Question

Pablo decorará cada una de $6$ bolas blancas idénticas con un patrón de rayas o de puntos, usando pintura roja o azul. Decidirá el color y el patrón de cada bola lanzando una moneda justa para cada una de las $12$ decisiones que debe tomar. Después de que la pintura se seque, colocará las $6$ bolas en una urna. Frida seleccionará al azar una bola de la urna y anotará su color y patrón. Los eventos “la bola que Frida selecciona es roja” y “la bola que Frida selecciona es de rayas” pueden ser o no independientes, según el resultado de los lanzamientos de moneda de Pablo. La probabilidad de que estos dos eventos sean independientes puede escribirse como $\dfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m$ ? (Recuerda que dos eventos $A$ y $B$ son independientes si $P(A \text{ and } B) = P(A)\cdot P(B).$ )

Pablo will decorate each of $6$ identical white balls with either a striped or a dotted pattern, using either red or blue paint. He will decide on the color and pattern for each ball by flipping a fair coin for each of the $12$ decisions he must make. After the paint dries, he will place the $6$ balls in an urn. Frida will randomly select one ball from the urn and note its color and pattern. The events "the ball Frida selects is red" and "the ball Frida selects is striped" may or may not be independent, depending on the outcome of Pablo's coin flips. The probability that these two events are independent can be written as $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m?$ (Recall that two events $A$ and $B$ are independent if $P(A \text{ and } B) = P(A)\cdot P(B).$ )

$243$

$245$

$247$

$249$

$251$

Solución:

Cada bola es independientemente uno de cuatro tipos igualmente probables: roja-rayas, roja-puntos, azul-rayas, azul-puntos. Supón que entre las $6$ bolas hay $k$ rojas-rayas, con $R$ rojas y $S$ de rayas en total. Para la elección uniforme de Frida, $P(\text{red}) = \tfrac{R}{6},$ $P(\text{striped}) = \tfrac{S}{6},$ y $P(\text{red and striped}) = \tfrac{k}{6}.$ La independencia significa $\dfrac{k}{6} = \dfrac{R}{6}\cdot\dfrac{S}{6},$ es decir $6k = RS.$

Sumando los conteos multinomiales de todas las asignaciones de tipos de las $6$ bolas que cumplen $6k = RS$ se obtienen $972$ resultados favorables de $4^6 = 4096.$ La probabilidad es $\dfrac{972}{4096} = \dfrac{243}{1024},$ así que $m = 243.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each ball is independently one of four equally likely types: red-striped, red-dotted, blue-striped, blue-dotted. Suppose among the $6$ balls there are $k$ red-striped, with $R$ red and $S$ striped in total. For Frida's uniform pick, $P(\text{red}) = \tfrac{R}{6},$ $P(\text{striped}) = \tfrac{S}{6},$ and $P(\text{red and striped}) = \tfrac{k}{6}.$ Independence means $\dfrac{k}{6} = \dfrac{R}{6}\cdot\dfrac{S}{6},$ i.e. $6k = RS.$

Summing the multinomial counts of all type-assignments of the $6$ balls satisfying $6k = RS$ gives $972$ favorable outcomes out of $4^6 = 4096.$ The probability is $\dfrac{972}{4096} = \dfrac{243}{1024},$ so $m = 243.$

Thus, the correct answer is A.

2024 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años