Soluciones del 2004 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Alicia gana $\$20$ por hora, de los cuales se deduce el $1.45\%$ para pagar impuestos locales. ¿Cuántos centavos por hora del salario de Alicia se usan para pagar impuestos locales?

Alicia earns $\$20$ per hour, of which $1.45\%$ is deducted to pay local taxes. How many cents per hour of Alicia’s wages are used to pay local taxes?

$0.0029$

$0.029$

$0.29$

$2.9$

$29$

Conceptos:porcentaje conversión de unidades

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Convierte $\$20$ a centavos antes de calcular el porcentaje.

Convert $\$20$ into cents before taking the percentage

Pista grande:

$\$20 = 2000$ centavos, y el impuesto es el $1.45\%$ de esa cantidad.

$\$20 = 2000$ cents, and $1.45\%$ of that is the tax

Solución:

Como $\$20$ son $2000$ centavos, el impuesto es de $0.0145 \times 2000 = 29$ centavos por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $\$20$ is $2000$ cents, the tax is $0.0145 \times 2000 = 29$ cents per hour.

Thus, the correct answer is E.

2.

En el AMC $12,$ cada respuesta correcta vale $6$ puntos, cada respuesta incorrecta vale $0$ puntos, y cada problema sin responder vale $2.5$ puntos. Si Charlyn deja $8$ de los $25$ problemas sin responder, ¿cuántos de los problemas restantes debe responder correctamente para obtener al menos $100$ ?

On the AMC $12,$ each correct answer is worth $6$ points, each incorrect answer is worth $0$ points, and each problem left unanswered is worth $2.5$ points. If Charlyn leaves $8$ of the $25$ problems unanswered, how many of the remaining problems must she answer correctly in order to score at least $100?$

$11$

$13$

$14$

$16$

$17$

Conceptos:desigualdad funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Los $8$ espacios en blanco ya aportan $2.5 \times 8$ puntos.

The $8$ blanks already contribute $2.5 \times 8$ points

Pista grande:

Halla el menor número de respuestas correctas cuyos $6$ puntos cada una cubran los puntos restantes.

Find the smallest number of correct answers whose $6$ points each cover the remaining points

Solución:

Los $8$ problemas sin responder valen $2.5 \times 8 = 20$ puntos, así que Charlyn necesita al menos $100 - 20 = 80$ puntos más de respuestas correctas.

Cada respuesta correcta vale $6$ puntos, y el menor múltiplo de $6$ que es al menos $80$ es $84 = 6 \times 14.$ Así que necesita al menos $14$ respuestas correctas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The $8$ unanswered problems are worth $2.5 \times 8 = 20$ points, so Charlyn needs at least $100 - 20 = 80$ more points from correct answers.

Each correct answer is worth $6$ points, and the smallest multiple of $6$ that is at least $80$ is $84 = 6 \times 14.$ So she needs at least $14$ correct answers.

Thus, the correct answer is C.

3.

¿Para cuántos pares ordenados de enteros positivos $(x, y)$ se cumple $x + 2y = 100$ ?

For how many ordered pairs of positive integers $(x, y)$ is $x + 2y = 100?$

$33$

$49$

$50$

$99$

$100$

Conceptos:Ecuación diofántica conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Despeja $x$ en términos de $y$ .

Solve for $x$ in terms of $y$

Pista grande:

$x = 100 - 2y$ debe ser positivo, lo que acota qué tan grande puede ser el entero positivo $y$ .

$x = 100 - 2y$ must be positive, which bounds how large the positive integer $y$ can be

Solución:

Escribiendo $x = 100 - 2y,$ el valor de $x$ es un entero positivo precisamente cuando $y$ es un entero positivo con $1 \le y \le 49.$

Esto da $49$ pares ordenados válidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Writing $x = 100 - 2y,$ the value of $x$ is a positive integer precisely when $y$ is a positive integer with $1 \le y \le 49.$

This gives $49$ valid ordered pairs.

Thus, the correct answer is B.

4.

Bertha tiene $6$ hijas y ningún hijo. Algunas de sus hijas tienen $6$ hijas cada una, y las demás no tienen ninguna. Bertha tiene en total $30$ hijas y nietas, y ninguna bisnieta. ¿Cuántas de las hijas y nietas de Bertha no tienen hijas?

Bertha has $6$ daughters and no sons. Some of her daughters have $6$ daughters, and the rest have none. Bertha has a total of $30$ daughters and granddaughters, and no great-granddaughters. How many of Bertha’s daughters and granddaughters have no daughters?

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

Conceptos:conteo básico

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Primero cuenta las nietas, luego determina cuántas hijas tienen descendencia.

First count the granddaughters, then determine how many daughters have children

Pista grande:

Toda mujer que tiene hijas tiene exactamente $6$ .

Every woman with daughters has exactly $6$ of them

Solución:

Bertha tiene $30 - 6 = 24$ nietas, ninguna de las cuales tiene hijas.

Estas nietas son hijas de $\frac{24}{6} = 4$ de las hijas de Bertha, así que exactamente $4$ mujeres tienen hijas.

Por lo tanto, el número de mujeres sin hijas es $30 - 4 = 26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Bertha has $30 - 6 = 24$ granddaughters, none of whom have daughters.

These granddaughters are the children of $\frac{24}{6} = 4$ of Bertha’s daughters, so exactly $4$ women have daughters.

Therefore the number of women with no daughters is $30 - 4 = 26.$

Thus, the correct answer is E.

5.

Se muestra la gráfica de una recta $y = mx + b$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

The graph of a line $y = mx + b$ is shown. Which of the following is true?

$mb \lt -1$

$-1 \lt mb \lt 0$

$mb = 0$

$0 \lt mb \lt 1$

$mb \gt 1$

Conceptos:pendiente geometría analítica

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Lee por separado el signo y el tamaño de la pendiente $m$ y la intersección $b$ con el eje $y$ .

Read the sign and size of the slope $m$ and the $y$ -intercept $b$ separately

Pista grande:

Tanto $m$ como $b$ tienen valor absoluto menor que $1,$ pero signos opuestos.

