Soluciones del 2008 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Un jugador de baloncesto encestó $5$ canastas durante un partido. Cada canasta valía $2$ o $3$ puntos. ¿Cuántos números diferentes podrían representar el total de puntos anotados por el jugador?

A basketball player made $5$ baskets during a game. Each basket was worth either $2$ or $3$ points. How many different numbers could represent the total points scored by the player?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

El total es mínimo con todas las canastas de $2$ puntos y máximo con todas las de $3$ puntos.

The total is smallest with all $2$ -point baskets and largest with all $3$ -point baskets

Pista grande:

Todo entero entre $5 \cdot 2$ y $5 \cdot 3$ es alcanzable.

Every integer between $5 \cdot 2$ and $5 \cdot 3$ is attainable

Solución:

El total va desde $5 \cdot 2 = 10$ (todas de dos puntos) hasta $5 \cdot 3 = 15$ (todas de tres puntos). Cambiar una canasta de dos puntos por una de tres aumenta el total exactamente en $1,$ así que todo entero intermedio aparece.

Los totales posibles son $10, 11, 12, 13, 14, 15,$ que son $6$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The total ranges from $5 \cdot 2 = 10$ (all two-pointers) to $5 \cdot 3 = 15$ (all three-pointers). Swapping one two-pointer for a three-pointer raises the total by exactly $1,$ so every integer in between occurs.

The possible totals are $10, 11, 12, 13, 14, 15,$ which is $6$ values.

Thus, the correct answer is E.

2.

Se muestra un bloque $4 \times 4$ de fechas de calendario. Se invertirá el orden de los números de la segunda fila. Luego se invertirá el orden de los números de la cuarta fila. Finalmente, se sumarán los números de cada diagonal. ¿Cuál será la diferencia positiva entre las dos sumas diagonales?

A $4 \times 4$ block of calendar dates is shown. The order of the numbers in the second row is to be reversed. Then the order of the numbers in the fourth row is to be reversed. Finally, the numbers on each diagonal are to be added. What will be the positive difference between the two diagonal sums?

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

Conceptos:sucesión aritmética reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Tras invertir las filas $2$ y $4,$ las filas quedan $1\,2\,3\,4,$ $11\,10\,9\,8,$ $15\,16\,17\,18,$ $25\,24\,23\,22$ .

After reversing rows $2$ and $4,$ the rows become $1\,2\,3\,4,$ $11\,10\,9\,8,$ $15\,16\,17\,18,$ $25\,24\,23\,22$

Pista grande:

Una diagonal es $1, 10, 17, 22$ y la otra es $4, 9, 16, 25$ .

One diagonal reads $1, 10, 17, 22$ and the other reads $4, 9, 16, 25$

Solución:

Al invertir la segunda y la cuarta filas, el arreglo tiene las filas $1\,2\,3\,4,$ $11\,10\,9\,8,$ $15\,16\,17\,18,$ y $25\,24\,23\,22.$

La diagonal principal suma $1 + 10 + 17 + 22 = 50,$ y la otra diagonal suma $4 + 9 + 16 + 25 = 54.$

La diferencia positiva es $54 - 50 = 4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Reversing the second and fourth rows gives the array with rows $1\,2\,3\,4,$ $11\,10\,9\,8,$ $15\,16\,17\,18,$ and $25\,24\,23\,22.$

The main diagonal sums to $1 + 10 + 17 + 22 = 50,$ and the other diagonal sums to $4 + 9 + 16 + 25 = 54.$

The positive difference is $54 - 50 = 4.$

Thus, the correct answer is B.

3.

Una liga de béisbol semiprofesional tiene equipos con $21$ jugadores cada uno. Las reglas de la liga establecen que a un jugador se le debe pagar al menos $\$15{,}000,$ y que el total de los salarios de todos los jugadores de cada equipo no puede exceder $\$700{,}000.$ ¿Cuál es el máximo salario posible, en dólares, para un solo jugador?

A semipro baseball league has teams with $21$ players each. League rules state that a player must be paid at least $\$15{,}000,$ and that the total of all players’ salaries for each team cannot exceed $\$700{,}000.$ What is the maximum possible salary, in dollars, for a single player?

$270{,}000$

$385{,}000$

$400{,}000$

$430{,}000$

$700{,}000$

Conceptos:optimización argumento extremal

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Para que un salario sea lo más grande posible, se paga a los otros $20$ jugadores el mínimo permitido.

To make one salary as large as possible, pay the other $20$ players the minimum allowed

Pista grande:

El máximo es $\$700{,}000$ menos el total de $20$ salarios mínimos.

The maximum is $\$700{,}000$ minus the total of $20$ minimum salaries

Solución:

Un jugador gana lo máximo cuando los otros $20$ jugadores reciben cada uno el salario mínimo de $\$15{,}000.$

Así, el salario máximo es $\$700{,}000$ $- 20 \cdot \$15{,}000$ $= \$700{,}000$ $- \$300{,}000$ $= \$400{,}000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

One player earns the most when the other $20$ players each receive the minimum salary of $\$15{,}000.$

Thus the maximum salary is $\$700{,}000$ $- 20 \cdot \$15{,}000$ $= \$700{,}000$ $- \$300{,}000$ $= \$400{,}000.$

Thus, the correct answer is C.

4.

En el círculo $O,$ los puntos $C$ y $D$ están en el mismo lado del diámetro $\overline{AB},$ $\angle AOC = 30^\circ,$ y $\angle DOB = 45^\circ.$ ¿Cuál es la razón entre el área del sector menor $COD$ y el área del círculo?

On circle $O,$ points $C$ and $D$ are on the same side of diameter $\overline{AB},$ $\angle AOC = 30^\circ,$ and $\angle DOB = 45^\circ.$ What is the ratio of the area of the smaller sector $COD$ to the area of the circle?

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{18}$

$\dfrac{7}{24}$

$\dfrac{3}{10}$

Conceptos:sector circular suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

$\angle AOC,$ $\angle COD,$ y $\angle DOB$ juntos forman el ángulo llano sobre $\overline{AB}$ .

$\angle AOC,$ $\angle COD,$ and $\angle DOB$ together make the straight angle $\overline{AB}$

Pista grande:

La fracción del círculo que ocupa un sector es su ángulo central dividido entre $360^\circ$ .

A sector’s fraction of the circle is its central angle divided by $360^\circ$

Solución:

Como $\angle AOC,$ $\angle COD,$ y $\angle DOB$ llenan el ángulo llano sobre el diámetro $\overline{AB},$ $\begin{aligned} \angle COD &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ. \end{aligned}$

La parte del círculo que ocupa el sector es $\dfrac{105^\circ}{360^\circ} = \dfrac{7}{24}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $\angle AOC,$ $\angle COD,$ and $\angle DOB$ fill the straight angle over diameter $\overline{AB},$ $\begin{aligned} \angle COD &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ. \end{aligned}$

The sector’s share of the circle is $\dfrac{105^\circ}{360^\circ} = \dfrac{7}{24}.$

Thus, the correct answer is D.

5.

Una clase reúne $\$50$ para comprar flores a un compañero que está en el hospital. Las rosas cuestan $\$3$ cada una y los claveles cuestan $\$2$ cada uno. No se usarán otras flores. ¿Cuántos ramos diferentes se podrían comprar por exactamente $\$50$ ?

A class collects $\$50$ to buy flowers for a classmate who is in the hospital. Roses cost $\$3$ each, and carnations cost $\$2$ each. No other flowers are to be used. How many different bouquets could be purchased for exactly $\$50?$

$1$

$7$

$9$

$16$

$17$

Conceptos:Ecuación diofántica paridad

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Si hay $r$ rosas y $c$ claveles, entonces $3r + 2c = 50$ .

