Question

Para $n$ un entero positivo, sea $R(n)$ la suma de los residuos cuando $n$ se divide entre $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ y $10.$ Por ejemplo, $\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}$ ¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos $n$ satisfacen $R(n) = R(n + 1)?$

For $n$ a positive integer, let $R(n)$ be the sum of the remainders when $n$ is divided by $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ and $10.$ For example, $\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}$ How many two-digit positive integers $n$ satisfy $R(n) = R(n + 1)?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 2800

Pista pequeña:

Cuando $n$ aumenta en $1,$ cada residuo sube en $1$ a menos que $n+1$ sea divisible por $m,$ en cuyo caso cae a $0$ .

When $n$ increases by $1,$ each remainder rises by $1$ unless $n+1$ is divisible by $m,$ where it drops to $0$

Pista grande:

$R(n+1) - R(n)$ $= 9 - \sum_{m \mid n+1} m,$ así que necesitas que los divisores de $n+1$ entre $2, \ldots, 10$ sumen $9$ .

$R(n+1) - R(n)$ $= 9 - \sum_{m \mid n+1} m,$ so you need the divisors of $n+1$ among $2, \ldots, 10$ to sum to $9$

Solución:

Al pasar de $n$ a $n + 1,$ cada residuo $n \bmod m$ aumenta en $1$ , salvo que $n + 1$ sea divisible por $m,$ en cuyo caso baja de $m - 1$ a $0.$ Por tanto, $\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}$

Los enteros distintos de $2$ a $10$ pueden sumar $9$ solo como $\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\},$ o $\{2,3,4\}.$ El cierre por divisibilidad elimina todos los casos salvo $\{2,7\}:$ por ejemplo, un múltiplo de $9$ también tiene divisor $3,$ y uno de $6$ también tiene divisores $2$ y $3.$ Así, $n+1$ debe ser múltiplo de $14$ sin ningún otro divisor en $\{2,\ldots,10\}.$

Al probar los múltiplos $14,28,42,56,70,84,98$ del intervalo requerido, quedan solo $14$ y $98.$ Por tanto, $n=13$ o $n=97,$ lo que da $2$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Going from $n$ to $n + 1,$ each remainder $n \bmod m$ increases by $1$ unless $n + 1$ is divisible by $m,$ in which case it drops from $m - 1$ to $0.$ So $\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}$

Distinct integers from $2$ through $10$ can sum to $9$ only as $\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\},$ or $\{2,3,4\}.$ Divisibility closure eliminates every case except $\{2,7\}:$ for example, a multiple of $9$ also has divisor $3,$ and a multiple of $6$ also has divisors $2$ and $3.$ Thus $n+1$ must be a multiple of $14$ with no other divisor in $\{2,\ldots,10\}.$

Testing the multiples $14,28,42,56,70,84,98$ in the required range leaves only $14$ and $98.$ Hence $n=13$ or $n=97,$ giving $2$ values.

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Fall Problema 25

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años