Question

Para $n$ un entero positivo, sea $R(n)$ la suma de los residuos cuando $n$ se divide entre $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ y $10.$ Por ejemplo, $\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}$ ¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos $n$ satisfacen $R(n) = R(n + 1)?$

For $n$ a positive integer, let $R(n)$ be the sum of the remainders when $n$ is divided by $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ and $10.$ For example, $\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}$ How many two-digit positive integers $n$ satisfy $R(n) = R(n + 1)?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Al pasar de $n$ a $n + 1,$ cada residuo $n \bmod m$ aumenta en $1$ a menos que $m \mid n + 1,$ en cuyo caso cae de $m - 1$ a $0.$ Así $\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}$

Necesitamos que esos divisores sumen $9.$ Si $n + 1$ es divisible entre $3, 4, 5, 6, 8, 9,$ o $10,$ recoge divisores pequeños adicionales que empujan la suma más allá de $9,$ así que el único caso viable es $n + 1$ divisible entre $2$ y $7$ pero entre ningún otro valor de $\{2, \ldots, 10\},$ lo que da $2 + 7 = 9.$

Entre los valores de dos dígitos de $n,$ esto significa $n + 1 = 14$ o $n + 1 = 98,$ así que $n = 13$ o $n = 97.$ Es decir, $2$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Going from $n$ to $n + 1,$ each remainder $n \bmod m$ increases by $1$ unless $m \mid n + 1,$ in which case it drops from $m - 1$ to $0.$ So $\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}$

We need those divisors to sum to $9.$ If $n + 1$ is divisible by $3, 4, 5, 6, 8, 9,$ or $10,$ it picks up additional small divisors that push the sum past $9,$ so the only workable case is $n + 1$ divisible by $2$ and $7$ but no other value in $\{2, \ldots, 10\},$ giving $2 + 7 = 9.$

Among the two-digit $n,$ this means $n + 1 = 14$ or $n + 1 = 98,$ so $n = 13$ or $n = 97.$ That is $2$ values.

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Fall Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años