102} \gt 10.$ Así que pasan por una separación de $10$ pies mientras $A$ va al este y $B$ va al oeste. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Take east, north, up as $x, y, z.$ After $7$ feet bee $A$ is at $(2, 3, 2)$ and bee $B$ is at $(-3, -4, 0),$ a distance $\sqrt{78} \lt 10.$ On the next foot bee $A$ moves east to $(3, 3, 2)$ and bee $B$ moves west to $(-4, -4, 0),$ a distance $\sqrt{102} \gt 10.$ So they pass through $10$ feet apart while $A$ heads east and $B$ heads west. Thus, the correct answer is A.

12.

Las ciudades $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ y $E$ están conectadas por los caminos $AB,$ $AD,$ $AE,$ $BC,$ $BD,$ $CD,$ y $DE.$ ¿Cuántas rutas diferentes hay desde $A$ hasta $B$ que usan cada camino exactamente una vez? (Tal ruta necesariamente visitará algunas ciudades más de una vez.)

Cities $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E$ are connected by roads $AB,$ $AD,$ $AE,$ $BC,$ $BD,$ $CD,$ and $DE.$ How many different routes are there from $A$ to $B$ that use each road exactly once? (Such a route will necessarily visit some cities more than once.)

$7$

$9$

$12$

$16$

$18$

Respuesta: D

Conceptos:teoría de grafos análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Las ciudades $C$ y $E$ tocan cada una solo dos caminos, así que se comportan como desvíos en las conexiones $A$ - $D$ y $B$ - $D$ .

Cities $C$ and $E$ each touch only two roads, so they behave like detours on the $A$ – $D$ and $B$ – $D$ connections

Pista grande:

Cuenta los recorridos desde $A$ hasta $B$ en el grafo reducido, luego multiplica por las opciones independientes de desvío.

Count the trails from $A$ to $B$ on the reduced graph, then multiply by the independent detour choices

Solución:

La ciudad $E$ (caminos $AE, DE$ ) es un desvío en un trayecto $A$ - $D$ , y la ciudad $C$ (caminos $BC, CD$ ) es un desvío en un trayecto $B$ - $D$ . Al reemplazarlas se obtiene un grafo sobre $A, B, D$ con dos conexiones $A$ - $D$ , dos conexiones $B$ - $D$ , y un camino $A$ - $B$ . Los recorridos desde $A$ hasta $B$ que usan cada uno una vez son de $4$ tipos: $ABDADB,$ $ADABDB,$ $ADBADB,$ y $ADBDAB.$ Cada desvío (por $E,$ por $C$ ) puede tomarse en cualquiera de los dos pasos, así que cada tipo da $4$ rutas reales, para $4\cdot 4 = 16$ rutas. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

City $E$ (roads $AE, DE$ ) is a detour on an $A$ – $D$ trip, and city $C$ (roads $BC, CD$ ) is a detour on a $B$ – $D$ trip. Replace them to get a graph on $A, B, D$ with two $A$ – $D$ connections, two $B$ – $D$ connections, and one $A$ – $B$ road. The trails from $A$ to $B$ using each once are of $4$ types: $ABDADB,$ $ADABDB,$ $ADBADB,$ and $ADBDAB.$ Each detour (through $E,$ through $C$ ) can be taken on either passage, so each type gives $4$ actual routes, for $4\cdot 4 = 16$ routes. Thus, the correct answer is D.

13.

Los ángulos internos del cuadrilátero $ABCD$ forman una progresión aritmética. Los triángulos $ABD$ y $DCB$ son semejantes, con $\angle DBA = \angle DCB$ y $\angle ADB = \angle CBD.$ Además, los ángulos de cada uno de estos dos triángulos también forman una progresión aritmética. En grados, ¿cuál es la mayor suma posible de los dos ángulos más grandes de $ABCD$ ?

The internal angles of quadrilateral $ABCD$ form an arithmetic progression. Triangles $ABD$ and $DCB$ are similar with $\angle DBA = \angle DCB$ and $\angle ADB = \angle CBD.$ Moreover, the angles in each of these two triangles also form an arithmetic progression. In degrees, what is the largest possible sum of the two largest angles of $ABCD?$

$210$

$220$

$230$

$240$

$250$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética persecución de ángulos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética exactamente cuando su ángulo del medio es $60^\circ$ .

A triangle’s angles form an arithmetic progression exactly when its middle angle is $60^\circ$

Pista grande:

Sea $\angle DBA = x$ y $\angle ADB = y;$ los cuatro ángulos de $ABCD$ resultan $x, y, 180-y, 180-x,$ que deben formar una progresión aritmética con un ángulo del triángulo igual a $60^\circ$ .

Let $\angle DBA = x$ and $\angle ADB = y;$ the four angles of $ABCD$ become $x, y, 180-y, 180-x,$ which must be an arithmetic progression with one triangle angle equal to $60^\circ$

Solución:

Los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética exactamente cuando el ángulo medio es $60^\circ.$ Con $\angle DBA = x$ y $\angle ADB = y,$ los cuatro ángulos de $ABCD$ son $x, y, 180 - y, 180-x,$ y también deben formar una progresión aritmética. En orden creciente son $x,y,180-y,180-x$ o $x,180-y,y,180-x,$ lo que da $3y=x+180$ o $3y=360-x.$ Uno de los ángulos del triángulo $x,y,180-x-y$ es $60^\circ.$ Al sustituir quedan los conjuntos de ángulos $(60,80,100,120)$ y $(45,75,105,135).$ Los dos ángulos mayores suman como máximo $105 + 135 = 240.$ Así, la respuesta correcta es D.