If there are $r$ roses and $c$ carnations, then $3r + 2c = 50$

Pista grande:

Como $2c$ y $50$ son pares, $3r$ es par, así que $r$ debe ser par; halla cuántos $r$ pares funcionan.

Since $2c$ and $50$ are even, $3r$ is even, so $r$ must be even; find how many even $r$ work

Solución:

Sea $r$ el número de rosas y $c$ el número de claveles, de modo que $3r + 2c = 50$ con $r, c \ge 0.$

Como $2c$ y $50$ son pares, $3r$ debe ser par, lo que obliga a que $r$ sea par. El mayor $r$ posible es $16$ (ya que $3 \cdot 17 \gt 50$ ), así que $r \in \{0, 2, 4, \ldots, 16\}.$

Eso da $9$ valores de $r,$ cada uno determinando un ramo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $r$ be the number of roses and $c$ the number of carnations, so $3r + 2c = 50$ with $r, c \ge 0.$

Because $2c$ and $50$ are even, $3r$ must be even, forcing $r$ to be even. The largest possible $r$ is $16$ (since $3 \cdot 17 \gt 50$ ), so $r \in \{0, 2, 4, \ldots, 16\}.$

That gives $9$ values of $r,$ each determining a bouquet.

Thus, the correct answer is C.

6.

El cartero Pete tiene un podómetro para contar sus pasos. El podómetro registra hasta $99999$ pasos, luego se reinicia a $00000$ en el siguiente paso. Pete planea determinar su kilometraje del año. El $1$ de enero Pete pone el podómetro en $00000.$ Durante el año, el podómetro pasa de $99999$ a $00000$ cuarenta y cuatro veces. El $31$ de diciembre el podómetro marca $50000.$ Pete da $1800$ pasos por milla. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana al número de millas que Pete caminó durante el año?

Postman Pete has a pedometer to count his steps. The pedometer records up to $99999$ steps, then flips over to $00000$ on the next step. Pete plans to determine his mileage for a year. On January $1$ Pete sets the pedometer to $00000.$ During the year, the pedometer flips from $99999$ to $00000$ forty-four times. On December $31$ the pedometer reads $50000.$ Pete takes $1800$ steps per mile. Which of the following is closest to the number of miles Pete walked during the year?

$2500$

$3000$

$3500$

$4000$

$4500$

Conceptos:valor posicional estimación conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Cada vuelta del podómetro representa $100000$ pasos; suma la lectura final de $50000$ .

Each flip of the pedometer represents $100000$ steps; add the final reading of $50000$

Pista grande:

Divide el número total de pasos entre $1800$ para convertir a millas.

Divide the total number of steps by $1800$ to convert to miles

Solución:

Cada vuelta cuenta $100000$ pasos, así que el total de pasos del año es $\begin{aligned} &44 \cdot 100000 \\ &\quad {}+ 50000 = 4{,}450{,}000. \end{aligned}$

A $1800$ pasos por milla, el kilometraje es $\dfrac{4{,}450{,}000}{1800} \approx 2472,$ que es lo más cercano a $2500.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each flip counts $100000$ steps, so the year’s steps total $\begin{aligned} &44 \cdot 100000 \\ &\quad {}+ 50000 = 4{,}450{,}000. \end{aligned}$

At $1800$ steps per mile, the mileage is $\dfrac{4{,}450{,}000}{1800} \approx 2472,$ which is closest to $2500.$

Thus, the correct answer is A.

7.

Para números reales $a$ y $b,$ se define $a \$ b = (a - b)^2.$ ¿Cuánto vale $(x - y)^2 \$ (y - x)^2$ ?

For real numbers $a$ and $b,$ define $a \$ b = (a - b)^2.$ What is $(x - y)^2 \$ (y - x)^2?$

$0$

$x^2 + y^2$

$2x^2$

$2y^2$

$4xy$

Conceptos:operación personalizada simetría

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Observa que $(y - x)^2 = (x - y)^2$ .

Note that $(y - x)^2 = (x - y)^2$

Pista grande:

Entonces la expresión es $t \$ t$ con $t = (x - y)^2,$ y $t \$ t = (t - t)^2$ .

So the expression is $t \$ t$ with $t = (x - y)^2,$ and $t \$ t = (t - t)^2$

Solución:

Como $(y - x)^2 = (x - y)^2,$ ambas entradas de la operación son el mismo valor $t = (x - y)^2.$

Por lo tanto $(x - y)^2 \$ (y - x)^2$ $= t \$ t$ $= (t - t)^2 = 0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $(y - x)^2 = (x - y)^2,$ both inputs to the operation are the same value $t = (x - y)^2.$

Therefore $(x - y)^2 \$ (y - x)^2$ $= t \$ t$ $= (t - t)^2 = 0.$

Thus, the correct answer is A.

8.

Los puntos $B$ y $C$ están sobre $\overline{AD}.$ La longitud de $\overline{AB}$ es $4$ veces la longitud de $\overline{BD},$ y la longitud de $\overline{AC}$ es $9$ veces la longitud de $\overline{CD}.$ ¿La longitud de $\overline{BC}$ es qué fracción de la longitud de $\overline{AD}$ ?

Points $B$ and $C$ lie on $\overline{AD}.$ The length of $\overline{AB}$ is $4$ times the length of $\overline{BD},$ and the length of $\overline{AC}$ is $9$ times the length of $\overline{CD}.$ The length of $\overline{BC}$ is what fraction of the length of $\overline{AD}?$

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{13}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{5}{36}$

$\dfrac{1}{5}$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

De $AB = 4\,BD$ y $AB + BD = AD,$ se obtiene $BD = \tfrac{1}{5}AD$ .

From $AB = 4\,BD$ and $AB + BD = AD,$ get $BD = \tfrac{1}{5}AD$

Pista grande:

De forma similar $CD = \tfrac{1}{10}AD,$ y $BC = BD - CD$ .

Similarly $CD = \tfrac{1}{10}AD,$ and $BC = BD - CD$

Solución:

Como $AB = 4\,BD$ y $AB + BD = AD,$ tenemos $5\,BD = AD,$ así que $BD = \tfrac{1}{5}AD.$

Del mismo modo $AC = 9\,CD$ con $AC + CD = AD$ da $CD = \tfrac{1}{10}AD.$

Como $B$ y $C$ se miden ambos desde $A,$ $\;BC = BD - CD$ $= \tfrac{1}{5}AD - \tfrac{1}{10}AD$ $= \tfrac{1}{10}AD.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $AB = 4\,BD$ and $AB + BD = AD,$ we have $5\,BD = AD,$ so $BD = \tfrac{1}{5}AD.$

Likewise $AC = 9\,CD$ with $AC + CD = AD$ gives $CD = \tfrac{1}{10}AD.$

Because $B$ and $C$ both measure from $A,$ $\;BC = BD - CD$ $= \tfrac{1}{5}AD - \tfrac{1}{10}AD$ $= \tfrac{1}{10}AD.$

Thus, the correct answer is C.

9.

Los puntos $A$ y $B$ están en un círculo de radio $5$ y $AB = 6.$ El punto $C$ es el punto medio del arco menor $AB.$ ¿Cuál es la longitud del segmento $AC$ ?

Points $A$ and $B$ are on a circle of radius $5$ and $AB = 6.$ Point $C$ is the midpoint of the minor arc $AB.$ What is the length of the line segment $AC?$

$\sqrt{10}$

$\dfrac{7}{2}$

$\sqrt{14}$

$\sqrt{15}$

$4$

Conceptos:cuerda mediatriz Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

El radio que pasa por el punto medio del arco $C$ biseca perpendicularmente la cuerda $AB,$ cortándola en $D$ con $AD = 3$ .

The radius through the arc midpoint $C$ perpendicularly bisects chord $AB,$ meeting it at $D$ with $AD = 3$

Pista grande:

Halla la distancia del centro a la cuerda $OD,$ luego $DC = 5 - OD,$ y aplica el teorema de Pitágoras al $\triangle ADC$ .

Find the center-to-chord distance $OD,$ then $DC = 5 - OD,$ and apply the Pythagorean theorem to $\triangle ADC$

Solución:

Sea $O$ el centro y $D$ el punto donde $\overline{OC}$ corta a $\overline{AB}.$ Como $C$ es el punto medio del arco $AB,$ $\overline{OC}$ es la mediatriz de la cuerda, así que $AD = 3.$

En el triángulo rectángulo $ADO,$ $OD = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4,$ así que $DC = OC - OD = 5 - 4 = 1.$

Luego en el triángulo rectángulo $ADC,$ $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2}$ $= \sqrt{3^2 + 1^2}$ $= \sqrt{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $O$ be the center and $D$ the point where $\overline{OC}$ meets $\overline{AB}.$ Since $C$ is the midpoint of arc $AB,$ $\overline{OC}$ is the perpendicular bisector of the chord, so $AD = 3.$

In right triangle $ADO,$ $OD = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4,$ so $DC = OC - OD = 5 - 4 = 1.$

Then in right triangle $ADC,$ $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2}$ $= \sqrt{3^2 + 1^2}$ $= \sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is A.

10.

La albañil Brenda tardaría $9$ horas en construir una chimenea sola, y el albañil Brandon tardaría $10$ horas en construirla solo. Cuando trabajan juntos, hablan mucho, y su producción combinada disminuye en $10$ ladrillos por hora. Trabajando juntos, construyen la chimenea en $5$ horas. ¿Cuántos ladrillos hay en la chimenea?

Bricklayer Brenda would take $9$ hours to build a chimney alone, and bricklayer Brandon would take $10$ hours to build it alone. When they work together, they talk a lot, and their combined output is decreased by $10$ bricks per hour. Working together, they build the chimney in $5$ hours. How many bricks are in the chimney?

$500$

$900$

$950$

$1000$

$1900$

Conceptos:tasa ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Si la chimenea tiene $n$ ladrillos, Brenda coloca $\tfrac{n}{9}$ por hora y Brandon coloca $\tfrac{n}{10}$ por hora.

If the chimney has $n$ bricks, Brenda lays $\tfrac{n}{9}$ per hour and Brandon lays $\tfrac{n}{10}$ per hour

Pista grande:

Juntos colocan $\tfrac{n}{9} + \tfrac{n}{10} - 10$ ladrillos por hora, y $5$ horas de esto es igual a $n$ .

Together they lay $\tfrac{n}{9} + \tfrac{n}{10} - 10$ bricks per hour, and $5$ hours of this equals $n$

Solución:

Sea $n$ el número de ladrillos. Sola, Brenda coloca $\tfrac{n}{9}$ ladrillos por hora y Brandon coloca $\tfrac{n}{10}.$ Juntos, su ritmo es $\tfrac{n}{9} + \tfrac{n}{10} - 10.$

Trabajar $5$ horas completa la chimenea: $5\left(\tfrac{n}{9} + \tfrac{n}{10} - 10\right) = n.$ Desarrollando, $\tfrac{5n}{9} + \tfrac{5n}{10} - 50 = n,$ así que $\tfrac{95n}{90} - n = 50,$ lo que da $\tfrac{5n}{90} = 50.$

Por lo tanto $n = 900.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $n$ be the number of bricks. Alone, Brenda lays $\tfrac{n}{9}$ bricks per hour and Brandon lays $\tfrac{n}{10}.$ Together, their rate is $\tfrac{n}{9} + \tfrac{n}{10} - 10.$

Working for $5$ hours completes the chimney: $5\left(\tfrac{n}{9} + \tfrac{n}{10} - 10\right) = n.$ Expanding, $\tfrac{5n}{9} + \tfrac{5n}{10} - 50 = n,$ so $\tfrac{95n}{90} - n = 50,$ giving $\tfrac{5n}{90} = 50.$

Hence $n = 900.$

Thus, the correct answer is B.

11.

Una montaña con forma de cono tiene su base en el fondo del océano y una altura de $8000$ pies. El $\tfrac{1}{8}$ superior del volumen de la montaña está sobre el agua. ¿Cuál es la profundidad del océano en la base de la montaña, en pies?

A cone-shaped mountain has its base on the ocean floor and has a height of $8000$ feet. The top $\tfrac{1}{8}$ of the volume of the mountain is above water. What is the depth of the ocean at the base of the mountain, in feet?

$4000$

$2000(4 - \sqrt{2})$

$6000$

$6400$

$7000$

Conceptos:cono semejanza escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

La parte sobre el agua es un cono más pequeño semejante a toda la montaña.

The above-water part is a smaller cone similar to the whole mountain

Pista grande:

La razón de volúmenes $\tfrac{1}{8}$ es el cubo de la razón de alturas; la profundidad es la altura total menos la altura del cono sobre el agua.

The volume ratio $\tfrac{1}{8}$ is the cube of the height ratio; the depth is the total height minus the above-water cone’s height

Solución:

La parte sobre el agua es un cono semejante a toda la montaña, con volumen $\tfrac{1}{8}$ del total. Como el volumen escala como el cubo de la longitud, la altura del cono sobre el agua es $\sqrt[3]{\tfrac{1}{8}} = \tfrac{1}{2}$ de la altura completa.

Así que la altura sobre el agua es $8000 \cdot \tfrac{1}{2} = 4000$ pies.

La profundidad del océano en la base es la altura sumergida, $8000 - 4000 = 4000$ pies.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The part above the water is a cone similar to the whole mountain, with volume $\tfrac{1}{8}$ of the total. Since volume scales as the cube of length, the above-water cone’s height is $\sqrt[3]{\tfrac{1}{8}} = \tfrac{1}{2}$ of the full height.

So the above-water height is $8000 \cdot \tfrac{1}{2} = 4000$ feet.

The ocean depth at the base is the submerged height, $8000 - 4000 = 4000$ feet.

Thus, the correct answer is A.

12.

Para cada entero positivo $n,$ la media de los primeros $n$ términos de una sucesión es $n.$ ¿Cuál es el término $2008$ de la sucesión?

For each positive integer $n,$ the mean of the first $n$ terms of a sequence is $n.$ What is the $2008$ th term of the sequence?

$2008$

$4015$

$4016$

$4{,}030{,}056$

$4{,}032{,}064$

Conceptos:media sumatoria

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Si la media de los primeros $n$ términos es $n,$ entonces su suma es $n^2$ .

If the mean of the first $n$ terms is $n,$ then their sum is $n^2$

Pista grande:

El término $n$ es igual a la suma de los primeros $n$ menos la suma de los primeros $n - 1$ .

The $n$ th term equals the sum of the first $n$ minus the sum of the first $n - 1$

Solución:

Como la media de los primeros $n$ términos es $n,$ su suma es $n \cdot n = n^2.$

El término $n$ es la diferencia de sumas consecutivas, $n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1.$

Para $n = 2008,$ el término es $2 \cdot 2008 - 1 = 4015.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since the mean of the first $n$ terms is $n,$ their sum is $n \cdot n = n^2.$

The $n$ th term is the difference of consecutive sums, $n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1.$

For $n = 2008,$ the term is $2 \cdot 2008 - 1 = 4015.$

Thus, the correct answer is B.

13.

El vértice $E$ del $\triangle ABE$ equilátero está en el interior del cuadrado unitario $ABCD.$ Sea $R$ la región formada por todos los puntos dentro de $ABCD$ y fuera de $\triangle ABE$ cuya distancia a $\overline{AD}$ está entre $\tfrac{1}{3}$ y $\tfrac{2}{3}.$ ¿Cuál es el área de $R$ ?

Vertex $E$ of equilateral $\triangle ABE$ is in the interior of unit square $ABCD.$ Let $R$ be the region consisting of all points inside $ABCD$ and outside $\triangle ABE$ whose distance from $\overline{AD}$ is between $\tfrac{1}{3}$ and $\tfrac{2}{3}.$ What is the area of $R?$

$\dfrac{12 - 5\sqrt{3}}{72}$

$\dfrac{12 - 5\sqrt{3}}{36}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{18}$

$\dfrac{3 - \sqrt{3}}{9}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{12}$

Conceptos:geometría analítica triángulo equilátero cálculo

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Toma $\overline{AD}$ como un lado del cuadrado; “distancia a $\overline{AD}$ entre $\tfrac13$ y $\tfrac23$ ” es una franja vertical de ancho $\tfrac13$ y área $\tfrac13$ .

Take $\overline{AD}$ as a side of the square; “distance from $\overline{AD}$ between $\tfrac13$ and $\tfrac23$ ” is a vertical strip of width $\tfrac13$ and area $\tfrac13$

Pista grande:

De esa área de la franja $\tfrac13,$ resta la parte de la franja que queda dentro del $\triangle ABE$ .

From that strip’s area $\tfrac13,$ subtract the part of the strip that lies inside $\triangle ABE$

Solución:

Coloca $A = (0,0),$ $B = (1,0),$ $C = (1,1),$ $D = (0,1),$ de modo que $\overline{AD}$ está sobre el eje $y$ y la distancia a $\overline{AD}$ es la coordenada $x$ . La región está en la franja $\tfrac13 \le x \le \tfrac23,$ que dentro del cuadrado tiene área $\tfrac13.$

El $\triangle ABE$ equilátero tiene $E = \left(\tfrac12, \tfrac{\sqrt3}{2}\right),$ con el lado $AE$ sobre $y = \sqrt3\,x$ y el lado $BE$ sobre $y = \sqrt3(1 - x).$ El área del triángulo dentro de la franja es $\begin{aligned} &\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \sqrt3\,x\,dx \\ &\quad {}+ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}} \sqrt3(1 - x)\,dx \\ &= 2\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\sqrt3\,x\,dx \\ &= \frac{5\sqrt3}{36}. \end{aligned}$

Por lo tanto $[R] = \frac13 - \frac{5\sqrt3}{36} = \frac{12 - 5\sqrt3}{36}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $A = (0,0),$ $B = (1,0),$ $C = (1,1),$ $D = (0,1),$ so $\overline{AD}$ lies along the $y$ -axis and distance from $\overline{AD}$ is the $x$ -coordinate. The region lies in the strip $\tfrac13 \le x \le \tfrac23,$ which within the square has area $\tfrac13.$

Equilateral $\triangle ABE$ has $E = \left(\tfrac12, \tfrac{\sqrt3}{2}\right),$ with side $AE$ on $y = \sqrt3\,x$ and side $BE$ on $y = \sqrt3(1 - x).$ The area of the triangle inside the strip is $\begin{aligned} &\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \sqrt3\,x\,dx \\ &\quad {}+ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}} \sqrt3(1 - x)\,dx \\ &= 2\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\sqrt3\,x\,dx \\ &= \frac{5\sqrt3}{36}. \end{aligned}$

Therefore $[R] = \frac13 - \frac{5\sqrt3}{36} = \frac{12 - 5\sqrt3}{36}.$

Thus, the correct answer is B.

14.

Un círculo tiene un radio de $\log_{10}(a^2)$ y una circunferencia de $\log_{10}(b^4).$ ¿Cuánto vale $\log_a b$ ?

A circle has a radius of $\log_{10}(a^2)$ and a circumference of $\log_{10}(b^4).$ What is $\log_a b?$

$\dfrac{1}{4\pi}$

$\dfrac{1}{\pi}$

$\pi$

$2\pi$

$10^{2\pi}$

Conceptos:logaritmo circunferencia

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

La circunferencia es igual a $2\pi$ por el radio.

Circumference equals $2\pi$ times the radius

Pista grande:

Usa $\log_{10}(a^2) = 2\log_{10} a$ y $\log_{10}(b^4) = 4\log_{10} b,$ luego forma $\dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}$ .

Use $\log_{10}(a^2) = 2\log_{10} a$ and $\log_{10}(b^4) = 4\log_{10} b,$ then form $\dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}$

Solución:

La circunferencia es $2\pi$ por el radio, así que $\log_{10}(b^4) = 2\pi \log_{10}(a^2).$

Reescribiendo, $4\log_{10} b = 4\pi \log_{10} a,$ por lo que $\log_{10} b = \pi \log_{10} a.$

Por lo tanto $\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The circumference is $2\pi$ times the radius, so $\log_{10}(b^4) = 2\pi \log_{10}(a^2).$

Rewriting, $4\log_{10} b = 4\pi \log_{10} a,$ hence $\log_{10} b = \pi \log_{10} a.$

Therefore $\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \pi.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Sobre cada lado de un cuadrado unitario se construye un triángulo equilátero de lado $1$ . Sobre cada nuevo lado de cada triángulo equilátero se construye otro triángulo equilátero de lado $1$ . Los interiores del cuadrado y de los $12$ triángulos no tienen puntos en común. Sea $R$ la región formada por la unión del cuadrado y todos los triángulos, y sea $S$ el menor polígono convexo que contiene a $R.$ ¿Cuál es el área de la región que está dentro de $S$ pero fuera de $R$ ?

On each side of a unit square, an equilateral triangle of side length $1$ is constructed. On each new side of each equilateral triangle, another equilateral triangle of side length $1$ is constructed. The interiors of the square and the $12$ triangles have no points in common. Let $R$ be the region formed by the union of the square and all the triangles, and let $S$ be the smallest convex polygon that contains $R.$ What is the area of the region that is inside $S$ but outside $R?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$1$

$\sqrt{3}$

$2\sqrt{3}$

Conceptos:área del triángulo persecución de ángulos trigonometría

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

El hueco entre $S$ y $R$ son cuatro triángulos pequeños, uno en cada esquina del cuadrado.

The gap between $S$ and $R$ is four small triangles, one at each corner of the square

Pista grande:

Cada triángulo del hueco tiene dos lados de longitud $1$ que se encuentran en un ángulo $360^\circ - 90^\circ - 4 \cdot 60^\circ;$ usa $\tfrac12 ab \sin C$ .

Each gap triangle has two sides of length $1$ meeting at angle $360^\circ - 90^\circ - 4 \cdot 60^\circ;$ use $\tfrac12 ab \sin C$

Solución:

La envolvente convexa $S$ difiere de $R$ solo cerca de las cuatro esquinas del cuadrado, donde se forma un pequeño hueco triangular. Cada triángulo del hueco tiene dos lados de longitud $1$ (los bordes exteriores de triángulos adyacentes).

El ángulo entre esos dos lados es $360^\circ - 90^\circ - 4 \cdot 60^\circ = 30^\circ,$ así que cada hueco tiene área $\tfrac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 30^\circ = \tfrac14.$

El área total es $4 \cdot \tfrac14 = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The convex hull $S$ differs from $R$ only near the four corners of the square, where a small triangular gap forms. Each gap triangle has two sides of length $1$ (outer edges of adjacent triangles).

The angle between those two sides is $360^\circ - 90^\circ - 4 \cdot 60^\circ = 30^\circ,$ so each gap has area $\tfrac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 30^\circ = \tfrac14.$

The total area is $4 \cdot \tfrac14 = 1.$

Thus, the correct answer is C.

16.

Un piso rectangular mide $a$ pies por $b$ pies, donde $a$ y $b$ son enteros positivos con $b \gt a.$ Un artista pinta un rectángulo en el piso con los lados del rectángulo paralelos a los lados del piso. La parte sin pintar del piso forma un borde de ancho $1$ pie alrededor del rectángulo pintado y ocupa la mitad del área de todo el piso. ¿Cuántas posibilidades hay para el par ordenado $(a, b)$ ?

A rectangular floor measures $a$ feet by $b$ feet, where $a$ and $b$ are positive integers with $b \gt a.$ An artist paints a rectangle on the floor with the sides of the rectangle parallel to the sides of the floor. The unpainted part of the floor forms a border of width $1$ foot around the painted rectangle and occupies half the area of the entire floor. How many possibilities are there for the ordered pair $(a, b)?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:área Truco de factorización favorito de Simon factor

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

El rectángulo pintado es $(a - 2) \times (b - 2)$ y es igual a la mitad del piso, así que $ab = 2(a - 2)(b - 2)$ .

The painted rectangle is $(a - 2) \times (b - 2)$ and equals half the floor, so $ab = 2(a - 2)(b - 2)$

Pista grande:

Reordena a $(a - 4)(b - 4) = 8$ y cuenta los pares de factores con $b \gt a \gt 0$ .

Rearrange to $(a - 4)(b - 4) = 8$ and count factor pairs with $b \gt a \gt 0$

Solución:

El rectángulo pintado mide $(a - 2)$ por $(b - 2)$ y tiene la mitad del área del piso, así que $ab = 2(a - 2)(b - 2).$

Desarrollando se obtiene $0 = ab - 4a - 4b + 8,$ y sumando $8$ resulta $(a - 4)(b - 4) = 8.$

Con $b \gt a \gt 0,$ los únicos pares de factores válidos de $8$ son $(a - 4, b - 4) = (1, 8)$ y $(2, 4),$ que dan $(a, b) = (5, 12)$ y $(6, 8).$

Hay $2$ posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The painted rectangle measures $(a - 2)$ by $(b - 2)$ and has half the area of the floor, so $ab = 2(a - 2)(b - 2).$

Expanding gives $0 = ab - 4a - 4b + 8,$ and adding $8$ yields $(a - 4)(b - 4) = 8.$

With $b \gt a \gt 0,$ the only valid factor pairs of $8$ are $(a - 4, b - 4) = (1, 8)$ and $(2, 4),$ giving $(a, b) = (5, 12)$ and $(6, 8).$

There are $2$ possibilities.

Thus, the correct answer is B.

17.

Sean $A,$ $B$ y $C$ tres puntos distintos en la gráfica de $y = x^2$ tales que la recta $AB$ es paralela al eje $x$ y $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo de área $2008.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de la coordenada $y$ de $C$ ?

Let $A,$ $B$ and $C$ be three distinct points on the graph of $y = x^2$ such that line $AB$ is parallel to the $x$ -axis and $\triangle ABC$ is a right triangle with area $2008.$ What is the sum of the digits of the $y$ -coordinate of $C?$

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:parábola pendiente área del triángulo dígitos

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Escribe $A = (a, a^2)$ y $B = (-a, a^2);$ como $A, B, C$ tienen coordenadas $x$ distintas, el ángulo recto está en $C$ .

Write $A = (a, a^2)$ and $B = (-a, a^2);$ since $A, B, C$ have distinct $x$ -coordinates, the right angle is at $C$

Pista grande:

Los catetos perpendiculares $CA$ y $CB$ obligan a $a^2 - c^2 = 1,$ la altura sobre $\overline{AB};$ obtén $|a|$ del área, luego $c^2$ .

Perpendicular legs $CA$ and $CB$ force $a^2 - c^2 = 1,$ the height above $\overline{AB};$ get $|a|$ from the area, then $c^2$

Solución:

Como $AB$ es horizontal, tomemos $A = (a, a^2)$ y $B = (-a, a^2),$ y sea $C = (c, c^2).$ El ángulo recto no puede estar en $A$ ni en $B$ (eso exigiría $c = \pm a$ ), así que está en $C.$

Sea $d = a^2-c^2.$ El producto punto de $\overrightarrow{CA}$ y $\overrightarrow{CB}$ da $d(d-1)=0.$ Los puntos son distintos, así que $d \ne 0;$ por tanto, $a^2-c^2=1.$ Este valor es la altura del triángulo sobre $\overline{AB}.$

El área es $\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{altura}$ $= \tfrac12 (2|a|)(1)$ $= |a| = 2008,$ así que $a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064$ y la coordenada $y$ de $C$ es $c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.$

Su suma de dígitos es $4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $AB$ is horizontal, take $A = (a, a^2)$ and $B = (-a, a^2),$ and let $C = (c, c^2).$ The right angle cannot be at $A$ or $B$ (that would need $c = \pm a$ ), so it is at $C.$

Put $d = a^2-c^2.$ Taking the dot product of $\overrightarrow{CA}$ and $\overrightarrow{CB}$ gives $d(d-1)=0.$ The points are distinct, so $d \ne 0;$ hence $a^2-c^2=1.$ This value is the height of the triangle above $\overline{AB}.$

The area is $\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{height}$ $= \tfrac12 (2|a|)(1)$ $= |a| = 2008,$ so $a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064$ and the $y$ -coordinate of $C$ is $c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.$

Its digit sum is $4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.$

Thus, the correct answer is C.

18.

Una pirámide tiene una base cuadrada $ABCD$ y vértice $E.$ El área del cuadrado $ABCD$ es $196,$ y las áreas de $\triangle ABE$ y $\triangle CDE$ son $105$ y $91,$ respectivamente. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?

A pyramid has a square base $ABCD$ and vertex $E.$ The area of square $ABCD$ is $196,$ and the areas of $\triangle ABE$ and $\triangle CDE$ are $105$ and $91,$ respectively. What is the volume of the pyramid?

$392$

$196\sqrt{6}$

$392\sqrt{2}$

$392\sqrt{3}$

$784$

Conceptos:pirámide volumen Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

La base tiene lado $14;$ las áreas dadas de los triángulos dan las distancias oblicuas $EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14}$ y $EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14}$ a los lados $AB$ y $CD$ .

The base has side $14;$ the given triangle areas give slant distances $EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14}$ and $EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14}$ to sides $AB$ and $CD$

Pista grande:

El triángulo $EFG$ tiene lados $15, 13, 14$ y es perpendicular a la base; su altura hacia $FG = 14$ es la altura de la pirámide.

Triangle $EFG$ has sides $15, 13, 14$ and stands perpendicular to the base; its altitude to $FG = 14$ is the pyramid’s height

Solución:

El cuadrado tiene lado $\sqrt{196} = 14.$ Sean $F$ y $G$ los pies de las perpendiculares desde $E$ a $AB$ y $CD.$ Entonces $FG = 14,$ $EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14} = 15,$ y $EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14} = 13.$

El triángulo $EFG$ está en un plano perpendicular a la base, así que su altura hacia $FG$ es la altura de la pirámide. Por la fórmula de Herón con $s = 21,$ su área es $\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = 84,$ así que la altura hacia $FG$ es $\tfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.$

El volumen es $\tfrac13 \cdot 196 \cdot 12 = 784.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The square has side $\sqrt{196} = 14.$ Let $F$ and $G$ be the feet of the perpendiculars from $E$ to $AB$ and $CD.$ Then $FG = 14,$ $EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14} = 15,$ and $EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14} = 13.$

Triangle $EFG$ lies in a plane perpendicular to the base, so its altitude to $FG$ is the pyramid’s height. By Heron’s formula with $s = 21,$ its area is $\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = 84,$ so the altitude to $FG$ is $\tfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.$

The volume is $\tfrac13 \cdot 196 \cdot 12 = 784.$

Thus, the correct answer is E.

19.

Una función $f$ se define por $f(z) = (4 + i)z^2 + \alpha z + \gamma$ para todos los números complejos $z,$ donde $\alpha$ y $\gamma$ son números complejos e $i^2 = -1.$ Supón que $f(1)$ y $f(i)$ son ambos reales. ¿Cuál es el menor valor posible de $|\alpha| + |\gamma|$ ?

A function $f$ is defined by $f(z) = (4 + i)z^2 + \alpha z + \gamma$ for all complex numbers $z,$ where $\alpha$ and $\gamma$ are complex numbers and $i^2 = -1.$ Suppose that $f(1)$ and $f(i)$ are both real. What is the smallest possible value of $|\alpha| + |\gamma|?$

$1$

$\sqrt{2}$

$2$

$2\sqrt{2}$

$4$

Conceptos:número complejo optimización

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Escribe $\alpha = a + bi$ y $\gamma = c + di;$ exigir que $f(1)$ y $f(i)$ sean reales da dos condiciones lineales.

Write $\alpha = a + bi$ and $\gamma = c + di;$ requiring $f(1)$ and $f(i)$ to be real gives two linear conditions

Pista grande:

Obligan a $a = 1 - d$ y $b = -1 - d,$ así que $|\alpha| + |\gamma|$ $= \sqrt{2 + 2d^2} + \sqrt{c^2 + d^2};$ minimiza sobre $c, d$ .

They force $a = 1 - d$ and $b = -1 - d,$ so $|\alpha| + |\gamma|$ $= \sqrt{2 + 2d^2} + \sqrt{c^2 + d^2};$ minimize over $c, d$

Solución:

Sea $\alpha = a + bi$ y $\gamma = c + di.$ Entonces $f(1) = (4 + a + c)$ $+ (1 + b + d)i$ y $f(i) = (-4 - b + c)$ $+ (-1 + a + d)i.$

Que ambos sean reales obliga a $1 + b + d = 0$ y $-1 + a + d = 0,$ es decir $a = 1 - d$ y $b = -1 - d.$

Por lo tanto $\begin{aligned} &|\alpha| + |\gamma| \\ &= \sqrt{(1 - d)^2 + (1 + d)^2} \\ &\quad {}+ \sqrt{c^2 + d^2} \\ &= \sqrt{2 + 2d^2} \\ &\quad {}+ \sqrt{c^2 + d^2}, \end{aligned}$ que es mínimo cuando $c = d = 0,$ dando $\sqrt{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $\alpha = a + bi$ and $\gamma = c + di.$ Then $f(1) = (4 + a + c)$ $+ (1 + b + d)i$ and $f(i) = (-4 - b + c)$ $+ (-1 + a + d)i.$

Both being real forces $1 + b + d = 0$ and $-1 + a + d = 0,$ i.e. $a = 1 - d$ and $b = -1 - d.$

Hence $\begin{aligned} &|\alpha| + |\gamma| \\ &= \sqrt{(1 - d)^2 + (1 + d)^2} \\ &\quad {}+ \sqrt{c^2 + d^2} \\ &= \sqrt{2 + 2d^2} \\ &\quad {}+ \sqrt{c^2 + d^2}, \end{aligned}$ which is smallest when $c = d = 0,$ giving $\sqrt{2}.$

Thus, the correct answer is B.

20.

Michael camina a una velocidad de $5$ pies por segundo en un camino recto y largo. Hay botes de basura cada $200$ pies a lo largo del camino. Un camión de basura viaja a $10$ pies por segundo en la misma dirección que Michael y se detiene $30$ segundos en cada bote. Cuando Michael pasa un bote, nota que el camión adelante acaba de salir del siguiente bote. ¿Cuántas veces se encontrarán Michael y el camión?

Michael walks at the rate of $5$ feet per second on a long straight path. Trash pails are located every $200$ feet along the path. A garbage truck travels at $10$ feet per second in the same direction as Michael and stops for $30$ seconds at each pail. As Michael passes a pail, he notices the truck ahead of him just leaving the next pail. How many times will Michael and the truck meet?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Numera los botes de modo que Michael comience en el bote $0$ y el camión en el bote $1;$ Michael llega al bote $n$ en el tiempo $40n$ segundos.

Number the pails so Michael starts at pail $0$ and the truck at pail $1;$ Michael reaches pail $n$ at time $40n$ seconds

Pista grande:

El camión sale del bote $n$ en $50(n - 1)$ y llega en $50(n - 1) - 30;$ halla los botes donde coinciden, luego verifica si hay un cruce mientras el camión se mueve entre ellos.

The truck leaves pail $n$ at $50(n - 1)$ and arrives at $50(n - 1) - 30;$ find the pails where they coincide, then check for a crossing while the truck moves between them

Solución:

Numera los botes de modo que Michael esté en el bote $0$ y el camión en el bote $1$ en el tiempo $0.$ Michael llega al bote $n$ en $40n$ segundos. El camión pasa $20$ segundos entre botes y $30$ detenido, así que sale del bote $n$ en $50(n - 1)$ segundos y (para $n \ge 2$ ) llega en $50(n - 1) - 30.$

Michael está en el bote $n$ mientras el camión también está ahí exactamente cuando $50(n-1) - 30 \le 40n$ $\le 50(n-1),$ lo que se simplifica a $5 \le n \le 8.$ Así que se encuentran en el bote $5$ (en $t = 200,$ cuando el camión parte), el bote $6$ ( $t = 240$ ), el bote $7$ ( $t = 280$ ), y el bote $8$ ( $t = 320,$ cuando el camión llega).

Entre los botes $6$ y $7$ el camión (que se mueve a $10$ pies/s) se adelanta y luego es alcanzado por Michael una vez más, añadiendo un cruce. En total, se encuentran $5$ veces.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Number the pails so Michael is at pail $0$ and the truck at pail $1$ at time $0.$ Michael reaches pail $n$ at $40n$ seconds. The truck spends $20$ seconds between pails and $30$ stopped, so it leaves pail $n$ at $50(n - 1)$ seconds and (for $n \ge 2$ ) arrives at $50(n - 1) - 30.$

Michael is at pail $n$ while the truck is there exactly when $50(n-1) - 30 \le 40n$ $\le 50(n-1),$ which simplifies to $5 \le n \le 8.$ So they meet at pail $5$ (at $t = 200,$ as the truck departs), pail $6$ ( $t = 240$ ), pail $7$ ( $t = 280$ ), and pail $8$ ( $t = 320,$ as the truck arrives).

Between pails $6$ and $7$ the truck (moving at $10$ ft/s) pulls ahead of and is then overtaken by Michael once more, adding one crossing. In all, they meet $5$ times.

Thus, the correct answer is B.

21.

Se van a construir dos círculos de radio $1$ de la siguiente manera. El centro del círculo $A$ se elige de manera uniforme y al azar del segmento que une $(0, 0)$ con $(2, 0).$ El centro del círculo $B$ se elige de manera uniforme y al azar, e independientemente de la primera elección, del segmento que une $(0, 1)$ con $(2, 1).$ ¿Cuál es la probabilidad de que los círculos $A$ y $B$ se intersequen?

Two circles of radius $1$ are to be constructed as follows. The center of circle $A$ is chosen uniformly and at random from the line segment joining $(0, 0)$ to $(2, 0).$ The center of circle $B$ is chosen uniformly and at random, and independently of the first choice, from the line segment joining $(0, 1)$ to $(2, 1).$ What is the probability that circles $A$ and $B$ intersect?

$\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$\dfrac{3\sqrt{3} + 2}{8}$

$\dfrac{2\sqrt{2} - 1}{2}$

$\dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}$

$\dfrac{4\sqrt{3} - 3}{4}$

Conceptos:probabilidad geométrica fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Con centros $(a, 0)$ y $(b, 1),$ los círculos se intersecan si y solo si $\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2,$ es decir $|a - b| \le \sqrt{3}$ .

With centers $(a, 0)$ and $(b, 1),$ the circles intersect iff $\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2,$ i.e. $|a - b| \le \sqrt{3}$

Pista grande:

En el cuadrado $[0, 2]^2$ de área $4,$ halla el área con $|a - b| \le \sqrt{3}$ quitando los dos triángulos de las esquinas donde $|a - b| \gt \sqrt{3}$ .

In the square $[0, 2]^2$ of area $4,$ find the area with $|a - b| \le \sqrt{3}$ by removing the two corner triangles where $|a - b| \gt \sqrt{3}$

Solución:

Sean los centros $(a, 0)$ y $(b, 1)$ con $a, b \in [0, 2].$ Los círculos (de radio $1$ cada uno) se intersecan si y solo si la distancia entre centros es a lo sumo $2:$ $\begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3}. \end{aligned}$

Los pares $(a, b)$ llenan el cuadrado $[0, 2]^2$ de área $4.$ La región de fallo $|a - b| \gt \sqrt3$ son dos triángulos rectángulos, cada uno con catetos $2 - \sqrt3,$ de área total $(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3.$

Así que el área favorable es $4 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3,$ y la probabilidad es $\frac{4\sqrt3 - 3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the centers be $(a, 0)$ and $(b, 1)$ with $a, b \in [0, 2].$ The circles (radius $1$ each) intersect iff the distance between centers is at most $2:$ $\begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3}. \end{aligned}$

The pairs $(a, b)$ fill the square $[0, 2]^2$ of area $4.$ The failing region $|a - b| \gt \sqrt3$ is two right triangles, each with legs $2 - \sqrt3,$ of total area $(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3.$

So the favorable area is $4 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3,$ and the probability is $\frac{4\sqrt3 - 3}{4}.$

Thus, the correct answer is E.

22.

Un estacionamiento tiene una fila de $16$ espacios. Doce autos llegan, cada uno requiere un espacio, y sus conductores eligen sus espacios al azar entre los espacios disponibles. Luego Auntie Em llega en su SUV, que requiere $2$ espacios adyacentes. ¿Cuál es la probabilidad de que ella pueda estacionar?

A parking lot has $16$ spaces in a row. Twelve cars arrive, each of which requires one parking space, and their drivers choose their spaces at random from among the available spaces. Auntie Em then arrives in her SUV, which requires $2$ adjacent spaces. What is the probability that she is able to park?

$\dfrac{11}{20}$

$\dfrac{4}{7}$

$\dfrac{81}{140}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{17}{28}$

Conceptos:conteo complementario combinaciones arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Los $4$ espacios vacíos tienen la misma probabilidad de ser cualesquiera $4$ de los $16;$ ella falla exactamente cuando no hay dos vacíos adyacentes.

The $4$ empty spaces are equally likely to be any $4$ of the $16;$ she fails exactly when no two empties are adjacent

Pista grande:

El número de formas de elegir $4$ espacios vacíos entre $16$ sin dos adyacentes es $\binom{13}{4};$ resta esa probabilidad de $1$ .

The number of ways to choose $4$ empty spaces among $16$ with no two adjacent is $\binom{13}{4};$ subtract that probability from $1$

Solución:

Después de que los $12$ autos estacionan, $4$ espacios quedan vacíos, con la misma probabilidad de ser cualesquiera $4$ de los $16,$ para $\binom{16}{4} = 1820$ conjuntos igualmente probables.

Auntie Em falla exactamente cuando no hay dos espacios vacíos adyacentes. El número de formas de colocar $4$ vacíos no adyacentes entre $16$ es $\binom{13}{4} = 715.$

Así que la probabilidad de que pueda estacionar es $1 - \frac{715}{1820} = \frac{1105}{1820} = \frac{17}{28}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

After the $12$ cars park, $4$ spaces are empty, equally likely to be any $4$ of the $16,$ for $\binom{16}{4} = 1820$ equally likely sets.

Auntie Em fails exactly when no two empty spaces are adjacent. The number of ways to place $4$ non-adjacent empties among $16$ is $\binom{13}{4} = 715.$

So the probability she can park is $1 - \frac{715}{1820} = \frac{1105}{1820} = \frac{17}{28}.$

Thus, the correct answer is E.

23.

La suma de los logaritmos en base $10$ de los divisores de $10^n$ es $792.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

The sum of the base- $10$ logarithms of the divisors of $10^n$ is $792.$ What is $n?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:logaritmo conteo de factores

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

La suma de los logaritmos de los divisores es igual al logaritmo del producto de todos los divisores.

The sum of the logs of the divisors equals the log of the product of all divisors

Pista grande:

$10^n$ tiene $(n + 1)^2$ divisores, y el producto de los divisores de $N$ es $N^{\frac{d(N)}{2}};$ esto da $\tfrac12 n(n + 1)^2 = 792$ .

$10^n$ has $(n + 1)^2$ divisors, and the product of the divisors of $N$ is $N^{\frac{d(N)}{2}};$ this gives $\tfrac12 n(n + 1)^2 = 792$

Solución:

La suma de los logaritmos en base $10$ de los divisores es el logaritmo de su producto. Un número $N$ con $d(N)$ divisores tiene producto de divisores $N^{\frac{d(N)}{2}}.$

Aquí $N = 10^n$ tiene $d(N) = (n + 1)^2$ divisores, así que el producto es $(10^n)^{\frac{(n+1)^2}{2}}$ y su logaritmo es $\frac{n(n + 1)^2}{2} = 792.$

Por lo tanto $n(n + 1)^2 = 1584$ $= 11 \cdot 144$ $= 11 \cdot 12^2,$ dando $n = 11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum of the base- $10$ logs of the divisors is the log of their product. A number $N$ with $d(N)$ divisors has divisor product $N^{\frac{d(N)}{2}}.$

Here $N = 10^n$ has $d(N) = (n + 1)^2$ divisors, so the product is $(10^n)^{\frac{(n+1)^2}{2}}$ and its log is $\frac{n(n + 1)^2}{2} = 792.$

Thus $n(n + 1)^2 = 1584$ $= 11 \cdot 144$ $= 11 \cdot 12^2,$ giving $n = 11.$

Thus, the correct answer is A.

24.

Sea $A_0 = (0, 0).$ Puntos distintos $A_1,$ $A_2,$ $\ldots$ están en el eje $x$ , y puntos distintos $B_1,$ $B_2,$ $\ldots$ están en la gráfica de $y = \sqrt{x}.$ Para todo entero positivo $n,$ $A_{n-1}B_nA_n$ es un triángulo equilátero. ¿Cuál es el menor $n$ para el cual la longitud $A_0A_n \ge 100$ ?

Let $A_0 = (0, 0).$ Distinct points $A_1,$ $A_2,$ $\ldots$ lie on the $x$ -axis, and distinct points $B_1,$ $B_2,$ $\ldots$ lie on the graph of $y = \sqrt{x}.$ For every positive integer $n,$ $A_{n-1}B_nA_n$ is an equilateral triangle. What is the least $n$ for which the length $A_0A_n \ge 100?$

$13$

$15$

$17$

$19$

$21$

Conceptos:recursión triángulo equilátero sumatoria

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Si $c_n = A_{n-1}A_n,$ el ápice $B_n$ está a una altura $\tfrac{\sqrt3}{2}c_n$ sobre el punto medio; al estar en $y = \sqrt{x}$ se obtiene $\tfrac34 c_n^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2}$ .

