Question

Sea $S$ el conjunto de puntos de red del plano coordenado cuyas dos coordenadas son enteros entre $1$ y $30,$ inclusive. Exactamente $300$ puntos de $S$ están sobre o debajo de una recta de ecuación $y=mx.$ Los posibles valores de $m$ están en un intervalo de longitud $\dfrac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

Let $S$ be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between $1$ and $30,$ inclusive. Exactly $300$ points in $S$ lie on or below a line with equation $y=mx.$ The possible values of $m$ lie in an interval of length $\dfrac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$

$31$

$47$

$62$

$72$

$85$

Respuesta: E

Conceptos:punto reticular funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Para un $m$ dado, la columna $x$ aporta $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ puntos sobre o debajo de la recta

For a given $m,$ column $x$ contributes $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ points at or below the line

Pista grande:

A medida que $m$ crece, la cuenta salta en las pendientes $\tfrac{y}{x};$ halla las dos pendientes consecutivas de ese tipo que acotan una cuenta de $300$

As $m$ increases, the count jumps at slopes $\tfrac{y}{x};$ find the two consecutive such slopes bracketing a count of $300$

Solución:

Para la pendiente $m,$ la columna $x$ (con $1\le x\le 30$ ) aporta $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ puntos sobre o debajo de $y=mx,$ y necesitamos que el total sea igual a $300.$

Para $m=\tfrac23,$ el tope de $30$ no interviene y $\sum_{x=1}^{30}\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=300.$ La cuenta permanece constante hasta la siguiente pendiente mayor $\frac{y}{x}$ con $x\le30.$

Si $\frac{y}{x}>\frac{2}{3},$ entonces $3y-2x$ es un entero positivo. La posibilidad más cercana satisface $3y-2x=1;$ al maximizar $x\le30$ en esta congruencia se obtiene $(y,x)=(19,28).$ Un entero de al menos $2$ produce una separación mayor. Por tanto, el intervalo es $[\tfrac23,\tfrac{19}{28}),$ cuya longitud es $\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}.$

Como $\gcd(1,84)=1,$ $a+b=1+84=85.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For slope $m,$ column $x$ (with $1\le x\le 30$ ) contributes $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ points on or below $y=mx,$ and we need the total to equal $300.$

At $m=\tfrac23,$ the cap at $30$ is inactive and $\sum_{x=1}^{30}\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=300.$ The count remains fixed until the next larger slope $\frac{y}{x}$ with $x\le30.$

If $\frac{y}{x}>\frac{2}{3},$ then $3y-2x$ is a positive integer. The closest possibility has $3y-2x=1;$ maximizing $x\le30$ in this congruence gives $(y,x)=(19,28).$ Any numerator at least $2$ gives a larger gap. Hence the interval is $[\tfrac23,\tfrac{19}{28}),$ whose length is $\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}.$

Since $\gcd(1,84)=1,$ $a+b=1+84=85.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12B Spring Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años