The angles of a triangle form an arithmetic progression exactly when the middle one is $60^\circ.$ With $\angle DBA = x$ and $\angle ADB = y,$ the four angles of $ABCD$ are $x, y, 180 - y, 180-x,$ which must itself be an arithmetic progression. In increasing order they are either $x,y,180-y,180-x$ or $x,180-y,y,180-x,$ giving $3y=x+180$ or $3y=360-x.$ One of the triangle angles $x,y,180-x-y$ is $60^\circ.$ Substitution leaves the angle sets $(60,80,100,120)$ and $(45,75,105,135).$ The two largest angles sum to at most $105 + 135 = 240.$ Thus, the correct answer is D.

14.

Dos sucesiones no decrecientes de enteros no negativos tienen primeros términos diferentes. Cada sucesión tiene la propiedad de que cada término a partir del tercero es la suma de los dos términos anteriores, y el séptimo término de cada sucesión es $N.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $N$ ?

Two non-decreasing sequences of nonnegative integers have different first terms. Each sequence has the property that each term beginning with the third is the sum of the previous two terms, and the seventh term of each sequence is $N.$ What is the smallest possible value of $N?$

$55$

$89$

$104$

$144$

$273$

Respuesta: C

Conceptos:Fibonacci Ecuación diofántica máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

En términos de los dos primeros términos $a_1, a_2,$ el séptimo término es igual a $5a_1 + 8a_2$ .

In terms of the first two terms $a_1, a_2,$ the seventh term equals $5a_1 + 8a_2$

Pista grande:

Igualar los dos séptimos términos da $5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2);$ como $5$ y $8$ son coprimos, se obliga a que $b_1 - a_1$ sea múltiplo de $8$ .

Setting the two seventh terms equal gives $5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2);$ coprimality of $5$ and $8$ forces $b_1 - a_1$ to be a multiple of $8$

Solución:

Una sucesión que empieza con $a_1, a_2$ tiene séptimo término $5a_1 + 8a_2.$ Para las dos sucesiones, $5a_1 + 8a_2 = 5b_1 + 8b_2,$ así que $5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2).$ Como $\gcd(5, 8) = 1,$ necesitamos que $b_1 - a_1$ sea múltiplo de $8$ y que $a_2 - b_2$ sea múltiplo de $5.$ Tomando $a_1 \lt b_1$ con términos no decrecientes se obtiene $a_1 \le b_1 - 8 \le b_2 - 8 \le a_2 - 13.$ Eligiendo $a_1 = 0,$ $b_1 = b_2 = 8,$ $a_2 = 13$ resulta $N = 5\cdot 0 + 8\cdot 13 = 104.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A sequence starting $a_1, a_2$ has seventh term $5a_1 + 8a_2.$ For the two sequences, $5a_1 + 8a_2 = 5b_1 + 8b_2,$ so $5(b_1 - a_1) = 8(a_2 - b_2).$ Since $\gcd(5, 8) = 1,$ we need $b_1 - a_1$ to be a multiple of $8$ and $a_2 - b_2$ to be a multiple of $5.$ Taking $a_1 \lt b_1$ with nondecreasing terms gives $a_1 \le b_1 - 8 \le b_2 - 8 \le a_2 - 13.$ Choosing $a_1 = 0,$ $b_1 = b_2 = 8,$ $a_2 = 13$ yields $N = 5\cdot 0 + 8\cdot 13 = 104.$ Thus, the correct answer is C.

15.

El número $2013$ se expresa en la forma

$2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!},$

donde $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ y $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ son enteros positivos y $a_1 + b_1$ es lo más pequeño posible. ¿Cuánto vale $|a_1 - b_1|\,$ ?

The number $2013$ is expressed in the form

$2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!},$

where $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ and $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ are positive integers and $a_1 + b_1$ is as small as possible. What is $|a_1 - b_1|\,?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:factorización en primos factorial acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Factoriza $2013 = 3\cdot 11\cdot 61;$ su mayor primo es $61$ .

Factor $2013 = 3\cdot 11\cdot 61;$ its largest prime is $61$

Pista grande:

Algún $a_i!$ debe alcanzar $61,$ así que $a_1 \ge 61;$ pero $61!$ también contiene el primo $59,$ que debe cancelarse del denominador.

Some $a_i!$ must reach $61,$ so $a_1 \ge 61;$ but $61!$ also contains the prime $59,$ which must be cancelled from the denominator

Solución:

Como $2013 = 3\cdot 11\cdot 61,$ el numerador necesita un factorial de al menos $61!$ para aportar el primo $61,$ así que $a_1 \ge 61.$ Pero $61!$ también tiene un factor $59,$ que $2013$ no tiene, así que el denominador necesita $b_1 \ge 59.$ Por lo tanto $a_1 + b_1 \ge 120,$ alcanzado con $a_1 = 61,$ $b_1 = 59$ mediante $2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}.$ Entonces $|a_1 - b_1| = 2.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $2013 = 3\cdot 11\cdot 61,$ the numerator needs a factorial at least $61!$ to supply the prime $61,$ so $a_1 \ge 61.$ But $61!$ also has a factor of $59,$ which $2013$ does not, so the denominator needs $b_1 \ge 59.$ Thus $a_1 + b_1 \ge 120,$ attained by $a_1 = 61,$ $b_1 = 59$ via $2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}.$ Then $|a_1 - b_1| = 2.$ Thus, the correct answer is B.

