Question

El conjunto $G$ está definido por los puntos $(x, y)$ de coordenadas enteras con $3 \le |x| \le 7,$ y $3 \le |y| \le 7.$ ¿Cuántos cuadrados de lado al menos $6$ tienen sus cuatro vértices en $G$ ?

The set $G$ is defined by the points $(x, y)$ with integer coordinates, $3 \le |x| \le 7,$ and $3 \le |y| \le 7.$ How many squares of side at least $6$ have their four vertices in $G?$

$125$

$150$

$175$

$200$

$225$

Solución:

$G$ consta de cuatro bloques $5 \times 5$ $G_1, \ldots, G_4,$ uno en cada cuadrante. Cualquier cuadrado de lado $\ge 6$ usa exactamente un vértice en cada bloque, ya que dos puntos de un mismo bloque distan menos de $6$ mientras que puntos de bloques distintos distan al menos $6$ .

Al deslizar cada bloque hacia adentro en $(\pm 5, \pm 5)$ se superponen en una sola cuadrícula $5 \times 5$ $G'$ (los puntos con $|x|, |y| \le 2$ ). Cada uno de esos cuadrados se corresponde con un único punto de $G'$ o con un cuadrado en $G'.$ Así que el conteo es igual al número de puntos de $G'$ más $4$ veces el número de cuadrados con vértices en $G'.$

Una cuadrícula $5 \times 5$ tiene $25$ puntos y $50$ cuadrados de todas las inclinaciones, así que el total es $25 + 4 \cdot 50 = 225.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

$G$ consists of four $5 \times 5$ blocks $G_1, \ldots, G_4,$ one in each quadrant. Any square of side $\ge 6$ uses exactly one vertex in each block, since two points in one block are less than $6$ apart while points in different blocks are at least $6$ apart.

Sliding each block inward by $(\pm 5, \pm 5)$ superimposes them on one $5 \times 5$ grid $G'$ (points with $|x|, |y| \le 2$ ). Each such square maps to either a single point of $G'$ or a square in $G'.$ So the count equals the number of points of $G'$ plus $4$ times the number of squares with vertices in $G'.$

A $5 \times 5$ grid has $25$ points and $50$ squares of all tilts, so the total is $25 + 4 \cdot 50 = 225.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años