Question

Pablo decorará cada una de $6$ bolas blancas idénticas con un patrón de rayas o de puntos, usando pintura roja o azul. Decidirá el color y el patrón de cada bola lanzando una moneda justa para cada una de las $12$ decisiones que debe tomar. Después de que la pintura se seque, colocará las $6$ bolas en una urna. Frida seleccionará al azar una bola de la urna y anotará su color y patrón. Los eventos “la bola que Frida selecciona es roja” y “la bola que Frida selecciona es de rayas” pueden ser o no independientes, según el resultado de los lanzamientos de moneda de Pablo. La probabilidad de que estos dos eventos sean independientes puede escribirse como $\dfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m$ ? (Recuerda que dos eventos $A$ y $B$ son independientes si $P(A \text{ y } B) = P(A)\cdot P(B).$ )

Pablo will decorate each of $6$ identical white balls with either a striped or a dotted pattern, using either red or blue paint. He will decide on the color and pattern for each ball by flipping a fair coin for each of the $12$ decisions he must make. After the paint dries, he will place the $6$ balls in an urn. Frida will randomly select one ball from the urn and note its color and pattern. The events “the ball Frida selects is red” and “the ball Frida selects is striped” may or may not be independent, depending on the outcome of Pablo’s coin flips. The probability that these two events are independent can be written as $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m?$ (Recall that two events $A$ and $B$ are independent if $P(A \text{ and } B) = P(A)\cdot P(B).$ )

$243$

$245$

$247$

$249$

$251$

Respuesta: A

Conceptos:eventos independientes análisis por casos

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Supón que entre las seis bolas hay $k$ que son rojas y de rayas, con $R$ rojas y $S$ de rayas en total. La independencia para la elección uniforme de Frida significa $\dfrac{k}{6} = \dfrac{R}{6}\cdot\dfrac{S}{6}$ .

Let the six balls include $k$ that are red-and-striped, with $R$ red and $S$ striped total. Independence for Frida’s uniform pick means $\dfrac{k}{6} = \dfrac{R}{6}\cdot\dfrac{S}{6}$

Pista grande:

Así que la condición es $6k = RS.$ Cuenta las asignaciones de $6$ bolas a los $4$ tipos igualmente probables que la cumplen, sobre $4^6$ en total, usando coeficientes multinomiales.

So the condition is $6k = RS.$ Count assignments of $6$ balls to the $4$ equally likely types satisfying this, over $4^6$ total, using multinomial coefficients

Solución:

Cada bola es independientemente uno de cuatro tipos equiprobables: roja con rayas, roja con puntos, azul con rayas, azul con puntos. Supongamos que entre las $6$ bolas hay $k$ rojas con rayas, con $R$ rojas y $S$ con rayas en total. Para la elección uniforme de Frida, $P(\text{roja}) = \tfrac{R}{6},$ $P(\text{con rayas}) = \tfrac{S}{6},$ y $P(\text{roja y con rayas}) = \tfrac{k}{6}.$ La independencia exige $\dfrac{k}{6} = \dfrac{R}{6}\cdot\dfrac{S}{6},$ es decir, $6k = RS.$

Primero contemos las asignaciones con $R\in\{0,6\}$ o $S\in\{0,6\}.$ Cada una de estas cuatro condiciones deja $2^6=64$ opciones para el otro atributo, y las cuatro asignaciones en sus intersecciones por pares se han contado dos veces. Su unión aporta entonces $4\cdot64-4=252.$

Para $1\le R,S\le5,$ la condición de que $RS$ sea divisible por $6$ deja solo $(R,S)=(2,3),(3,2)$ o $(3,4),(4,3).$ En cada caso $k=\frac{RS}{6},$ y las cuatro cantidades por tipo son una permutación de $(1,1,2,2).$ Así, cada par aporta $\dfrac{6!}{1!1!2!2!}=180$ asignaciones. El total favorable es $252+4\cdot180=972.$ De $4^6=4096$ asignaciones equiprobables, la probabilidad es $\dfrac{972}{4096}=\dfrac{243}{1024},$ por lo que $m=243.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each ball is independently one of four equally likely types: red-striped, red-dotted, blue-striped, blue-dotted. Suppose among the $6$ balls there are $k$ red-striped, with $R$ red and $S$ striped in total. For Frida’s uniform pick, $P(\text{red}) = \tfrac{R}{6},$ $P(\text{striped}) = \tfrac{S}{6},$ and $P(\text{red and striped}) = \tfrac{k}{6}.$ Independence means $\dfrac{k}{6} = \dfrac{R}{6}\cdot\dfrac{S}{6},$ i.e. $6k = RS.$

First count assignments with $R\in\{0,6\}$ or $S\in\{0,6\}.$ Each of these four conditions leaves $2^6=64$ choices for the other attribute, and the four assignments at their pairwise intersections have been counted twice. Their union therefore contributes $4\cdot64-4=252.$

For $1\le R,S\le5,$ the condition that $RS$ be divisible by $6$ leaves only $(R,S)=(2,3),(3,2)$ or $(3,4),(4,3).$ In each case $k=\frac{RS}{6},$ and the four type counts are a permutation of $(1,1,2,2).$ Thus each pair contributes $\dfrac{6!}{1!1!2!2!}=180$ assignments. The favorable count is therefore $252+4\cdot180=972.$ Out of $4^6=4096$ equally likely assignments, the probability is $\dfrac{972}{4096}=\dfrac{243}{1024},$ so $m=243.$

Thus, the correct answer is A.

2024 AMC 12B Problema 25

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años