16.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo equiángulo de perímetro $1.$ Las intersecciones por pares de las rectas que prolongan los lados del pentágono determinan un polígono en forma de estrella de cinco puntas. Sea $s$ el perímetro de esta estrella. ¿Cuál es la diferencia entre el máximo y el mínimo valor posible de $s$ ?

Let $ABCDE$ be an equiangular convex pentagon of perimeter $1.$ The pairwise intersections of the lines that extend the sides of the pentagon determine a five-pointed star polygon. Let $s$ be the perimeter of this star. What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $s?$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5 - 1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5 + 1}{2}$

$\sqrt5$

Respuesta: A

Conceptos:polígono equiángulo triángulo isósceles invariante

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Cada ángulo interior de un pentágono equiángulo es $108^\circ,$ así que cada punta de la estrella es un triángulo isósceles con vértice de $36^\circ$ .

Each interior angle of an equiangular pentagon is $108^\circ,$ so every point of the star is an isosceles triangle with a $36^\circ$ apex

Pista grande:

Los dos lados iguales de cada punta de la estrella son el mismo múltiplo fijo $c$ del lado del pentágono sobre el que se apoya, así que el perímetro de la estrella es $2c$ veces el perímetro del pentágono.

Each star point’s two equal sides are the same fixed multiple $c$ of the pentagon side it sits on, so the star perimeter is $2c$ times the pentagon perimeter

Solución:

Un pentágono equiángulo tiene todos sus ángulos interiores $108^\circ,$ así que cada punta de la estrella es un triángulo isósceles con ángulos de la base $72^\circ$ y vértice $36^\circ.$ Por la igualdad de los ángulos de la base, cada punta aporta dos lados que son el mismo múltiplo fijo $c$ del lado del pentágono sobre el que se apoya. Sumando sobre las cinco puntas, el perímetro de la estrella es igual a $2c\cdot(\text{perímetro del pentágono}) = 2c,$ independiente de las longitudes individuales de los lados. Así que $s$ es constante, y la diferencia entre su valor máximo y su valor mínimo es $0.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

An equiangular pentagon has all interior angles $108^\circ,$ so each point of the star is an isosceles triangle with base angles $72^\circ$ and apex $36^\circ.$ By the equal base angles, each point contributes two sides that are the same fixed multiple $c$ of the pentagon side it rests on. Summing over the five points, the star perimeter equals $2c\cdot(\text{pentagon perimeter}) = 2c,$ independent of the individual side lengths. So $s$ is constant, and the difference between its maximum and minimum values is $0.$ Thus, the correct answer is A.

17.

Sean $a,$ $b,$ y $c$ números reales tales que

$a + b + c = 2$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 12.$

¿Cuál es la diferencia entre el máximo y el mínimo valor posible de $c$ ?

Let $a,$ $b,$ and $c$ be real numbers such that

$a + b + c = 2$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 12.$

What is the difference between the maximum and minimum possible values of $c?$

$2$

$\dfrac{10}{3}$

$4$

$\dfrac{16}{3}$

$\dfrac{20}{3}$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrática desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Escribe $a + b = 2 - c$ y $a^2 + b^2 = 12 - c^2$ .

Write $a + b = 2 - c$ and $a^2 + b^2 = 12 - c^2$

Pista grande:

Existen $a, b$ reales con una suma y una suma de cuadrados dadas si y solo si $(a+b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$ .

Real $a, b$ with a given sum and sum of squares exist iff $(a+b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$

Solución:

De las ecuaciones, $a + b = 2 - c$ y $a^2 + b^2 = 12 - c^2.$ Existen números reales $a, b$ con una suma y una suma de cuadrados dadas si y solo si $(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2),$ es decir $(2 - c)^2 \le 2(12 - c^2).$ Esto se simplifica a $(3c - 10)(c + 2) \le 0,$ así que $-2 \le c \le \tfrac{10}{3}.$ La diferencia es $\tfrac{10}{3} - (-2) = \tfrac{16}{3}.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From the equations, $a + b = 2 - c$ and $a^2 + b^2 = 12 - c^2.$ Real numbers $a, b$ with a given sum and sum of squares exist iff $(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2),$ i.e. $(2 - c)^2 \le 2(12 - c^2).$ This simplifies to $(3c - 10)(c + 2) \le 0,$ so $-2 \le c \le \tfrac{10}{3}.$ The difference is $\tfrac{10}{3} - (-2) = \tfrac{16}{3}.$ Thus, the correct answer is D.

18.

Barbara y Jenna juegan el siguiente juego, en el que se turnan. Sobre una mesa hay cierta cantidad de monedas. Cuando es el turno de Barbara, debe quitar $2$ o $4$ monedas, a menos que quede una sola moneda, en cuyo caso pierde su turno. Cuando es el turno de Jenna, debe quitar $1$ o $3$ monedas. Un lanzamiento de moneda determina quién empieza. Quien quite la última moneda gana el juego. Supón que ambas jugadoras usan su mejor estrategia. ¿Quién ganará cuando el juego empieza con $2013$ monedas y cuando el juego empieza con $2014$ monedas?

