Question

El conjunto $G$ está definido por los puntos $(x, y)$ de coordenadas enteras con $3 \le |x| \le 7,$ y $3 \le |y| \le 7.$ ¿Cuántos cuadrados de lado al menos $6$ tienen sus cuatro vértices en $G$ ?

The set $G$ is defined by the points $(x, y)$ with integer coordinates, $3 \le |x| \le 7,$ and $3 \le |y| \le 7.$ How many squares of side at least $6$ have their four vertices in $G?$

$125$

$150$

$175$

$200$

$225$

Respuesta: E

Conceptos:punto reticular biyección conteo de figuras en diagramas

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

$G$ se divide en cuatro bloques $5 \times 5$ , uno por cuadrante; un cuadrado de lado $\ge 6$ toma exactamente un vértice de cada bloque.

$G$ splits into four $5 \times 5$ blocks, one per quadrant; a side- $\ge 6$ square takes exactly one vertex from each block

Pista grande:

Desliza los cuatro bloques juntándolos en una sola cuadrícula $5 \times 5$ $G';$ cada cuadrado válido se corresponde con un punto de $G'$ o con un cuadrado en $G'$ .

Slide the four blocks together onto a single $5 \times 5$ grid $G';$ each valid square maps to a point of $G'$ or a square in $G'$

Solución:

El conjunto $G$ consta de cuatro bloques $5 \times 5$ , $G_1, \ldots, G_4,$ uno en cada cuadrante. Todo cuadrado de lado $\ge 6$ usa exactamente un vértice de cada bloque, pues dos puntos de un mismo bloque están a menos de $6$ unidades, mientras que los puntos de bloques distintos están separados por al menos $6$ unidades.

Al trasladar cada bloque hacia el origen mediante $(\pm 5, \pm 5)$ , los cuatro se superponen en una cuadrícula $5 \times 5$ , $G'$ , formada por los puntos con $|x|, |y| \le 2$ . Cada uno de los cuadrados buscados se transforma en un solo punto de $G'$ o en un cuadrado de $G'.$ Por tanto, el número buscado es el número de puntos de $G'$ más $4$ veces el número de cuadrados con vértices en $G'.$

La cuadrícula contiene $4^2+3^2+2^2+1^2=30$ cuadrados con lados paralelos a los ejes. Para un cuadrado inclinado, supongamos que uno de sus lados avanza $a$ unidades horizontalmente y $b$ unidades verticalmente, donde $a,b\gt0$ y $a+b\le4.$ Para cada par ordenado $(a,b),$ hay $(5-a-b)^2$ posiciones. Los totales para $a+b=2,3,4$ son $9,8,3,$ respectivamente, lo que da $20$ cuadrados inclinados y $50$ cuadrados en total. Por consiguiente, la cantidad pedida es $25+4\cdot50=225.$

Así, la respuesta correcta es E.

$G$ consists of four $5 \times 5$ blocks $G_1, \ldots, G_4,$ one in each quadrant. Any square of side $\ge 6$ uses exactly one vertex in each block, since two points in one block are less than $6$ apart while points in different blocks are at least $6$ apart.

Sliding each block inward by $(\pm 5, \pm 5)$ superimposes them on one $5 \times 5$ grid $G'$ (points with $|x|, |y| \le 2$ ). Each such square maps to either a single point of $G'$ or a square in $G'.$ So the count equals the number of points of $G'$ plus $4$ times the number of squares with vertices in $G'.$

The grid has $4^2+3^2+2^2+1^2=30$ axis-parallel squares. For a tilted square, let one side move $a$ units horizontally and $b$ units vertically, where $a,b\gt0$ and $a+b\le4.$ For each ordered pair $(a,b),$ there are $(5-a-b)^2$ placements. The totals for $a+b=2,3,4$ are $9,8,3,$ respectively, giving $20$ tilted squares and $50$ squares altogether. Therefore the required count is $25+4\cdot50=225.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12B Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años