Both $m$ and $b$ have absolute value less than $1,$ but opposite signs

Solución:

La intersección con el eje $y$ de la recta está entre $0$ y $1,$ así que $0 \lt b \lt 1.$

La pendiente es negativa y poco pronunciada, entre $-1$ y $0,$ así que $-1 \lt m \lt 0.$

Por lo tanto, el producto $mb$ es negativo y tiene valor absoluto menor que $1,$ lo que da $-1 \lt mb \lt 0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The $y$ -intercept of the line is between $0$ and $1,$ so $0 \lt b \lt 1.$

The slope is negative and shallow, between $-1$ and $0,$ so $-1 \lt m \lt 0.$

The product $mb$ is therefore negative with absolute value less than $1,$ giving $-1 \lt mb \lt 0.$

Thus, the correct answer is B.

6.

Sean $U = 2 \cdot 2004^{2005},$ $V = 2004^{2005},$ $W = 2003 \cdot 2004^{2004},$ $X = 2 \cdot 2004^{2004},$ $Y = 2004^{2004}$ y $Z = 2004^{2003}.$ ¿Cuál de los siguientes es el mayor?

Let $U = 2 \cdot 2004^{2005},$ $V = 2004^{2005},$ $W = 2003 \cdot 2004^{2004},$ $X = 2 \cdot 2004^{2004},$ $Y = 2004^{2004}$ and $Z = 2004^{2003}.$ Which of the following is largest?

$U - V$

$V - W$

$W - X$

$X - Y$

$Y - Z$

Conceptos:factorización exponente

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Factoriza cada diferencia para escribirla como un múltiplo de una potencia de $2004$ .

Factor each difference to write it as a multiple of a power of $2004$

Pista grande:

$U - V = 2004^{2005},$ mientras que todas las demás opciones son múltiplos del menor $2004^{2004}$ .

$U - V = 2004^{2005},$ while every other choice is a multiple of the smaller $2004^{2004}$

Solución:

Calcula cada diferencia factorizando:

$U - V = 2004^{2005},$ $V - W = 2004^{2004},$ $W - X = 2001 \cdot 2004^{2004},$ $X - Y = 2004^{2004},$ y $Y - Z = 2003 \cdot 2004^{2003}.$

Como $2004^{2005} = 2004 \cdot 2004^{2004}$ supera a todos los demás, ninguno de los cuales alcanza $2004^{2005},$ la diferencia $U - V$ es la mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Compute each difference by factoring:

$U - V = 2004^{2005},$ $V - W = 2004^{2004},$ $W - X = 2001 \cdot 2004^{2004},$ $X - Y = 2004^{2004},$ and $Y - Z = 2003 \cdot 2004^{2003}.$

Since $2004^{2005} = 2004 \cdot 2004^{2004}$ exceeds each of the others, none of which reaches $2004^{2005},$ the difference $U - V$ is the largest.

Thus, the correct answer is A.

7.

Se juega un juego con fichas según la siguiente regla. En cada ronda, el jugador con más fichas da una ficha a cada uno de los otros jugadores y además coloca una ficha en una pila de descarte. El juego termina cuando algún jugador se queda sin fichas. Los jugadores $A,$ $B,$ y $C$ comienzan con $15,$ $14,$ y $13$ fichas, respectivamente. ¿Cuántas rondas tendrá el juego?

A game is played with tokens according to the following rule. In each round, the player with the most tokens gives one token to each of the other players and also places one token into a discard pile. The game ends when some player runs out of tokens. Players $A,$ $B,$ and $C$ start with $15,$ $14,$ and $13$ tokens, respectively. How many rounds will there be in the game?

$36$

$37$

$38$

$39$

$40$

Conceptos:simulación de procesos invariante

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Sigue el conteo de fichas durante un ciclo completo de tres rondas.

Track the token counts over one full cycle of three rounds

Pista grande:

Cada tres rondas cada jugador pierde exactamente una ficha, así que halla cuándo el líder llega a $0$ .

Every three rounds each player loses exactly one token, so find when the leader hits $0$

Solución:

Después de tres rondas los jugadores $A,$ $B,$ y $C$ tienen $14,$ $13,$ y $12$ fichas, respectivamente. Cada tres rondas siguientes reducen en una ficha la reserva de cada jugador.

Después de $36$ rondas tienen $3,$ $2,$ y $1$ fichas. En la ronda $37$ , el jugador $A,$ que tiene más, regala las tres de sus fichas y se queda sin ninguna, terminando el juego.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

After three rounds the players $A,$ $B,$ and $C$ have $14,$ $13,$ and $12$ tokens, respectively. Every subsequent three rounds reduces each player’s supply by one token.

After $36$ rounds they have $3,$ $2,$ and $1$ tokens. In the $37$ th round player $A,$ who has the most, gives away all three of their tokens and runs out, ending the game.

Thus, the correct answer is B.

8.

En la figura, $\angle EAB$ y $\angle ABC$ son ángulos rectos, $AB = 4,$ $BC = 6,$ $AE = 8,$ y $\overline{AC}$ y $\overline{BE}$ se cortan en $D.$ ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de $\triangle ADE$ y $\triangle BDC$ ?

In the figure, $\angle EAB$ and $\angle ABC$ are right angles, $AB = 4,$ $BC = 6,$ $AE = 8,$ and $\overline{AC}$ and $\overline{BE}$ intersect at $D.$ What is the difference between the areas of $\triangle ADE$ and $\triangle BDC?$

$2$

$4$

$5$

$8$

$9$

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Suma el triángulo común $\triangle ABD$ a cada uno de los dos triángulos.

Add the shared triangle $\triangle ABD$ to each of the two triangles

Pista grande:

La diferencia es igual a $[\triangle ABE] - [\triangle ABC]$ .

The difference equals $[\triangle ABE] - [\triangle ABC]$

Solución:

Sean $x,$ $y,$ y $z$ las áreas de $\triangle ADE,$ $\triangle BDC,$ y $\triangle ABD,$ respectivamente.

Entonces $\triangle ABE$ tiene área $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 8 = 16 = x + z,$ y $\triangle ABC$ tiene área $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 6 = 12 = y + z.$

La diferencia buscada es $\begin{aligned} x - y &= (x + z) - (y + z) \\ &= 16 - 12 = 4. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $x,$ $y,$ and $z$ be the areas of $\triangle ADE,$ $\triangle BDC,$ and $\triangle ABD,$ respectively.

Then $\triangle ABE$ has area $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 8 = 16 = x + z,$ and $\triangle ABC$ has area $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 6 = 12 = y + z.$

The requested difference is $\begin{aligned} x - y &= (x + z) - (y + z) \\ &= 16 - 12 = 4. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

9.