Barbara and Jenna play the following game, in which they take turns. A number of coins lie on a table. When it is Barbara’s turn, she must remove $2$ or $4$ coins, unless only one coin remains, in which case she loses her turn. When it is Jenna’s turn, she must remove $1$ or $3$ coins. A coin flip determines who goes first. Whoever removes the last coin wins the game. Assume both players use their best strategy. Who will win when the game starts with $2013$ coins and when the game starts with $2014$ coins?

Barbara ganará con $2013$ monedas, y Jenna ganará con $2014$ monedas.

Barbara will win with $2013$ coins, and Jenna will win with $2014$ coins.

Jenna ganará con $2013$ monedas, y quien empiece ganará con $2014$ monedas.

Jenna will win with $2013$ coins, and whoever goes first will win with $2014$ coins.

Barbara ganará con $2013$ monedas, y quien vaya en segundo lugar ganará con $2014$ monedas.

Barbara will win with $2013$ coins, and whoever goes second will win with $2014$ coins.

Jenna ganará con $2013$ monedas, y Barbara ganará con $2014$ monedas.

Jenna will win with $2013$ coins, and Barbara will win with $2014$ coins.

Quien empiece ganará con $2013$ monedas, y quien vaya en segundo lugar ganará con $2014$ monedas.

Whoever goes first will win with $2013$ coins, and whoever goes second will win with $2014$ coins.

Respuesta: B

Conceptos:juego combinatorio invariante aritmética modular

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Sigue el número de monedas módulo $5$ .

Track the number of coins modulo $5$

Pista grande:

Jenna siempre puede restaurar un múltiplo de $5$ después de su jugada, respondiendo al $2$ de Barbara con $3$ y a su $4$ con $1;$ decide quién puede mantener el invariante para cada cantidad inicial.

Jenna can always restore a multiple of $5$ after her move, answering Barbara’s $2$ with $3$ and her $4$ with $1;$ decide who can maintain the invariant for each starting count

Solución:

Trabaja módulo $5.$ Con $2013 \equiv 3$ monedas, Jenna gana de cualquier manera: si empieza, quita $3$ para dejar un múltiplo de $5,$ luego responde al $2$ de Barbara con $3$ y al $4$ con $1$ para conservar múltiplos de $5,$ y finalmente toma la última moneda; si va en segundo lugar, mantiene la cantidad $\equiv 3 \pmod 5$ hasta que Barbara queda atascada en $3$ monedas, debe quitar $2,$ y le deja a Jenna la última moneda. Con $2014 \equiv 4$ monedas, gana quien empiece: Jenna, si empieza, reduce al caso de $2013$ , mientras que Barbara, si empieza, quita $4$ y luego conserva múltiplos de $5.$ Esta es la opción B. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Work modulo $5.$ With $2013 \equiv 3$ coins, Jenna wins either way: going first she takes $3$ to leave a multiple of $5,$ then answers Barbara’s $2$ with $3$ and $4$ with $1$ to keep multiples of $5,$ eventually taking the last coin; going second she keeps the count $\equiv 3 \pmod 5$ until Barbara is stuck at $3$ coins, must remove $2,$ and leaves Jenna the last coin. With $2014 \equiv 4$ coins, whoever goes first wins: Jenna first reduces to the $2013$ case, while Barbara first takes $4$ and then keeps multiples of $5.$ This is choice B. Thus, the correct answer is B.

19.

En el triángulo $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ y $CA = 15.$ Los puntos distintos $D,$ $E,$ y $F$ están sobre los segmentos $BC,$ $CA,$ y $DE,$ respectivamente, de modo que $AD \perp BC,$ $DE \perp AC,$ y $AF \perp BF.$ La longitud del segmento $DF$ se puede escribir como $\dfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $CA = 15.$ Distinct points $D,$ $E,$ and $F$ lie on segments $BC,$ $CA,$ and $DE,$ respectively, such that $AD \perp BC,$ $DE \perp AC,$ and $AF \perp BF.$ The length of segment $DF$ can be written as $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrilátero cíclico semejanza altura

Nivel de dificultad: 2140

Pista pequeña:

La altura $AD$ en el triángulo $13$ - $14$ - $15$ da $BD = 5,$ $CD = 9,$ $AD = 12$ .

The altitude $AD$ in the $13$ - $14$ - $15$ triangle gives $BD = 5,$ $CD = 9,$ $AD = 12$

Pista grande:

Como $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ,$ los puntos $A, B, D, F$ son concíclicos; usa triángulos rectángulos semejantes para hallar $FE,$ y luego $DF = DE - FE$ .

Since $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ,$ points $A, B, D, F$ are concyclic; use similar right triangles to find $FE,$ then $DF = DE - FE$

Solución:

La altura desde $A$ hasta $BC$ da $BD = 5,$ $CD = 9,$ $AD = 12.$ Como $DE \perp AC,$ el triángulo $AED \sim ADC,$ lo que da $DE = \tfrac{36}{5}$ y $AE = \tfrac{48}{5}.$ Como $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ,$ el cuadrilátero $ABDF$ es cíclico, así que $\angle ABD = \angle AFE,$ haciendo semejantes los triángulos rectángulos $ABD$ y $AFE$ : $\dfrac{FE}{5} = \dfrac{\frac{48}{5}}{12},$ así que $FE = 4.$ Por lo tanto $DF = DE - FE$ $= \tfrac{36}{5} - 4$ $= \tfrac{16}{5},$ y $m + n = 21.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The altitude from $A$ to $BC$ gives $BD = 5,$ $CD = 9,$ $AD = 12.$ Because $DE \perp AC,$ triangle $AED \sim ADC,$ giving $DE = \tfrac{36}{5}$ and $AE = \tfrac{48}{5}.$ Since $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ,$ quadrilateral $ABDF$ is cyclic, so $\angle ABD = \angle AFE,$ making right triangles $ABD$ and $AFE$ similar: $\dfrac{FE}{5} = \dfrac{\frac{48}{5}}{12},$ so $FE = 4.$ Hence $DF = DE - FE$ $= \tfrac{36}{5} - 4$ $= \tfrac{16}{5},$ and $m + n = 21.$ Thus, the correct answer is B.

