Question

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB \parallel CD,$ $AB = 11,$ $BC = 5,$ $CD = 19,$ y $DA = 7.$ Las bisectrices de $\angle A$ y $\angle D$ se cortan en $P,$ y las bisectrices de $\angle B$ y $\angle C$ se cortan en $Q.$ ¿Cuál es el área del hexágono $ABQCDP$ ?

Let $ABCD$ be a trapezoid with $AB \parallel CD,$ $AB = 11,$ $BC = 5,$ $CD = 19,$ and $DA = 7.$ Bisectors of $\angle A$ and $\angle D$ meet at $P,$ and bisectors of $\angle B$ and $\angle C$ meet at $Q.$ What is the area of hexagon $ABQCDP?$

$28\sqrt{3}$

$30\sqrt{3}$

$32\sqrt{3}$

$35\sqrt{3}$

$36\sqrt{3}$

Solución:

Como $AB \parallel CD,$ $\angle A + \angle D = 180^\circ,$ así que las bisectrices de $\angle A$ y $\angle D$ se cortan en ángulo recto, $\angle APD = 90^\circ.$ Entonces el punto medio $M$ de $\overline{AD}$ es el circuncentro del triángulo rectángulo $APD,$ lo que da $MP = MA = MD$ y $MP \parallel AB.$ Lo mismo vale para el punto medio $N$ de $\overline{BC}$ con $Q,$ así que $M, P, Q, N$ son colineales sobre la línea media.

La línea media tiene longitud $\tfrac{AB + CD}{2} = 15,$ mientras que $MP = \tfrac{AD}{2} = \tfrac72$ y $QN = \tfrac{BC}{2} = \tfrac52.$ Por lo tanto $PQ = 15 - \tfrac72 - \tfrac52 = 9.$

Trazar $AE \parallel BC$ con $E$ en $\overline{CD}$ da $AE = 5$ y $DE = CD - AB = 8.$ En $\triangle ADE,$ $\cos(\angle AED) = \tfrac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \tfrac12,$ así que $\angle AED = 60^\circ$ y la altura del trapecio es $AF = 5\sin 60^\circ = \tfrac{5\sqrt3}{2}.$

El segmento $PQ$ está a la mitad de la altura, así que el hexágono se divide en dos trapecios y $\begin{aligned} &[ABQCDP] \\ &= \frac{AF}{4}\bigl(AB + CD + 2\,PQ\bigr) \\ &= \frac{5\sqrt3/2}{4}(11 + 19 + 18) \\ &= 30\sqrt3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $AB \parallel CD,$ $\angle A + \angle D = 180^\circ,$ so the bisectors of $\angle A$ and $\angle D$ meet at right angles, $\angle APD = 90^\circ.$ Then the midpoint $M$ of $\overline{AD}$ is the circumcenter of right triangle $APD,$ giving $MP = MA = MD$ and $MP \parallel AB.$ The same holds for the midpoint $N$ of $\overline{BC}$ with $Q,$ so $M, P, Q, N$ are collinear on the midline.

The midline has length $\tfrac{AB + CD}{2} = 15,$ while $MP = \tfrac{AD}{2} = \tfrac72$ and $QN = \tfrac{BC}{2} = \tfrac52.$ Hence $PQ = 15 - \tfrac72 - \tfrac52 = 9.$

Drawing $AE \parallel BC$ with $E$ on $\overline{CD}$ gives $AE = 5$ and $DE = CD - AB = 8.$ In $\triangle ADE,$ $\cos(\angle AED) = \tfrac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \tfrac12,$ so $\angle AED = 60^\circ$ and the trapezoid's height is $AF = 5\sin 60^\circ = \tfrac{5\sqrt3}{2}.$

The segment $PQ$ sits at half the height, so the hexagon splits into two trapezoids and $\begin{aligned} &[ABQCDP] \\ &= \frac{AF}{4}\bigl(AB + CD + 2\,PQ\bigr) \\ &= \frac{5\sqrt3/2}{4}(11 + 19 + 18) \\ &= 30\sqrt3. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años