Una compañía vende mantequilla de maní en frascos cilíndricos. La investigación de mercado sugiere que usar frascos más anchos aumentará las ventas. Si el diámetro de los frascos se aumenta en un $25\%$ sin alterar el volumen, ¿en qué porcentaje debe disminuirse la altura?

A company sells peanut butter in cylindrical jars. Marketing research suggests that using wider jars will increase sales. If the diameter of the jars is increased by $25\%$ without altering the volume, by what percent must the height be decreased?

$10$

$25$

$36$

$50$

$60$

Conceptos:cilindro escalamiento de potencias de longitud, área y volumen porcentaje

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

El área de la base escala con el cuadrado del diámetro.

The base area scales with the square of the diameter

Pista grande:

Multiplicar el diámetro por $\tfrac54$ multiplica el área de la base por $\left(\tfrac54\right)^2$ .

Multiplying the diameter by $\tfrac54$ multiplies the base area by $\left(\tfrac54\right)^2$

Solución:

Multiplicar el diámetro por $\tfrac54$ multiplica el área de la base por $\left(\tfrac54\right)^2 = \tfrac{25}{16}.$

Para mantener el volumen fijo, la altura debe multiplicarse por $\tfrac{16}{25} = 0.64.$ Eso es una disminución de $1 - 0.64 = 0.36,$ es decir, $36\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Multiplying the diameter by $\tfrac54$ multiplies the base area by $\left(\tfrac54\right)^2 = \tfrac{25}{16}.$

To keep the volume fixed, the height must be multiplied by $\tfrac{16}{25} = 0.64.$ That is a decrease of $1 - 0.64 = 0.36,$ or $36\%.$

Thus, the correct answer is C.

10.

La suma de $49$ enteros consecutivos es $7^5.$ ¿Cuál es su mediana?

The sum of $49$ consecutive integers is $7^5.$ What is their median?

$7$

$7^2$

$7^3$

$7^4$

$7^5$

Conceptos:sucesión aritmética media

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Para enteros consecutivos la mediana es igual a la media.

For consecutive integers the median equals the mean

Pista grande:

La mediana es la suma dividida entre el número de términos, $\dfrac{7^5}{49}$ .

The median is the sum divided by the number of terms, $\dfrac{7^5}{49}$

Solución:

La suma de un conjunto de enteros consecutivos es igual al número de términos por su media, y para enteros consecutivos la media es igual a la mediana.

Así que la mediana es $\dfrac{7^5}{49} = \dfrac{7^5}{7^2} = 7^3 = 343.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sum of a set of consecutive integers equals the number of terms times their mean, and for consecutive integers the mean equals the median.

So the median is $\dfrac{7^5}{49} = \dfrac{7^5}{7^2} = 7^3 = 343.$

Thus, the correct answer is C.

11.

El valor promedio de todas las monedas de un centavo, cinco centavos, diez centavos y veinticinco centavos en el bolso de Paula es de $20$ centavos. Si tuviera una moneda de veinticinco centavos más, el valor promedio sería de $21$ centavos. ¿Cuántas monedas de diez centavos tiene en su bolso?

The average value of all the pennies, nickels, dimes, and quarters in Paula’s purse is $20$ cents. If she had one more quarter, the average value would be $21$ cents. How many dimes does she have in her purse?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:media ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Sea $n$ el número actual de monedas y escribe el valor total de dos maneras después de agregar una moneda de veinticinco centavos.

Let $n$ be the current number of coins and write the total value two ways after adding a quarter

Pista grande:

Resuelve $20n + 25 = 21(n + 1)$ para $n,$ luego averigua qué monedas suman $20n$ centavos.

Solve $20n + 25 = 21(n + 1)$ for $n,$ then figure out which coins total $20n$ cents

Solución:

Si Paula tiene $n$ monedas, su valor total es de $20n$ centavos. Agregar una moneda de veinticinco centavos da $n + 1$ monedas que valen $20n + 25$ centavos, lo que también debe ser igual a $21(n + 1)$ centavos.

Así que $20n + 25 = 21(n + 1),$ lo que da $n = 4.$

Cuatro monedas que suman $80$ centavos deben ser tres monedas de veinticinco centavos y una de cinco centavos, así que el número de monedas de diez centavos es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If Paula has $n$ coins, their total value is $20n$ cents. Adding a quarter gives $n + 1$ coins worth $20n + 25$ cents, which must also equal $21(n + 1)$ cents.

So $20n + 25 = 21(n + 1),$ giving $n = 4.$

Four coins totalling $80$ cents must be three quarters and one nickel, so the number of dimes is $0.$

Thus, the correct answer is A.

12.

Sean $A = (0, 9)$ y $B = (0, 12).$ Los puntos $A'$ y $B'$ están sobre la recta $y = x,$ y $\overline{AA'}$ y $\overline{BB'}$ se cortan en $C = (2, 8).$ ¿Cuál es la longitud de $\overline{A'B'}$ ?

Let $A = (0, 9)$ and $B = (0, 12).$ Points $A'$ and $B'$ are on the line $y = x,$ and $\overline{AA'}$ and $\overline{BB'}$ intersect at $C = (2, 8).$ What is the length of $\overline{A'B'}?$

$2$

$2\sqrt{2}$

$3$

$2 + \sqrt{2}$

$3\sqrt{2}$

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Halla las ecuaciones de las rectas $AC$ y $BC,$ luego interseca cada una con $y = x$ .

Find the equations of lines $AC$ and $BC,$ then intersect each with $y = x$

Pista grande:

$A'$ y $B'$ ambos están sobre $y = x,$ así que cada uno tiene coordenadas iguales.

$A'$ and $B'$ both lie on $y = x,$ so each has equal coordinates

Solución:

La recta $AC$ pasa por $(0, 9)$ con pendiente $\tfrac{8 - 9}{2 - 0} = -\tfrac12,$ así que su ecuación es $y = -\tfrac12 x + 9.$ Al hacer $y = x$ se obtiene $A' = (6, 6).$

La recta $BC$ pasa por $(0, 12)$ con pendiente $-2,$ así que $y = -2x + 12.$ Al hacer $y = x$ se obtiene $B' = (4, 4).$

Entonces $\begin{aligned} A'B' &= \sqrt{(6 - 4)^2 + (6 - 4)^2} \\ &= 2\sqrt{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Line $AC$ passes through $(0, 9)$ with slope $\tfrac{8 - 9}{2 - 0} = -\tfrac12,$ so its equation is $y = -\tfrac12 x + 9.$ Setting $y = x$ gives $A' = (6, 6).$

Line $BC$ passes through $(0, 12)$ with slope $-2,$ so $y = -2x + 12.$ Setting $y = x$ gives $B' = (4, 4).$

Then $\begin{aligned} A'B' &= \sqrt{(6 - 4)^2 + (6 - 4)^2} \\ &= 2\sqrt{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

13.