20.

Para $135^\circ \lt x \lt 180^\circ,$ los puntos $P = (\cos x, \cos^2 x),$ $Q = (\cot x, \cot^2 x),$ $R = (\sin x, \sin^2 x),$ y $S = (\tan x, \tan^2 x)$ son los vértices de un trapecio. ¿Cuánto vale $\sin(2x)$ ?

For $135^\circ \lt x \lt 180^\circ,$ points $P = (\cos x, \cos^2 x),$ $Q = (\cot x, \cot^2 x),$ $R = (\sin x, \sin^2 x),$ and $S = (\tan x, \tan^2 x)$ are the vertices of a trapezoid. What is $\sin(2x)?$

$2 - 2\sqrt2$

$3\sqrt3 - 6$

$3\sqrt2 - 5$

$-\dfrac{3}{4}$

$1 - \sqrt3$

Respuesta: A

Conceptos:parábola identidad trigonométrica trapecio

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Los cuatro puntos están en la parábola $y = t^2;$ la pendiente de la cuerda que une los parámetros $t_1$ y $t_2$ es $t_1 + t_2$ .

All four points lie on the parabola $y = t^2;$ the slope of the chord joining parameters $t_1$ and $t_2$ is $t_1 + t_2$

Pista grande:

En este rango los lados paralelos deben ser $QR$ y $PS,$ así que $\cot x + \sin x = \tan x + \cos x$ .

On this range the parallel sides must be $QR$ and $PS,$ so $\cot x + \sin x = \tan x + \cos x$

Solución:

Cada punto $(t, t^2)$ está en $y = t^2,$ y la cuerda que pasa por los parámetros $t_1, t_2$ tiene pendiente $t_1 + t_2.$ Para $135^\circ \lt x \lt 180^\circ,$ tanto $\cos x$ como $\tan x$ están entre $\cot x$ y $\sin x,$ así que $P$ y $S$ quedan entre $Q$ y $R$ y los lados paralelos son $QR$ y $PS.$ La igualdad de pendientes da $\cot x + \sin x = \tan x + \cos x.$ Multiplicando por $\sin x\cos x$ y simplificando se obtiene $\cos x + \sin x - \sin x\cos x = 0.$ Elevando al cuadrado y usando $2\sin x\cos x = \sin 2x$ se obtiene $1 + \sin 2x = \tfrac14\sin^2 2x,$ cuya única raíz en $(-1, 1)$ es $\sin 2x = 2 - 2\sqrt2.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each point $(t, t^2)$ lies on $y = t^2,$ and the chord through parameters $t_1, t_2$ has slope $t_1 + t_2.$ For $135^\circ \lt x \lt 180^\circ,$ both $\cos x$ and $\tan x$ lie between $\cot x$ and $\sin x,$ so $P$ and $S$ sit between $Q$ and $R$ and the parallel sides are $QR$ and $PS.$ Equal slopes give $\cot x + \sin x = \tan x + \cos x.$ Multiplying by $\sin x\cos x$ and simplifying yields $\cos x + \sin x - \sin x\cos x = 0.$ Squaring and using $2\sin x\cos x = \sin 2x$ gives $1 + \sin 2x = \tfrac14\sin^2 2x,$ whose only root in $(-1, 1)$ is $\sin 2x = 2 - 2\sqrt2.$ Thus, the correct answer is A.

21.

Considera el conjunto de $30$ parábolas definidas como sigue: todas las parábolas tienen como foco el punto $(0, 0)$ y las rectas directrices tienen la forma $y = ax + b$ con $a$ y $b$ enteros tales que $a \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ y $b \in \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}.$ Ninguna terna de estas parábolas tiene un punto común. ¿Cuántos puntos del plano están en dos de estas parábolas?

Consider the set of $30$ parabolas defined as follows: all parabolas have as focus the point $(0, 0)$ and the directrix lines have the form $y = ax + b$ with $a$ and $b$ integers such that $a \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ and $b \in \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}.$ No three of these parabolas have a common point. How many points in the plane are on two of these parabolas?

$720$

$760$

$810$

$840$

$870$

Respuesta: C

Conceptos:parábola conteo complementario combinaciones

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Dos parábolas que comparten un foco se cortan en $2$ puntos, salvo que sus directrices sean paralelas y el foco no esté entre ellas.

Two parabolas sharing a focus meet in $2$ points unless their directrices are parallel with the focus not between them

Pista grande:

De todos los $\binom{30}{2}$ pares, resta los que no se cortan: pendiente igual e interceptos en $y$ del mismo signo.

