Question

Para cada entero $n \ge 4,$ sea $a_n$ el número en base $n$ dado por $0.\overline{133}_n.$ El producto $a_4 a_5 \ldots a_{99}$ puede expresarse como $\dfrac{m}{n!},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ es tan pequeño como sea posible. ¿Cuál es el valor de $m$ ?

For each integer $n \ge 4,$ let $a_n$ denote the base- $n$ number $0.\overline{133}_n.$ The product $a_4 a_5 \ldots a_{99}$ can be expressed as $\dfrac{m}{n!},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is as small as possible. What is the value of $m?$

$98$

$101$

$132$

$798$

$962$

Respuesta: E

Conceptos:base numérica telescópica suma y diferencia de cubos

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Una fracción periódica en base $n$ igual a $0.\overline{133}_n$ vale $\dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1}$ .

A repeating base- $n$ fraction $0.\overline{133}_n$ equals $\dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1}$

Pista grande:

Nota que $n^2 + 3n + 3 = \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n},$ lo que hace que el producto se telescope.

Note $n^2 + 3n + 3 = \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n},$ which makes the product telescope

Solución:

Como $n^3 \cdot a_n = 133.\overline{133}_n$ $= a_n + n^2 + 3n + 3,$ obtenemos $\begin{aligned} a_n &= \dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1} \\ &= \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n(n^3 - 1)}. \end{aligned}$

Escribiendo $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$ y $(n+1)^3 - 1$ $= n\big((n+1)^2 + (n+1) + 1\big),$ el producto $a_4 a_5 \cdots a_{99}$ se telescopa a $\begin{gathered} \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{100^3 - 1}{4^3 - 1} \\ {}= \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{99(100^2 + 100 + 1)}{63}. \end{gathered}$

Esto se simplifica a $\dfrac{(2)(10101)}{(21)(98!)} = \dfrac{962}{98!}.$ Si $n \le 97,$ reescribir esta fracción con denominador $n!$ exigiría que $98$ dividiera a $962,$ lo cual no ocurre. Así, el menor $n$ posible es $98,$ y $m = 962.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $n^3 \cdot a_n = 133.\overline{133}_n$ $= a_n + n^2 + 3n + 3,$ we get $\begin{aligned} a_n &= \dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1} \\ &= \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n(n^3 - 1)}. \end{aligned}$

Writing $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$ and $(n+1)^3 - 1$ $= n\big((n+1)^2 + (n+1) + 1\big),$ the product $a_4 a_5 \cdots a_{99}$ telescopes to $\begin{gathered} \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{100^3 - 1}{4^3 - 1} \\ {}= \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{99(100^2 + 100 + 1)}{63}. \end{gathered}$

This simplifies to $\dfrac{(2)(10101)}{(21)(98!)} = \dfrac{962}{98!}.$ If $n \le 97,$ then rewriting this fraction with denominator $n!$ would require $98$ to divide $962,$ which it does not. Hence the smallest possible $n$ is $98,$ and $m = 962.$

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 12A Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años