Question

Sea $G$ el conjunto de polinomios de la forma

$\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50, \end{aligned}$

donde $c_1,$ $c_2,$ $\ldots,$ $c_{n-1}$ son enteros y $P(z)$ tiene $n$ raíces distintas de la forma $a + ib$ con $a$ y $b$ enteros. ¿Cuántos polinomios hay en $G$ ?

Let $G$ be the set of polynomials of the form

$\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50, \end{aligned}$

where $c_1,$ $c_2,$ $\ldots,$ $c_{n-1}$ are integers and $P(z)$ has $n$ distinct roots of the form $a + ib$ with $a$ and $b$ integers. How many polynomials are in $G?$

$288$

$528$

$576$

$992$

$1056$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio número complejo conteo de factores análisis por casos

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Los coeficientes reales emparejan las raíces no reales como conjugadas, así que $P(z)$ se factoriza en piezas lineales $(z - c)$ y cuadráticas $z^2 - 2az + (a^2 + b^2)$ , cada una con término constante que divide a $50$ .

Real coefficients pair nonreal roots as conjugates, so $P(z)$ factors into linear $(z - c)$ and quadratic $z^2 - 2az + (a^2 + b^2)$ pieces, each with constant term dividing $50$

Pista grande:

Para cada divisor $d$ de $50,$ cuenta los factores básicos de magnitud $d$ (soluciones de $a^2 + b^2 = d,$ más $z \pm d$ ), luego multiplica las opciones para que los términos constantes multipliquen a $50$ .

For each divisor $d$ of $50,$ count the basic factors of magnitude $d$ (solutions of $a^2 + b^2 = d,$ plus $z \pm d$ ), then multiply choices so the constant terms multiply to $50$

Solución:

Como los coeficientes son reales, las raíces no reales aparecen en pares conjugados, así que $P(z)$ se factoriza en factores lineales distintos $(z - c)$ con $c \in \mathbb{Z}$ y cuadráticos $(z - (a+ib))(z - (a-ib))$ $= z^2 - 2az + (a^2 + b^2).$ El término constante de cada factor divide a $50.$ Para $d=1,2,5,10,25,50,$ las cantidades de pares conjugados con $a^2+b^2=d$ y $b\ne0$ son $1,2,4,4,5,6,$ respectivamente. Al añadir las dos opciones lineales $z-d,z+d$ se obtiene $|B_1|=3,$ $|B_2|=4,$ $|B_5|=6,$ $|B_{10}|=6,$ $|B_{25}|=7,$ y $|B_{50}|=8.$ Las particiones de $50$ en magnitudes de factores mayores que $1$ son $50,25\cdot2,10\cdot5,$ y $5\cdot5\cdot2.$ Que las raíces sean distintas obliga, en el último caso, a elegir dos factores diferentes de $B_5$ . Por último, al tener en cuenta la presencia libre de $z+1$ y $z^2+1$ (con $z-1$ forzado por el signo del producto restante), se obtiene $\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since the coefficients are real, nonreal roots occur in conjugate pairs, so $P(z)$ factors into distinct linear factors $(z - c)$ with $c \in \mathbb{Z}$ and quadratics $(z - (a+ib))(z - (a-ib))$ $= z^2 - 2az + (a^2 + b^2).$ Each factor’s constant term divides $50.$ For $d=1,2,5,10,25,50,$ the numbers of conjugate pairs with $a^2+b^2=d$ and $b\ne0$ are $1,2,4,4,5,6,$ respectively. Adding the two linear choices $z-d,z+d$ gives $|B_1|=3,$ $|B_2|=4,$ $|B_5|=6,$ $|B_{10}|=6,$ $|B_{25}|=7,$ and $|B_{50}|=8.$ The factor-magnitude partitions of $50$ using values greater than $1$ are $50,25\cdot2,10\cdot5,$ and $5\cdot5\cdot2.$ Distinct roots require choosing two different $B_5$ factors in the last case. Finally, account for the free presence of $z+1$ and $z^2+1$ (with $z-1$ forced by the sign of the remaining product), gives $\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528. \end{aligned}$ Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12B Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años