From all $\binom{30}{2}$ pairs, subtract the non-intersecting ones: equal slope and same-sign $y$ -intercepts

Solución:

Dos parábolas con foco común $O$ se cortan en exactamente $2$ puntos, salvo cuando sus directrices son paralelas y $O$ queda fuera de la franja entre ellas, en cuyo caso no se cortan. Los pares que no se cortan tienen directrices de igual pendiente e interceptos en $y$ del mismo signo. Hay $5$ pendientes, y para cada una, $2\binom{3}{2} = 6$ pares de interceptos del mismo signo. Como cada par que se corta lo hace en $2$ puntos y ningún punto está en tres parábolas, el total es $2\left(\binom{30}{2} - 5\cdot 6\right)$ $= 2(435 - 30)$ $= 810.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Two parabolas with common focus $O$ meet in exactly $2$ points, except when their directrices are parallel and $O$ lies outside the strip between them, in which case they do not meet. The non-intersecting pairs have directrices of equal slope and $y$ -intercepts of the same sign. There are $5$ slopes, and for each, $2\binom{3}{2} = 6$ same-sign intercept pairs. Since every intersecting pair meets in $2$ points and no point lies on three parabolas, the total is $2\left(\binom{30}{2} - 5\cdot 6\right)$ $= 2(435 - 30)$ $= 810.$ Thus, the correct answer is C.

22.

Sean $m \gt 1$ y $n \gt 1$ enteros. Supón que el producto de las soluciones en $x$ de la ecuación

$\begin{aligned} &8(\log_n x)(\log_m x) - 7\log_n x \\ &\quad {}- 6\log_m x - 2013 = 0 \end{aligned}$

es el menor entero posible. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Let $m \gt 1$ and $n \gt 1$ be integers. Suppose that the product of the solutions for $x$ of the equation

$\begin{aligned} &8(\log_n x)(\log_m x) - 7\log_n x \\ &\quad {}- 6\log_m x - 2013 = 0 \end{aligned}$

is the smallest possible integer. What is $m + n?$

$12$

$20$

$24$

$48$

$272$

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo Fórmulas de Vieta aritmética modular

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Usa $\log_n x = \dfrac{\log x}{\log n}$ para convertir la ecuación en una cuadrática en $\log x$ .

Use $\log_n x = \dfrac{\log x}{\log n}$ to turn the equation into a quadratic in $\log x$

Pista grande:

El producto de las raíces satisface $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n),$ así que $(x_1 x_2)^8 = m^7 n^6;$ minimiza este entero.

The product of the roots satisfies $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n),$ so $(x_1 x_2)^8 = m^7 n^6;$ minimize this integer

Solución:

Al escribir $\log_n x = \tfrac{\log x}{\log n}$ y $\log_m x = \tfrac{\log x}{\log m},$ la ecuación se convierte en una cuadrática en $\log x$ cuyas raíces suman $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n).$ Por tanto, $N^8=m^7n^6,$ donde $N=x_1x_2.$ Para cada primo que divide a $mn,$ sean $a,b$ sus exponentes en $m,n,$ respectivamente. Entonces $7a+6b\equiv0\pmod8.$ Es imposible que $a$ sea impar. Si $a=0,$ entonces $b$ es múltiplo de $4$ y este primo aporta al menos un factor $p^3,$ pero algún otro primo debe dividir a $m.$ Si $a\equiv0\pmod8$ es positivo, su aporte a $N$ es al menos $p^7;$ si $a\equiv2\pmod8,$ entonces $b\equiv3\pmod4$ y el menor aporte es $p^4.$ Cualquier otro valor positivo y par de $a$ produce un aporte mayor. Así, el mínimo usa únicamente $p=2$ con $(a,b)=(2,3),$ lo que da $N=16,$ $m=4,$ y $n=8.$ Por tanto, $m+n=12.$ Así, la respuesta correcta es A.

Writing $\log_n x = \tfrac{\log x}{\log n}$ and $\log_m x = \tfrac{\log x}{\log m},$ the equation becomes a quadratic in $\log x$ whose roots sum to $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n).$ Hence $N^8=m^7n^6,$ where $N=x_1x_2.$ For each prime dividing $mn,$ let its exponents in $m,n$ be $a,b.$ Then $7a+6b\equiv0\pmod8.$ An odd $a$ is impossible. If $a=0,$ then $b$ is a multiple of $4$ and this prime contributes at least $p^3,$ but some other prime must divide $m.$ If $a\equiv0\pmod8$ is positive, its contribution to $N$ is at least $p^7;$ if $a\equiv2\pmod8,$ then $b\equiv3\pmod4$ and the least contribution is $p^4.$ Every other positive even $a$ gives more. Thus the minimum uses only $p=2$ with $(a,b)=(2,3),$ giving $N=16,$ $m=4,$ and $n=8.$ So $m+n=12.$ Thus, the correct answer is A.

23.

Bernardo elige un entero positivo de tres dígitos $N$ y escribe en un pizarrón tanto su representación en base $5$ como en base $6$ . Más tarde LeRoy ve los dos números que Bernardo ha escrito. Tratando los dos números como enteros en base $10$ , los suma para obtener un entero $S.$ Por ejemplo, si $N = 749,$ Bernardo escribe los números $10{,}444$ y $3{,}245,$ y LeRoy obtiene la suma $S = 13{,}689.$ ¿Para cuántas elecciones de $N$ los dos dígitos más a la derecha de $S,$ en orden, son los mismos que los de $2N$ ?

