Question

Sea $G$ el conjunto de polinomios de la forma

$\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50, \end{aligned}$

donde $c_1, c_2, \ldots, c_{n-1}$ son enteros y $P(z)$ tiene $n$ raíces distintas de la forma $a + ib$ con $a$ y $b$ enteros. ¿Cuántos polinomios hay en $G$ ?

Let $G$ be the set of polynomials of the form

$\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50, \end{aligned}$

where $c_1, c_2, \ldots, c_{n-1}$ are integers and $P(z)$ has $n$ distinct roots of the form $a + ib$ with $a$ and $b$ integers. How many polynomials are in $G?$

$288$

$528$

$576$

$992$

$1056$

Solución:

Como los coeficientes son reales, las raíces no reales aparecen en pares conjugados, así que $P(z)$ se factoriza en factores lineales distintos $(z - c)$ con $c \in \mathbb{Z}$ y cuadráticos $(z - (a+ib))(z - (a-ib))$ $= z^2 - 2az + (a^2 + b^2).$ El término constante de cada factor divide a $50.$ Contando los factores básicos de magnitud $d$ (las soluciones de $a^2 + b^2 = d,$ más los dos lineales $z \pm d$ ) se obtiene $|B_1| = 3,$ $|B_2| = 4,$ $|B_5| = 6,$ $|B_{10}| = 6,$ $|B_{25}| = 7,$ $|B_{50}| = 8.$ Construyendo el término constante $50$ como un solo factor o como un producto sobre divisores complementarios, y teniendo en cuenta la presencia libre de $z + 1$ y $z^2 + 1$ (con $z - 1$ forzado por el signo del producto restante), se obtiene $\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since the coefficients are real, nonreal roots occur in conjugate pairs, so $P(z)$ factors into distinct linear factors $(z - c)$ with $c \in \mathbb{Z}$ and quadratics $(z - (a+ib))(z - (a-ib))$ $= z^2 - 2az + (a^2 + b^2).$ Each factor's constant term divides $50.$ Counting basic factors of magnitude $d$ (the solutions of $a^2 + b^2 = d,$ plus the two linear $z \pm d$ ) gives $|B_1| = 3,$ $|B_2| = 4,$ $|B_5| = 6,$ $|B_{10}| = 6,$ $|B_{25}| = 7,$ $|B_{50}| = 8.$ Building the constant term $50$ as a single factor or a product over complementary divisors, and accounting for the free presence of $z + 1$ and $z^2 + 1$ (with $z - 1$ forced by the sign of the remaining product), gives $\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528. \end{aligned}$ Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años