Sea $S$ el conjunto de puntos $(a, b)$ en el plano coordenado, donde cada uno de $a$ y $b$ puede ser $-1,$ $0,$ o $1.$ ¿Cuántas rectas distintas pasan por al menos dos elementos de $S$ ?

Let $S$ be the set of points $(a, b)$ in the coordinate plane, where each of $a$ and $b$ may be $-1,$ $0,$ or $1.$ How many distinct lines pass through at least two members of $S?$

$8$

$20$

$24$

$27$

$36$

Conceptos:punto reticular combinaciones

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Comienza con los $\binom{9}{2}$ pares de puntos, cada uno de los cuales determina una recta.

Start from the $\binom{9}{2}$ pairs of points, each of which determines a line

Pista grande:

Algunas rectas pasan por tres puntos colineales y se cuentan $\binom{3}{2} = 3$ veces.

Some lines pass through three collinear points and get counted $\binom{3}{2} = 3$ times

Solución:

Hay $\binom{9}{2} = 36$ pares de puntos, y cada par determina una recta.

Sin embargo, hay tres rectas horizontales, tres verticales y dos diagonales que cada una pasa por tres puntos colineales de $S.$ Cada una de esas rectas se cuenta $3$ veces, un exceso de $2$ por recta.

Con $8$ rectas de este tipo, el número de rectas distintas es $36 - 2 \cdot 8 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $\binom{9}{2} = 36$ pairs of points, and each pair determines a line.

However, there are three horizontal, three vertical, and two diagonal lines that each pass through three collinear points of $S.$ Each such line is counted $3$ times, an overcount of $2$ per line.

With $8$ such lines, the number of distinct lines is $36 - 2 \cdot 8 = 20.$

Thus, the correct answer is B.

14.

Una sucesión de tres números reales forma una progresión aritmética con primer término $9.$ Si se suma $2$ al segundo término y se suma $20$ al tercer término, los tres números resultantes forman una progresión geométrica. ¿Cuál es el menor valor posible del tercer término de la progresión geométrica?

A sequence of three real numbers forms an arithmetic progression with a first term of $9.$ If $2$ is added to the second term and $20$ is added to the third term, the three resulting numbers form a geometric progression. What is the smallest possible value for the third term of the geometric progression?

$1$

$4$

$36$

$49$

$81$

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica cuadrática

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Escribe los términos aritméticos como $9,$ $9 + d,$ $9 + 2d$ .

Write the arithmetic terms as $9,$ $9 + d,$ $9 + 2d$

Pista grande:

En una progresión geométrica el cuadrado del término medio es igual al producto de los términos extremos.

In a geometric progression the middle term squared equals the product of the outer terms

Solución:

La progresión aritmética es $9,$ $9 + d,$ $9 + 2d.$ Después de las sumas, la progresión geométrica es $9,$ $11 + d,$ $29 + 2d.$

La condición geométrica da $(11 + d)^2 = 9(29 + 2d),$ que se simplifica a $d^2 + 4d - 140 = 0,$ así que $d = 10$ o $d = -14.$

Los terceros términos correspondientes $29 + 2d$ son $49$ y $1,$ así que el menor valor posible es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The arithmetic progression is $9,$ $9 + d,$ $9 + 2d.$ After the additions, the geometric progression is $9,$ $11 + d,$ $29 + 2d.$

The geometric condition gives $(11 + d)^2 = 9(29 + 2d),$ which simplifies to $d^2 + 4d - 140 = 0,$ so $d = 10$ or $d = -14.$

The corresponding third terms $29 + 2d$ are $49$ and $1,$ so the smallest possible value is $1.$

Thus, the correct answer is A.

15.

Brenda y Sally corren en direcciones opuestas sobre una pista circular, partiendo de puntos diametralmente opuestos. Se encuentran por primera vez después de que Brenda ha corrido $100$ metros. Se encuentran de nuevo después de que Sally ha corrido $150$ metros más allá de su primer punto de encuentro. Cada una corre a velocidad constante. ¿Cuál es la longitud de la pista en metros?

Brenda and Sally run in opposite directions on a circular track, starting at diametrically opposite points. They first meet after Brenda has run $100$ meters. They next meet after Sally has run $150$ meters past their first meeting point. Each girl runs at a constant speed. What is the length of the track in meters?

$250$

$300$

$350$

$400$

$500$

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Para el primer encuentro las dos juntas han recorrido la mitad de la pista.

By the first meeting the two together have covered half the track

Pista grande:

Entre el primer y el segundo encuentro juntas recorren una pista completa, así que Brenda corre el doble de su primer tramo.

Between the first and second meetings they together cover a full track, so Brenda runs twice her first leg

Solución:

Partiendo de extremos opuestos, cuando se encuentran por primera vez juntas han corrido la mitad de la pista. Entre el primer y el segundo encuentro, juntas corren una longitud completa de pista.

Como Brenda corre a velocidad constante y recorrió $100$ metros antes del primer encuentro, recorre $2 \cdot 100 = 200$ metros entre los dos encuentros.

Sumando los $150$ metros de Sally durante ese mismo intervalo da una longitud de pista de $200 + 150 = 350$ metros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Starting at opposite ends, when they first meet they have together run half the track. Between the first and second meetings, they together run a full track length.

Since Brenda runs at a constant speed and covered $100$ meters before the first meeting, she covers $2 \cdot 100 = 200$ meters between the two meetings.

Adding Sally’s $150$ meters over that same interval gives a track length of $200 + 150 = 350$ meters.

Thus, the correct answer is C.

16.

El conjunto de todos los números reales $x$ para los cuales $\small \log_{2004}(\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)))$ está definido es $\{x \mid x \gt c\}.$ ¿Cuál es el valor de $c$ ?

The set of all real numbers $x$ for which $\small \log_{2004}(\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)))$ is defined is $\{x \mid x \gt c\}.$ What is the value of $c?$

$0$

$2001^{2002}$

$2002^{2003}$

$2003^{2004}$

$2001^{2002^{2003}}$

Conceptos:logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Trabaja de afuera hacia adentro: cada logaritmo requiere que su argumento sea positivo.

Work from the outside in: each logarithm requires its argument to be positive

Pista grande:

$\log_{2004}(\cdots)$ está definido solo cuando $\log_{2003}(\cdots) \gt 0,$ es decir, cuando el siguiente argumento excede $1$ .

$\log_{2004}(\cdots)$ is defined only when $\log_{2003}(\cdots) \gt 0,$ i.e. the next argument exceeds $1$

Solución:

La expresión está definida si y solo si $\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)) \gt 0,$ es decir, $\log_{2002}(\log_{2001} x) \gt 1.$

Esto se cumple si y solo si $\log_{2001} x \gt 2002,$ lo que equivale a $x \gt 2001^{2002}.$

Por consiguiente, $c = 2001^{2002}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The expression is defined if and only if $\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)) \gt 0,$ that is, $\log_{2002}(\log_{2001} x) \gt 1.$

This holds if and only if $\log_{2001} x \gt 2002,$ which is equivalent to $x \gt 2001^{2002}.$

Therefore $c = 2001^{2002}.$

Thus, the correct answer is B.

17.

Sea $f$ una función con las siguientes propiedades:

(i) $f(1) = 1,$ y

(ii) $f(2n) = n \cdot f(n)$ para cualquier entero positivo $n.$

¿Cuál es el valor de $f(2^{100})$ ?

Let $f$ be a function with the following properties:

(i) $f(1) = 1,$ and

(ii) $f(2n) = n \cdot f(n)$ for any positive integer $n.$

What is the value of $f(2^{100})?$

$1$

$2^{99}$

$2^{100}$

$2^{4950}$

$2^{9999}$

Conceptos:ecuación funcional recursión sumatoria

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Aplica la regla repetidamente con $n = 2^{k}$ para desenrollar $f(2^{100})$ .

Apply the rule repeatedly with $n = 2^{k}$ to unwind $f(2^{100})$

Pista grande:

El exponente se acumula como $1 + 2 + \cdots + 99$ .

The exponent accumulates as $1 + 2 + \cdots + 99$

Solución:

Aplicando $f(2n) = n \cdot f(n)$ con $n = 2^{k},$ obtenemos $f(2^{k+1}) = 2^{k} \cdot f(2^{k}).$

Desenrollando desde $f(2^1) = f(2) = 1 \cdot f(1) = 2^0,$ los exponentes se acumulan: $\begin{aligned} f(2^n) &= 2^{0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1)} \\ &= 2^{\frac{n(n-1)}{2}}. \end{aligned}$

Por lo tanto, $f(2^{100}) = 2^{\frac{100 \cdot 99}{2}} = 2^{4950}.$

Por consiguiente, la respuesta correcta es D.

Applying $f(2n) = n \cdot f(n)$ with $n = 2^{k},$ we get $f(2^{k+1}) = 2^{k} \cdot f(2^{k}).$

Unwinding from $f(2^1) = f(2) = 1 \cdot f(1) = 2^0,$ the exponents accumulate: $\begin{aligned} f(2^n) &= 2^{0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1)} \\ &= 2^{\frac{n(n-1)}{2}}. \end{aligned}$

Therefore $f(2^{100}) = 2^{\frac{100 \cdot 99}{2}} = 2^{4950}.$

Thus, the correct answer is D.

18.

El cuadrado $ABCD$ tiene lado $2.$ Se construye un semicírculo con diámetro $\overline{AB}$ dentro del cuadrado, y la tangente al semicírculo desde $C$ corta al lado $\overline{AD}$ en $E.$ ¿Cuál es la longitud de $\overline{CE}$ ?

Square $ABCD$ has side length $2.$ A semicircle with diameter $\overline{AB}$ is constructed inside the square, and the tangent to the semicircle from $C$ intersects side $\overline{AD}$ at $E.$ What is the length of $\overline{CE}?$

$\dfrac{2 + \sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

$\dfrac{5}{2}$

$5 - \sqrt{5}$

Conceptos:recta tangente potencia de un punto Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Dos segmentos tangentes desde un punto exterior común a una circunferencia son iguales.

Two tangent segments from a common external point to a circle are equal

Pista grande:

Con $x = AE,$ las longitudes de las tangentes dan $CE = 2 + x,$ luego aplica el teorema de Pitágoras al $\triangle CDE$ .

With $x = AE,$ the tangent lengths give $CE = 2 + x,$ then apply the Pythagorean theorem to $\triangle CDE$

Solución:

Sea $F$ el punto donde $CE$ toca el semicírculo. Como $CB$ y $CF$ son ambas tangentes desde $C,$ tenemos $CF = CB = 2.$ De manera similar, con $x = AE,$ las tangentes desde $E$ dan $EF = EA = x.$

Así que $CE = CF + FE = 2 + x.$ En el triángulo rectángulo $CDE,$ donde $CD = 2$ y $DE = 2 - x,$ $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$

Al desarrollar se obtiene $8x = 4,$ así que $x = \tfrac12$ y $CE = 2 + \tfrac12 = \tfrac52.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $F$ be the point where $CE$ touches the semicircle. Since $CB$ and $CF$ are both tangents from $C,$ we have $CF = CB = 2.$ Similarly, with $x = AE,$ the tangents from $E$ give $EF = EA = x.$

Thus $CE = CF + FE = 2 + x.$ In right triangle $CDE,$ where $CD = 2$ and $DE = 2 - x,$ $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$

Expanding gives $8x = 4,$ so $x = \tfrac12$ and $CE = 2 + \tfrac12 = \tfrac52.$

Thus, the correct answer is D.

19.

Las circunferencias $A,$ $B,$ y $C$ son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente a la circunferencia $D.$ Las circunferencias $B$ y $C$ son congruentes. La circunferencia $A$ tiene radio $1$ y pasa por el centro de $D.$ ¿Cuál es el radio de la circunferencia $B$ ?

Circles $A,$ $B,$ and $C$ are externally tangent to each other and internally tangent to circle $D.$ Circles $B$ and $C$ are congruent. Circle $A$ has radius $1$ and passes through the center of $D.$ What is the radius of circle $B?$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{8}{9}$

$\dfrac{1 + \sqrt{3}}{3}$

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Como $A$ pasa por el centro de $D$ y es tangente internamente, la circunferencia $D$ tiene radio $2$ .

Since $A$ passes through the center of $D$ and is internally tangent, circle $D$ has radius $2$

Pista grande:

Coloca el centro de $D$ en el origen; usa los triángulos rectángulos formados por los centros y el eje de simetría.

Place the center of $D$ at the origin; use right triangles formed by the centers and the axis of symmetry

Solución:

La circunferencia $A$ tiene radio $1$ y pasa por el centro de $D$ mientras es tangente internamente a $D,$ así que $D$ tiene radio $2.$

Coloca el centro de $D$ en el origen, con $A$ centrada en $(-1, 0).$ Por simetría, $B$ tiene centro $(x, y)$ y radio $r,$ con $C$ su imagen especular respecto al eje horizontal, así que las dos circunferencias congruentes se tocan sobre ese eje y $y = r.$

La tangencia interna a $D$ da $x^2 + y^2 = (2 - r)^2,$ y la tangencia externa a $A$ da $(x + 1)^2 + y^2 = (1 + r)^2.$

Restando y usando $y = r$ se obtiene $x = \tfrac23$ y $r = \tfrac89.$ El radio de la circunferencia $B$ es $\tfrac89.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Circle $A$ has radius $1$ and passes through the center of $D$ while being internally tangent to $D,$ so $D$ has radius $2.$

Place the center of $D$ at the origin, with $A$ centered at $(-1, 0).$ By symmetry, $B$ has center $(x, y)$ and radius $r,$ with $C$ its mirror image across the horizontal axis, so the two congruent circles touch on that axis and $y = r.$

Internal tangency to $D$ gives $x^2 + y^2 = (2 - r)^2,$ and external tangency to $A$ gives $(x + 1)^2 + y^2 = (1 + r)^2.$

Subtracting and using $y = r$ yields $x = \tfrac23$ and $r = \tfrac89.$ The radius of circle $B$ is $\tfrac89.$

Thus, the correct answer is D.

20.

Selecciona números $a$ y $b$ entre $0$ y $1$ de manera independiente y al azar, y sea $c$ su suma. Sean $A,$ $B,$ y $C$ los resultados cuando $a,$ $b,$ y $c,$ respectivamente, se redondean al entero más cercano. ¿Cuál es la probabilidad de que $A + B = C$ ?

Select numbers $a$ and $b$ between $0$ and $1$ independently and at random, and let $c$ be their sum. Let $A,$ $B,$ and $C$ be the results when $a,$ $b,$ and $c,$ respectively, are rounded to the nearest integer. What is the probability that $A + B = C?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Modela $(a, b)$ como un punto aleatorio en el cuadrado unitario y divide según si cada uno de $a, b$ está por debajo de $\tfrac12$ .

Model $(a, b)$ as a random point in the unit square and split by whether each of $a, b$ is below $\tfrac12$

Pista grande:

La condición falla solo cuando $a, b \ge \tfrac12$ pero $a + b \lt \tfrac32,$ o $a, b \lt \tfrac12$ pero $a + b \ge \tfrac12$ .

The condition fails only when $a, b \ge \tfrac12$ but $a + b \lt \tfrac32,$ or $a, b \lt \tfrac12$ but $a + b \ge \tfrac12$

Solución:

Representemos las elecciones como un punto $(a, b)$ del cuadrado unitario. Cada uno de $a$ y $b$ se redondea a $0$ si es menor que $\tfrac12$ , y a $1$ en caso contrario, mientras que $c = a + b$ se redondea según $\tfrac12$ y $\tfrac32.$

La ecuación falla exactamente en dos regiones. Si $a, b \lt \tfrac12,$ falla cuando $a + b \ge \tfrac12;$ este es un triángulo rectángulo de área $\tfrac18.$ Si $a, b \ge \tfrac12,$ falla cuando $a + b \lt \tfrac32;$ este es otro triángulo rectángulo de área $\tfrac18.$ Cuando exactamente uno de $a, b$ es al menos $\tfrac12,$ la ecuación siempre se cumple.

Así, la probabilidad de que falle es $\tfrac18 + \tfrac18 = \tfrac14,$ y la probabilidad pedida es $1 - \tfrac14 = \tfrac34.$

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Represent the choices as a point $(a, b)$ in the unit square. Each of $a$ and $b$ rounds to $0$ if below $\tfrac12$ and to $1$ otherwise, while $c = a + b$ rounds based on $\tfrac12$ and $\tfrac32.$

The equation fails in exactly two regions. If $a, b \lt \tfrac12,$ it fails when $a + b \ge \tfrac12;$ this is a right triangle of area $\tfrac18.$ If $a, b \ge \tfrac12,$ it fails when $a + b \lt \tfrac32;$ this is another right triangle of area $\tfrac18.$ When exactly one of $a, b$ is at least $\tfrac12,$ the equation always holds.

Thus the failure probability is $\tfrac18 + \tfrac18 = \tfrac14,$ so the requested probability is $1 - \tfrac14 = \tfrac34.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Si $\sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta = 5,$ ¿cuál es el valor de $\cos 2\theta$ ?

If $\sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta = 5,$ what is the value of $\cos 2\theta?$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

Conceptos:sucesión geométrica identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

La serie es geométrica con razón $\cos^2 \theta$ .

The series is geometric with ratio $\cos^2 \theta$

Pista grande:

Suma para obtener $\dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5,$ luego usa $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ .

Sum to get $\dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5,$ then use $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$

Solución:

La serie es geométrica con primer término $1$ y razón $\cos^2 \theta,$ así que su suma es $\dfrac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5.$

Así que $\sin^2 \theta = \tfrac15,$ y $\begin{aligned} \cos 2\theta &= 1 - 2\sin^2 \theta \\ &= 1 - \tfrac25 = \tfrac35. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The series is geometric with first term $1$ and ratio $\cos^2 \theta,$ so its sum is $\dfrac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5.$

Thus $\sin^2 \theta = \tfrac15,$ and $\begin{aligned} \cos 2\theta &= 1 - 2\sin^2 \theta \\ &= 1 - \tfrac25 = \tfrac35. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

22.

Tres esferas mutuamente tangentes de radio $1$ descansan sobre un plano horizontal. Una esfera de radio $2$ descansa sobre ellas. ¿Cuál es la distancia desde el plano hasta la parte superior de la esfera más grande?

Three mutually tangent spheres of radius $1$ rest on a horizontal plane. A sphere of radius $2$ rests on them. What is the distance from the plane to the top of the larger sphere?

$3 + \dfrac{\sqrt{30}}{2}$

$3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}$

$3 + \dfrac{\sqrt{123}}{4}$

$\dfrac{52}{9}$

$3 + 2\sqrt{2}$

Conceptos:esfera baricentro Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Los tres centros pequeños forman un triángulo equilátero de lado $2$ a una altura $1$ .

The three small centers form an equilateral triangle of side $2$ at height $1$

Pista grande:

El centro grande está sobre el baricentro del triángulo; usa la distancia entre centros $1 + 2 = 3$ para hallar su altura.

The big center lies above the triangle’s centroid; use the distance between centers $1 + 2 = 3$ to find its height

Solución:

Sean $A,$ $B,$ $C,$ los centros de las tres esferas unitarias, que forman un triángulo equilátero de lado $2$ a una altura $1$ sobre el plano, y sea $E$ el centro de la esfera grande directamente sobre el baricentro $D$ de $\triangle ABC.$

La distancia desde un vértice al baricentro es $AD = \tfrac{2\sqrt3}{3},$ y $AE = 1 + 2 = 3,$ así que $\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\tfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \tfrac{4}{3}} \\ &= \dfrac{\sqrt{69}}{3}. \end{aligned}$

Como $D$ está $1$ unidad sobre el plano y la parte superior de la esfera grande está $2$ unidades sobre $E,$ la altura total es $1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the centers of the three unit spheres be $A,$ $B,$ $C,$ forming an equilateral triangle of side $2$ at height $1$ above the plane, and let $E$ be the center of the large sphere directly above the centroid $D$ of $\triangle ABC.$

The distance from a vertex to the centroid is $AD = \tfrac{2\sqrt3}{3},$ and $AE = 1 + 2 = 3,$ so $\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\tfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \tfrac{4}{3}} \\ &= \dfrac{\sqrt{69}}{3}. \end{aligned}$

Since $D$ is $1$ unit above the plane and the top of the large sphere is $2$ units above $E,$ the total height is $1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

23.

Un polinomio $\begin{aligned} &P(x) = c_{2004} x^{2004} + c_{2003} x^{2003} \\ &\quad {}+ \cdots + c_1 x + c_0 \end{aligned}$ tiene coeficientes reales con $c_{2004} \ne 0$ y $2004$ ceros complejos distintos $z_k = a_k + b_k i,$ $1 \le k \le 2004$ con $a_k$ y $b_k$ reales, $a_1 = b_1 = 0,$ y $\sum_{k=1}^{2004} a_k = \sum_{k=1}^{2004} b_k.$ ¿Cuál de las siguientes cantidades puede ser un número distinto de cero?

A polynomial $\begin{aligned} &P(x) = c_{2004} x^{2004} + c_{2003} x^{2003} \\ &\quad {}+ \cdots + c_1 x + c_0 \end{aligned}$ has real coefficients with $c_{2004} \ne 0$ and $2004$ distinct complex zeros $z_k = a_k + b_k i,$ $1 \le k \le 2004$ with $a_k$ and $b_k$ real, $a_1 = b_1 = 0,$ and $\sum_{k=1}^{2004} a_k = \sum_{k=1}^{2004} b_k.$ Which of the following quantities can be a nonzero number?

$c_0$

$c_{2003}$

$b_2 b_3 \ldots b_{2004}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{2004} a_k$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{2004} c_k$

Conceptos:número complejo Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Como $z_1 = 0$ es una raíz, $c_0 = P(0) = 0;$ las raíces no reales vienen en pares conjugados.

Since $z_1 = 0$ is a root, $c_0 = P(0) = 0;$ nonreal roots come in conjugate pairs

Pista grande:

$\sum c_k = P(1),$ que no está obligado a ser cero; verifica que cada una de las otras opciones debe anularse.

$\sum c_k = P(1),$ which is not forced to be zero; check each other option must vanish

Solución:

Como $z_1 = a_1 + b_1 i = 0$ es una raíz, $c_0 = P(0) = 0.$

Los ceros no reales ocurren en pares conjugados, así que $\sum b_k = 0,$ y la hipótesis entonces obliga a $\sum a_k = 0.$ El coeficiente $c_{2003}$ es igual a $-c_{2004}$ por la suma de las raíces $\sum a_k + i \sum b_k = 0,$ así que $c_{2003} = 0.$

Como el grado es par, al menos uno de $z_2, \ldots, z_{2004}$ es real, haciendo que un $b_k = 0,$ así que $b_2 b_3 \cdots b_{2004} = 0.$ Por lo tanto, (A) a (D) todos deben ser $0.$

Por otro lado, $\sum_{k=1}^{2004} c_k = P(1),$ y un polinomio válido como $P(x) = x(x - 2)(x - 3) \cdots$ $\cdot (x - 2003)$ $\cdot \left(x + \sum_{k=2}^{2003} k\right)$ cumple $P(1) \ne 0.$ Así que solo $\sum c_k$ puede ser distinto de cero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $z_1 = a_1 + b_1 i = 0$ is a root, $c_0 = P(0) = 0.$

The nonreal zeros occur in conjugate pairs, so $\sum b_k = 0,$ and the hypothesis then forces $\sum a_k = 0.$ The coefficient $c_{2003}$ equals $-c_{2004}$ times the sum of the roots $\sum a_k + i \sum b_k = 0,$ so $c_{2003} = 0.$

Because the degree is even, at least one of $z_2, \ldots, z_{2004}$ is real, making one $b_k = 0,$ so $b_2 b_3 \cdots b_{2004} = 0.$ Thus (A) through (D) all must be $0.$

On the other hand, $\sum_{k=1}^{2004} c_k = P(1),$ and a valid polynomial such as $P(x) = x(x - 2)(x - 3) \cdots$ $\cdot (x - 2003)$ $\cdot \left(x + \sum_{k=2}^{2003} k\right)$ has $P(1) \ne 0.$ So only $\sum c_k$ can be nonzero.

Thus, the correct answer is E.

24.