Bernardo chooses a three-digit positive integer $N$ and writes both its base- $5$ and base- $6$ representations on a blackboard. Later LeRoy sees the two numbers Bernardo has written. Treating the two numbers as base- $10$ integers, he adds them to obtain an integer $S.$ For example, if $N = 749,$ Bernardo writes the numbers $10{,}444$ and $3{,}245,$ and LeRoy obtains the sum $S = 13{,}689.$ For how many choices of $N$ are the two rightmost digits of $S,$ in order, the same as those of $2N?$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

Respuesta: E

Conceptos:base numérica aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Como $\mathrm{lcm}(5^2, 6^2, 10^2) = 900,$ la condición depende solo de $N \bmod 900,$ así que deja que $N$ varíe de $0$ a $899$ .

Since $\mathrm{lcm}(5^2, 6^2, 10^2) = 900,$ the condition depends only on $N \bmod 900,$ so let $N$ range from $0$ to $899$

Pista grande:

Igualar los últimos dígitos obliga a que los dígitos de las unidades en base $5$ y en base $6$ sean iguales; trabajando módulo $100$ se determinan los pares permitidos de los dos últimos dígitos.

Matching last digits forces the base- $5$ and base- $6$ units digits equal; working modulo $100$ pins down the allowed last-two-digit pairs

Solución:

Como $\mathrm{lcm}(25, 36, 100) = 900,$ la condición sobre $N$ depende solo de $N \bmod 900,$ así que consideramos $0 \le N \le 899.$ Sean $a_1, a_0$ los dos últimos dígitos en base $5$ , y sean $b_1,b_0$ los dos últimos dígitos en base $6.$ Módulo $10,$ la igualdad deseada y $N\equiv a_0\pmod5$ obligan a que $a_0=b_0.$ El teorema chino del resto, aplicado módulo $25$ y $36$ , da entonces $\begin{aligned} N&\equiv180a_1+150b_1 \\ &\quad {}+a_0\pmod{900}. \end{aligned}$ Al comparar el doble de este residuo módulo $100$ con el número decimal $10(a_1+b_1)+a_0+b_0$ , se obtiene $5a_1\equiv b_1\pmod{10}.$ Por tanto, los pares válidos son exactamente $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5).$ Cada uno se combina con $5$ valores de $a_0$ $(0 \le a_0 \le 4),$ lo que da $25$ valores de $N.$ Así, la respuesta correcta es E.

Because $\mathrm{lcm}(25, 36, 100) = 900,$ the condition on $N$ depends only on $N \bmod 900,$ so consider $0 \le N \le 899.$ Let the last two base- $5$ digits be $a_1, a_0$ and the last two base- $6$ digits be $b_1,b_0.$ Modulo $10,$ the desired equality and $N\equiv a_0\pmod5$ force $a_0=b_0.$ The Chinese Remainder Theorem applied modulo $25$ and $36$ then gives $\begin{aligned} N&\equiv180a_1+150b_1 \\ &\quad {}+a_0\pmod{900}. \end{aligned}$ Comparing twice this residue modulo $100$ with the decimal number $10(a_1+b_1)+a_0+b_0$ reduces to $5a_1\equiv b_1\pmod{10}.$ Hence the valid pairs are exactly $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5).$ Each combines with $5$ choices of $a_0$ $(0 \le a_0 \le 4),$ giving $25$ values of $N.$ Thus, the correct answer is E.

24.

Sea $ABC$ un triángulo donde $M$ es el punto medio de $AC,$ y $CN$ es la bisectriz del $\angle ACB$ con $N$ sobre $AB.$ Sea $X$ la intersección de la mediana $BM$ y la bisectriz $CN.$ Además $\triangle BXN$ es equilátero y $AC = 2.$ ¿Cuánto vale $BN^2$ ?

Let $ABC$ be a triangle where $M$ is the midpoint of $AC,$ and $CN$ is the angle bisector of $\angle ACB$ with $N$ on $AB.$ Let $X$ be the intersection of the median $BM$ and the bisector $CN.$ In addition $\triangle BXN$ is equilateral and $AC = 2.$ What is $BN^2?$

$\dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{5\sqrt2 - 3\sqrt3}{8}$

$\dfrac{\sqrt2}{6}$

$\dfrac{3\sqrt3 - 4}{5}$

Respuesta: A

Conceptos:bisectriz triángulo equilátero ley de los cosenos semejanza

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Sea $\alpha = \angle ACN$ y $x = BN;$ el triángulo equilátero da $\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ$ .

Let $\alpha = \angle ACN$ and $x = BN;$ the equilateral triangle gives $\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ$

Pista grande:

Los triángulos semejantes dan $BC = \sqrt2$ y $CX = (\sqrt2 + 1)x;$ luego aplica la Ley de Cosenos en $\triangle BCX$ .

