Question

Cuatro hexágonos regulares rodean un cuadrado de lado $1,$ cada uno compartiendo una arista con el cuadrado, como se muestra en la figura de abajo. El área del polígono exterior no convexo de $12$ lados resultante se puede escribir como $m\sqrt n + p,$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m + n + p$ ?

Four regular hexagons surround a square with a side length $1,$ each one sharing an edge with the square, as shown in the figure below. The area of the resulting $12$ -sided outer nonconvex polygon can be written as $m\sqrt n + p,$ where $m,$ $n,$ and $p$ are integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is $m + n + p?$

$-12$

$-4$

$4$

$24$

$32$

Solución:

Centra el cuadrado en el origen con vértices $\left(\pm\tfrac12, \pm\tfrac12\right).$ Cada hexágono comparte una arista con el cuadrado y se extiende hasta el lado opuesto; el hexágono del borde inferior, por ejemplo, tiene su arista lejana (superior) desde $\left(-\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right)$ hasta $\left(\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right).$

La frontera exterior es un $12$ -gono con aristas planas a distancia $\sqrt3 - \tfrac12$ del centro, vértices convexos como $\left(\sqrt3 - \tfrac12, \tfrac12\right),$ y cuatro muescas entrantes donde se encuentran las aristas inclinadas de hexágonos adyacentes, en $\left(\tfrac52 - \sqrt3, \tfrac52 - \sqrt3\right)$ y sus imágenes simétricas.

Aplicando la fórmula del cordón de zapato a estos $12$ vértices se obtiene el área $16\sqrt3 - 23,$ así que $m = 16,$ $n = 3,$ $p = -23,$ y $m + n + p = -4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Center the square at the origin with vertices $\left(\pm\tfrac12, \pm\tfrac12\right).$ Each hexagon shares one edge with the square and extends across to the opposite side; the hexagon on the bottom edge, for instance, has its far (top) edge from $\left(-\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right)$ to $\left(\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right).$

The outer boundary is a $12$ -gon with flat edges at distance $\sqrt3 - \tfrac12$ from the center, convex vertices such as $\left(\sqrt3 - \tfrac12, \tfrac12\right),$ and four reflex notches where adjacent hexagons' slanted edges meet, at $\left(\tfrac52 - \sqrt3, \tfrac52 - \sqrt3\right)$ and its symmetric images.

Applying the shoelace formula to these $12$ vertices gives area $16\sqrt3 - 23,$ so $m = 16,$ $n = 3,$ $p = -23,$ and $m + n + p = -4.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años