Question

Sea $S$ el conjunto de puntos de red del plano coordenado cuyas dos coordenadas son enteros entre $1$ y $30,$ inclusive. Exactamente $300$ puntos de $S$ están sobre o debajo de una recta de ecuación $y=mx.$ Los posibles valores de $m$ están en un intervalo de longitud $\dfrac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

Let $S$ be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between $1$ and $30,$ inclusive. Exactly $300$ points in $S$ lie on or below a line with equation $y=mx.$ The possible values of $m$ lie in an interval of length $\dfrac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$

$31$

$47$

$62$

$72$

$85$

Solución:

Para la pendiente $m,$ la columna $x$ (con $1\le x\le 30$ ) aporta $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ puntos sobre o debajo de $y=mx,$ y necesitamos que el total sea igual a $300.$

La cuenta es una función escalonada de $m$ que salta en las fracciones $\tfrac{y}{x}.$ Recorriendo estos puntos de quiebre, la cuenta es igual a $300$ para $m$ en un único intervalo cuyos extremos son pendientes consecutivas de ese tipo.

Ese intervalo va desde $m=\dfrac{2}{3}$ hasta $m=\dfrac{19}{28},$ de longitud $\dfrac{19}{28}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{57-56}{84}=\dfrac{1}{84}.$

Como $\gcd(1,84)=1,$ $a+b=1+84=85.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For slope $m,$ column $x$ (with $1\le x\le 30$ ) contributes $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ points on or below $y=mx,$ and we need the total to equal $300.$

The count is a step function of $m$ that jumps at fractions $\tfrac{y}{x}.$ Sweeping through these breakpoints, the count equals $300$ for $m$ in a single interval whose endpoints are consecutive such slopes.

That interval runs from $m=\dfrac{2}{3}$ up to $m=\dfrac{19}{28},$ of length $\dfrac{19}{28}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{57-56}{84}=\dfrac{1}{84}.$

Since $\gcd(1,84)=1,$ $a+b=1+84=85.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12B Spring Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años