Similar triangles yield $BC = \sqrt2$ and $CX = (\sqrt2 + 1)x;$ then apply the Law of Cosines in $\triangle BCX$

Solución:

Sea $\alpha = \angle ACN = \angle NCB$ y $x = BN.$ Como $\triangle BXN$ es equilátero, $\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ,$ lo que da $\triangle ABC \sim \triangle BMC$ y $\triangle ANC \sim \triangle BXC.$ De la primera, con $MC = \tfrac12 AC = 1,$ obtenemos $\dfrac{BC}{2} = \dfrac{MC}{BC},$ así que $BC = \sqrt2.$ De la segunda, $CX = (\sqrt2 + 1)x.$ La Ley de Cosenos en $\triangle BCX$ con $\angle BXC = 120^\circ$ da $2 = x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)^2 x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)x^2$ $= (5 + 3\sqrt2)x^2.$ Por lo tanto $BN^2 = x^2$ $= \dfrac{2}{5 + 3\sqrt2}$ $= \dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $\alpha = \angle ACN = \angle NCB$ and $x = BN.$ Since $\triangle BXN$ is equilateral, $\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ,$ which gives $\triangle ABC \sim \triangle BMC$ and $\triangle ANC \sim \triangle BXC.$ From the first, with $MC = \tfrac12 AC = 1,$ we get $\dfrac{BC}{2} = \dfrac{MC}{BC},$ so $BC = \sqrt2.$ From the second, $CX = (\sqrt2 + 1)x.$ The Law of Cosines in $\triangle BCX$ with $\angle BXC = 120^\circ$ gives $2 = x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)^2 x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)x^2$ $= (5 + 3\sqrt2)x^2.$ Hence $BN^2 = x^2$ $= \dfrac{2}{5 + 3\sqrt2}$ $= \dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}.$ Thus, the correct answer is A.

25.

Sea $G$ el conjunto de polinomios de la forma

$\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50, \end{aligned}$

donde $c_1,$ $c_2,$ $\ldots,$ $c_{n-1}$ son enteros y $P(z)$ tiene $n$ raíces distintas de la forma $a + ib$ con $a$ y $b$ enteros. ¿Cuántos polinomios hay en $G$ ?

Let $G$ be the set of polynomials of the form

$\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50, \end{aligned}$

where $c_1,$ $c_2,$ $\ldots,$ $c_{n-1}$ are integers and $P(z)$ has $n$ distinct roots of the form $a + ib$ with $a$ and $b$ integers. How many polynomials are in $G?$

$288$

$528$

$576$

$992$

$1056$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio número complejo conteo de factores análisis por casos

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Los coeficientes reales emparejan las raíces no reales como conjugadas, así que $P(z)$ se factoriza en piezas lineales $(z - c)$ y cuadráticas $z^2 - 2az + (a^2 + b^2)$ , cada una con término constante que divide a $50$ .

Real coefficients pair nonreal roots as conjugates, so $P(z)$ factors into linear $(z - c)$ and quadratic $z^2 - 2az + (a^2 + b^2)$ pieces, each with constant term dividing $50$

Pista grande:

Para cada divisor $d$ de $50,$ cuenta los factores básicos de magnitud $d$ (soluciones de $a^2 + b^2 = d,$ más $z \pm d$ ), luego multiplica las opciones para que los términos constantes multipliquen a $50$ .

For each divisor $d$ of $50,$ count the basic factors of magnitude $d$ (solutions of $a^2 + b^2 = d,$ plus $z \pm d$ ), then multiply choices so the constant terms multiply to $50$

Solución:

Como los coeficientes son reales, las raíces no reales aparecen en pares conjugados, así que $P(z)$ se factoriza en factores lineales distintos $(z - c)$ con $c \in \mathbb{Z}$ y cuadráticos $(z - (a+ib))(z - (a-ib))$ $= z^2 - 2az + (a^2 + b^2).$ El término constante de cada factor divide a $50.$ Para $d=1,2,5,10,25,50,$ las cantidades de pares conjugados con $a^2+b^2=d$ y $b\ne0$ son $1,2,4,4,5,6,$ respectivamente. Al añadir las dos opciones lineales $z-d,z+d$ se obtiene $|B_1|=3,$ $|B_2|=4,$ $|B_5|=6,$ $|B_{10}|=6,$ $|B_{25}|=7,$ y $|B_{50}|=8.$ Las particiones de $50$ en magnitudes de factores mayores que $1$ son $50,25\cdot2,10\cdot5,$ y $5\cdot5\cdot2.$ Que las raíces sean distintas obliga, en el último caso, a elegir dos factores diferentes de $B_5$ . Por último, al tener en cuenta la presencia libre de $z+1$ y $z^2+1$ (con $z-1$ forzado por el signo del producto restante), se obtiene $\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since the coefficients are real, nonreal roots occur in conjugate pairs, so $P(z)$ factors into distinct linear factors $(z - c)$ with $c \in \mathbb{Z}$ and quadratics $(z - (a+ib))(z - (a-ib))$ $= z^2 - 2az + (a^2 + b^2).$ Each factor’s constant term divides $50.$ For $d=1,2,5,10,25,50,$ the numbers of conjugate pairs with $a^2+b^2=d$ and $b\ne0$ are $1,2,4,4,5,6,$ respectively. Adding the two linear choices $z-d,z+d$ gives $|B_1|=3,$ $|B_2|=4,$ $|B_5|=6,$ $|B_{10}|=6,$ $|B_{25}|=7,$ and $|B_{50}|=8.$ The factor-magnitude partitions of $50$ using values greater than $1$ are $50,25\cdot2,10\cdot5,$ and $5\cdot5\cdot2.$ Distinct roots require choosing two different $B_5$ factors in the last case. Finally, account for the free presence of $z+1$ and $z^2+1$ (with $z-1$ forced by the sign of the remaining product), gives $\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528. \end{aligned}$ Thus, the correct answer is B.

Problemas del 2013 AMC 12B

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande: