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2004 AMC 12A Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2004 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2004 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Para cada entero n≥4,n \ge 4, sea ana_n el número en base nn dado por 0.133‾n.0.\overline{133}_n. El producto a4a5…a99a_4 a_5 \ldots a_{99} puede expresarse como mn!,\dfrac{m}{n!}, donde mm y nn son enteros positivos y nn es tan pequeño como sea posible. ¿Cuál es el valor de mm?
For each integer n≥4,n \ge 4, let ana_n denote the base-nn number 0.133‾n.0.\overline{133}_n. The product a4a5…a99a_4 a_5 \ldots a_{99} can be expressed as mn!,\dfrac{m}{n!}, where mm and nn are positive integers and nn is as small as possible. What is the value of m?m?
9898
101101
132132
798798
962962
Respuesta: E
Conceptos:base numéricatelescópicasuma y diferencia de cubos
Nivel de dificultad: 2440
Pista pequeña:
Una fracción periódica en base nn igual a 0.133‾n0.\overline{133}_n vale n2+3n+3n3−1\dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1}.
A repeating base-nn fraction 0.133‾n0.\overline{133}_n equals n2+3n+3n3−1\dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1}
Pista grande:
Nota que n2+3n+3=(n+1)3−1n,n^2 + 3n + 3 = \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n}, lo que hace que el producto se telescope.
Note n2+3n+3=(n+1)3−1n,n^2 + 3n + 3 = \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n}, which makes the product telescope
Solución:
Como n3⋅an=133.133‾nn^3 \cdot a_n = 133.\overline{133}_n =an+n2+3n+3,= a_n + n^2 + 3n + 3, obtenemos an=n2+3n+3n3−1=(n+1)3−1n(n3−1). \begin{aligned} a_n &= \dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1} \\ &= \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n(n^3 - 1)}. \end{aligned}
Escribiendo n3−1=(n−1)(n2+n+1)n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1) y (n+1)3−1(n+1)^3 - 1 =n((n+1)2+(n+1)+1),= n\big((n+1)^2 + (n+1) + 1\big), el producto a4a5⋯a99a_4 a_5 \cdots a_{99} se telescopa a 3!99!⋅1003−143−1=3!99!⋅99(1002+100+1)63. \begin{gathered} \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{100^3 - 1}{4^3 - 1} \\ {}= \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{99(100^2 + 100 + 1)}{63}. \end{gathered}
Esto se simplifica a (2)(10101)(21)(98!)=96298!.\dfrac{(2)(10101)}{(21)(98!)} = \dfrac{962}{98!}. Si n≤97,n \le 97, reescribir esta fracción con denominador n!n! exigiría que 9898 dividiera a 962,962, lo cual no ocurre. Así, el menor nn posible es 98,98, y m=962.m = 962.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Since n3⋅an=133.133‾nn^3 \cdot a_n = 133.\overline{133}_n =an+n2+3n+3,= a_n + n^2 + 3n + 3, we get an=n2+3n+3n3−1=(n+1)3−1n(n3−1). \begin{aligned} a_n &= \dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1} \\ &= \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n(n^3 - 1)}. \end{aligned}
Writing n3−1=(n−1)(n2+n+1)n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1) and (n+1)3−1(n+1)^3 - 1 =n((n+1)2+(n+1)+1),= n\big((n+1)^2 + (n+1) + 1\big), the product a4a5⋯a99a_4 a_5 \cdots a_{99} telescopes to 3!99!⋅1003−143−1=3!99!⋅99(1002+100+1)63. \begin{gathered} \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{100^3 - 1}{4^3 - 1} \\ {}= \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{99(100^2 + 100 + 1)}{63}. \end{gathered}
This simplifies to (2)(10101)(21)(98!)=96298!.\dfrac{(2)(10101)}{(21)(98!)} = \dfrac{962}{98!}. If n≤97,n \le 97, then rewriting this fraction with denominator n!n! would require 9898 to divide 962,962, which it does not. Hence the smallest possible nn is 98,98, and m=962.m = 962.
Thus, the correct answer is E.
Problema 24#24
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