Question

Para cada entero $n \ge 4$ , sea $a_n$ el número en base $n$ dado por $0.\overline{133}_n$ . El producto $a_4 a_5 \ldots a_{99}$ puede expresarse como $\dfrac{m}{n!}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ es tan pequeño como sea posible. ¿Cuál es el valor de $m$ ?

For each integer $n \ge 4,$ let $a_n$ denote the base- $n$ number $0.\overline{133}_n.$ The product $a_4 a_5 \ldots a_{99}$ can be expressed as $\dfrac{m}{n!},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is as small as possible. What is the value of $m?$

$98$

$101$

$132$

$798$

$962$

Solución:

Como $n^3 \cdot a_n = 133.\overline{133}_n$ $= a_n + n^2 + 3n + 3$ , obtenemos $\begin{aligned} a_n &= \dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1} \\ &= \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n(n^3 - 1)}. \end{aligned}$

Escribiendo $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$ y $(n+1)^3 - 1$ $= n\big((n+1)^2 + (n+1) + 1\big),$ el producto $a_4 a_5 \cdots a_{99}$ se telescopa a $\begin{gathered} \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{100^3 - 1}{6^3} \\ {}= \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{99(100^2 + 100 + 1)}{63}. \end{gathered}$

Esto se simplifica a $\dfrac{(2)(10101)}{(21)(98!)} = \dfrac{962}{98!}$ , así que $m = 962$ (con el menor $n = 98$ posible).

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $n^3 \cdot a_n = 133.\overline{133}_n$ $= a_n + n^2 + 3n + 3,$ we get $\begin{aligned} a_n &= \dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1} \\ &= \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n(n^3 - 1)}. \end{aligned}$

Writing $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$ and $(n+1)^3 - 1$ $= n\big((n+1)^2 + (n+1) + 1\big),$ the product $a_4 a_5 \cdots a_{99}$ telescopes to $\begin{gathered} \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{100^3 - 1}{6^3} \\ {}= \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{99(100^2 + 100 + 1)}{63}. \end{gathered}$

This simplifies to $\dfrac{(2)(10101)}{(21)(98!)} = \dfrac{962}{98!},$ so $m = 962$ (with the smallest possible $n = 98$ ).

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años