Un plano contiene puntos $A$ y $B$ con $AB = 1.$ Sea $S$ la unión de todos los discos de radio $1$ en el plano que cubren $\overline{AB}.$ ¿Cuál es el área de $S$ ?

A plane contains points $A$ and $B$ with $AB = 1.$ Let $S$ be the union of all disks of radius $1$ in the plane that cover $\overline{AB}.$ What is the area of $S?$

$2\pi + \sqrt{3}$

$\dfrac{8\pi}{3}$

$3\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{10\pi}{3} - \sqrt{3}$

$4\pi - 2\sqrt{3}$

Conceptos:descomposición de áreas sector circular círculo

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Un disco de radio $1$ cubre $\overline{AB}$ exactamente cuando su centro está a distancia menor o igual a $1$ de $A$ y de $B$ .

A radius- $1$ disk covers $\overline{AB}$ exactly when its center lies within $1$ of both $A$ and $B$

Pista grande:

Halla esa región $R$ en forma de lente de centros, luego $S$ es todos los puntos a distancia menor o igual a $1$ de $R$ .

Find that lens-shaped region $R$ of centers, then $S$ is all points within $1$ of $R$

Solución:

Un disco de radio $1$ cubre el segmento $\overline{AB}$ exactamente cuando su centro está a distancia menor o igual a $1$ de $A$ y de $B.$ Esa región $R$ es la lente donde se solapan las dos circunferencias unitarias centradas en $A$ y $B$ .

Cada circunferencia unitaria pasa por el centro de la otra, así que la lente está delimitada por dos arcos de $120^\circ$ . Dos sectores de $120^\circ$ de área $\tfrac{\pi}{3}$ se solapan en dos triángulos equiláteros de área total $\tfrac{\sqrt3}{2},$ lo que da a $R$ un área de $\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.$

El conjunto $S$ consiste en todos los puntos a distancia menor o igual a $1$ de $R.$ Más allá de $R$ mismo, esto añade dos sectores de $60^\circ$ de radio $1$ (cada uno de área $\tfrac{\pi}{6}$ ) y dos coronas de $120^\circ$ de radio exterior $2$ y radio interior $1$ (cada una de área $\pi$ ).

Por lo tanto, el área de $S$ es $\begin{aligned} &\left(\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + 2 \cdot \tfrac{\pi}{6} \\ &\quad {}+ 2\pi = 3\pi - \tfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A radius- $1$ disk covers segment $\overline{AB}$ exactly when its center is within $1$ of both $A$ and $B.$ That region $R$ is the lens where the two unit circles centered at $A$ and $B$ overlap.

Each unit circle passes through the other’s center, so the lens is bounded by two $120^\circ$ arcs. Two $120^\circ$ sectors of area $\tfrac{\pi}{3}$ overlap in two equilateral triangles of total area $\tfrac{\sqrt3}{2},$ giving $R$ area $\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.$

The set $S$ consists of all points within $1$ of $R.$ Beyond $R$ itself, this adds two $60^\circ$ sectors of radius $1$ (each area $\tfrac{\pi}{6}$ ) and two $120^\circ$ annuli of outer radius $2$ and inner radius $1$ (each area $\pi$ ).

Therefore the area of $S$ is $\begin{aligned} &\left(\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + 2 \cdot \tfrac{\pi}{6} \\ &\quad {}+ 2\pi = 3\pi - \tfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

25.

Para cada entero $n \ge 4,$ sea $a_n$ el número en base $n$ dado por $0.\overline{133}_n.$ El producto $a_4 a_5 \ldots a_{99}$ puede expresarse como $\dfrac{m}{n!},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ es tan pequeño como sea posible. ¿Cuál es el valor de $m$ ?

For each integer $n \ge 4,$ let $a_n$ denote the base- $n$ number $0.\overline{133}_n.$ The product $a_4 a_5 \ldots a_{99}$ can be expressed as $\dfrac{m}{n!},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is as small as possible. What is the value of $m?$

$98$

$101$

$132$

$798$

$962$

Conceptos:base numérica telescópica suma y diferencia de cubos

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Una fracción periódica en base $n$ igual a $0.\overline{133}_n$ vale $\dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1}$ .

A repeating base- $n$ fraction $0.\overline{133}_n$ equals $\dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1}$

Pista grande:

Nota que $n^2 + 3n + 3 = \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n},$ lo que hace que el producto se telescope.

Note $n^2 + 3n + 3 = \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n},$ which makes the product telescope

Solución:

Como $n^3 \cdot a_n = 133.\overline{133}_n$ $= a_n + n^2 + 3n + 3,$ obtenemos $\begin{aligned} a_n &= \dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1} \\ &= \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n(n^3 - 1)}. \end{aligned}$

Escribiendo $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$ y $(n+1)^3 - 1$ $= n\big((n+1)^2 + (n+1) + 1\big),$ el producto $a_4 a_5 \cdots a_{99}$ se telescopa a $\begin{gathered} \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{100^3 - 1}{4^3 - 1} \\ {}= \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{99(100^2 + 100 + 1)}{63}. \end{gathered}$

Esto se simplifica a $\dfrac{(2)(10101)}{(21)(98!)} = \dfrac{962}{98!}.$ Si $n \le 97,$ reescribir esta fracción con denominador $n!$ exigiría que $98$ dividiera a $962,$ lo cual no ocurre. Así, el menor $n$ posible es $98,$ y $m = 962.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $n^3 \cdot a_n = 133.\overline{133}_n$ $= a_n + n^2 + 3n + 3,$ we get $\begin{aligned} a_n &= \dfrac{n^2 + 3n + 3}{n^3 - 1} \\ &= \dfrac{(n+1)^3 - 1}{n(n^3 - 1)}. \end{aligned}$

Writing $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$ and $(n+1)^3 - 1$ $= n\big((n+1)^2 + (n+1) + 1\big),$ the product $a_4 a_5 \cdots a_{99}$ telescopes to $\begin{gathered} \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{100^3 - 1}{4^3 - 1} \\ {}= \dfrac{3!}{99!} \cdot \dfrac{99(100^2 + 100 + 1)}{63}. \end{gathered}$

This simplifies to $\dfrac{(2)(10101)}{(21)(98!)} = \dfrac{962}{98!}.$ If $n \le 97,$ then rewriting this fraction with denominator $n!$ would require $98$ to divide $962,$ which it does not. Hence the smallest possible $n$ is $98,$ and $m = 962.$

Thus, the correct answer is E.