If $c_n = A_{n-1}A_n,$ the apex $B_n$ sits at height $\tfrac{\sqrt3}{2}c_n$ above the midpoint; lying on $y = \sqrt{x}$ gives $\tfrac34 c_n^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2}$

Pista grande:

Restar relaciones consecutivas da $c_n = c_{n-1} + \tfrac23,$ así que $c_n = \tfrac{2n}{3}$ y $A_0A_n = \tfrac{n(n+1)}{3}$ .

Subtracting consecutive relations yields $c_n = c_{n-1} + \tfrac23,$ so $c_n = \tfrac{2n}{3}$ and $A_0A_n = \tfrac{n(n+1)}{3}$

Solución:

Sea $a_n = A_0A_n$ y $c_n = a_n - a_{n-1}$ la base del $n$ -ésimo triángulo equilátero. Su ápice $B_n$ está sobre el punto medio a una altura $\tfrac{\sqrt3}{2}c_n,$ y al estar en $y = \sqrt{x}$ se obtiene $\left(\tfrac{\sqrt3}{2}c_n\right)^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2},$ es decir $\tfrac34 c_n^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2}.$

Escribir la misma relación para el triángulo anterior y restar da $c_n = c_{n-1} + \tfrac23,$ y con $c_1 = \tfrac23$ obtenemos $c_n = \tfrac{2n}{3}.$ Sumando, $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{2k}{3} = \frac{n(n + 1)}{3}.$

Necesitamos $\tfrac{n(n + 1)}{3} \ge 100,$ es decir $n(n + 1) \ge 300.$ Como $16 \cdot 17 = 272$ y $17 \cdot 18 = 306,$ el menor $n$ es $17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a_n = A_0A_n$ and $c_n = a_n - a_{n-1}$ be the base of the $n$ th equilateral triangle. Its apex $B_n$ lies above the midpoint at height $\tfrac{\sqrt3}{2}c_n,$ and being on $y = \sqrt{x}$ gives $\left(\tfrac{\sqrt3}{2}c_n\right)^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2},$ i.e. $\tfrac34 c_n^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2}.$

Writing the same relation for the previous triangle and subtracting gives $c_n = c_{n-1} + \tfrac23,$ and with $c_1 = \tfrac23$ we get $c_n = \tfrac{2n}{3}.$ Summing, $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{2k}{3} = \frac{n(n + 1)}{3}.$

We need $\tfrac{n(n + 1)}{3} \ge 100,$ i.e. $n(n + 1) \ge 300.$ Since $16 \cdot 17 = 272$ and $17 \cdot 18 = 306,$ the least such $n$ is $17.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB \parallel CD,$ $AB = 11,$ $BC = 5,$ $CD = 19,$ y $DA = 7.$ Las bisectrices de $\angle A$ y $\angle D$ se cortan en $P,$ y las bisectrices de $\angle B$ y $\angle C$ se cortan en $Q.$ ¿Cuál es el área del hexágono $ABQCDP$ ?

Let $ABCD$ be a trapezoid with $AB \parallel CD,$ $AB = 11,$ $BC = 5,$ $CD = 19,$ and $DA = 7.$ Bisectors of $\angle A$ and $\angle D$ meet at $P,$ and bisectors of $\angle B$ and $\angle C$ meet at $Q.$ What is the area of hexagon $ABQCDP?$

$28\sqrt{3}$

$30\sqrt{3}$

$32\sqrt{3}$

$35\sqrt{3}$

$36\sqrt{3}$

Conceptos:trapecio bisectriz ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

$\angle A + \angle D = 180^\circ,$ así que sus bisectrices se cortan en ángulo recto, y el punto medio de $\overline{AD}$ equidista de $A, D, P$ .

$\angle A + \angle D = 180^\circ,$ so their bisectors meet at right angles, and the midpoint of $\overline{AD}$ is equidistant from $A, D, P$

Pista grande:

Esto pone $M, P, Q, N$ sobre la línea media con $PQ = \tfrac{AB + CD - AD - BC}{2};$ obtén la altura del $\triangle ADE$ ( $AE \parallel BC,$ lados $7, 5, 8$ ).

This puts $M, P, Q, N$ on the midline with $PQ = \tfrac{AB + CD - AD - BC}{2};$ get the height from $\triangle ADE$ ( $AE \parallel BC,$ sides $7, 5, 8$ )

Solución:

Como $AB \parallel CD,$ $\angle A + \angle D = 180^\circ,$ así que las bisectrices de $\angle A$ y $\angle D$ se cortan en ángulo recto: $\angle APD = 90^\circ.$ El punto medio $M$ de $\overline{AD}$ es entonces el circuncentro del triángulo rectángulo $APD,$ de modo que $MP = MA = MD.$ Así, $\angle MPA = \angle PAM = \angle PAB,$ donde la última igualdad usa la bisectriz en $A.$ Por tanto, $MP \parallel AB.$ El mismo argumento da $QN \parallel AB$ para el punto medio $N$ de $\overline{BC}.$ Así, $M, P, Q, N$ son colineales sobre la línea media.

La línea media mide $\tfrac{AB + CD}{2} = 15,$ mientras que $MP = \tfrac{AD}{2} = \tfrac72$ y $QN = \tfrac{BC}{2} = \tfrac52.$ Por tanto, $PQ = 15 - \tfrac72 - \tfrac52 = 9.$

Trazando $AE \parallel BC$ con $E$ sobre $\overline{CD}$ , obtenemos $AE = 5$ y $DE = CD - AB = 8.$ En $\triangle ADE,$ $\cos(\angle AED) = \tfrac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \tfrac12,$ así que $\angle AED = 60^\circ$ y la altura del trapecio es $AF = 5\sin 60^\circ = \tfrac{5\sqrt3}{2}.$

El segmento $PQ$ está a media altura, por lo que el hexágono se divide en dos trapecios y $\begin{aligned} &[ABQCDP] \\ &= \frac{AF}{4}\bigl(AB + CD + 2\,PQ\bigr) \\ &= \frac{\frac{5\sqrt3}{2}}{4}(11 + 19 + 18) \\ &= 30\sqrt3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $AB \parallel CD,$ $\angle A + \angle D = 180^\circ,$ so the bisectors of $\angle A$ and $\angle D$ meet at right angles, $\angle APD = 90^\circ.$ Then the midpoint $M$ of $\overline{AD}$ is the circumcenter of right triangle $APD,$ giving $MP = MA = MD.$ Thus $\angle MPA = \angle PAM = \angle PAB,$ where the last equality uses the angle bisector at $A.$ Therefore $MP \parallel AB.$ The same argument gives $QN \parallel AB$ for the midpoint $N$ of $\overline{BC}.$ Hence $M, P, Q, N$ are collinear on the midline.

The midline has length $\tfrac{AB + CD}{2} = 15,$ while $MP = \tfrac{AD}{2} = \tfrac72$ and $QN = \tfrac{BC}{2} = \tfrac52.$ Hence $PQ = 15 - \tfrac72 - \tfrac52 = 9.$

Drawing $AE \parallel BC$ with $E$ on $\overline{CD}$ gives $AE = 5$ and $DE = CD - AB = 8.$ In $\triangle ADE,$ $\cos(\angle AED) = \tfrac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \tfrac12,$ so $\angle AED = 60^\circ$ and the trapezoid’s height is $AF = 5\sin 60^\circ = \tfrac{5\sqrt3}{2}.$

The segment $PQ$ sits at half the height, so the hexagon splits into two trapezoids and $\begin{aligned} &[ABQCDP] \\ &= \frac{AF}{4}\bigl(AB + CD + 2\,PQ\bigr) \\ &= \frac{\frac{5\sqrt3}{2}}{4}(11 + 19 + 18) \\ &= 30\sqrt3. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.