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2006 AMC 12B Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2006 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2006 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Una sucesión a1,a_1, a2,a_2, …\ldots de enteros no negativos se define por la regla an+2=∣an+1−an∣a_{n+2} = |a_{n+1} - a_n| para n≥1.n \ge 1. Si a1=999,a_1 = 999, a2<999,a_2 \lt 999, y a2006=1,a_{2006} = 1, ¿cuántos valores distintos de a2a_2 son posibles?

A sequence a1,a_1, a2,a_2, …\ldots of non-negative integers is defined by the rule an+2=∣an+1−an∣a_{n+2} = |a_{n+1} - a_n| for n≥1.n \ge 1. If a1=999,a_1 = 999, a2<999,a_2 \lt 999, and a2006=1,a_{2006} = 1, how many different values of a2a_2 are possible?

165165

324324

495495

499499

660660

Respuesta: B
Conceptos:máximo común divisorparidadinclusión-exclusión
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:

Los términos ana_n y an+3a_{n+3} siempre tienen la misma paridad; usa esto junto con a2006=1a_{2006} = 1.

The terms ana_n and an+3a_{n+3} always share the same parity; use this with a2006=1a_{2006} = 1

Pista grande:

Cada término es un múltiplo de gcd⁡(a1,a2),\gcd(a_1, a_2), así que gcd⁡(999,a2)=1;\gcd(999, a_2) = 1; nota que 999=33⋅37999 = 3^3 \cdot 37.

Every term is a multiple of gcd⁡(a1,a2),\gcd(a_1, a_2), so gcd⁡(999,a2)=1;\gcd(999, a_2) = 1; note 999=33⋅37999 = 3^3 \cdot 37

Solución:

La regla da an≡an+3(mod2),a_n \equiv a_{n+3} \pmod 2, así que a2a_2 tiene la misma paridad que a2006=1;a_{2006} = 1; por tanto, a2a_2 es impar.

Cada término es múltiplo de gcd⁡(a1,a2),\gcd(a_1, a_2), y a2006=1a_{2006} = 1 obliga a que gcd⁡(999,a2)=1.\gcd(999, a_2) = 1. Como 999=33⋅37,999 = 3^3 \cdot 37, necesitamos que a2a_2 no sea divisible entre 33 ni 37.37.

Entre los enteros impares de [1,998][1, 998] hay 499;499; quitando los 166166 múltiplos de 33 y los 1313 múltiplos de 37,37, y añadiendo de nuevo los 44 múltiplos de 111,111, quedan 499−166−13+4=324.499 - 166 - 13 + 4 = 324.

Cada uno de estos valores de a2a_2 funciona. Para términos positivos consecutivos u,v,u,v, la actualización (u,v)↦(v,∣v−u∣)(u,v)\mapsto(v,|v-u|) reduce su máximo en a lo sumo dos pasos. Como ambos términos iniciales son a lo sumo 999,999, aparece algún aN=0a_N=0 con N≤1999.N\le1999.

El máximo común divisor de cada pareja consecutiva es invariante, así que los términos iguales justo antes de ese cero son ambos gcd⁡(999,a2)=1.\gcd(999,a_2)=1. La sucesión entra entonces en el ciclo 1,1,0.1,1,0. Finalmente, 2006≡2(mod3),2006\equiv2\pmod3, así que a2006a_{2006} tiene la misma paridad impar que a2;a_2; dentro de este ciclo, debe ser 1.1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The rule gives an≡an+3(mod2),a_n \equiv a_{n+3} \pmod 2, so a2a_2 has the same parity as a2006=1;a_{2006} = 1; thus a2a_2 is odd.

Every term is a multiple of gcd⁡(a1,a2),\gcd(a_1, a_2), and a2006=1a_{2006} = 1 forces gcd⁡(999,a2)=1.\gcd(999, a_2) = 1. Since 999=33⋅37,999 = 3^3 \cdot 37, we need a2a_2 not divisible by 33 or 37.37.

Among the odd integers in [1,998][1, 998] there are 499;499; removing the 166166 multiples of 33 and 1313 multiples of 37,37, then adding back the 44 multiples of 111,111, leaves 499−166−13+4=324.499 - 166 - 13 + 4 = 324.

Each such a2a_2 works. For consecutive positive terms u,v,u,v, the update (u,v)↦(v,∣v−u∣)(u,v)\mapsto(v,|v-u|) reduces their maximum within at most two steps. Since both initial terms are at most 999,999, some aN=0a_N=0 occurs by N≤1999.N\le1999.

The gcd of each consecutive pair is invariant, so the equal terms immediately before that zero both equal gcd⁡(999,a2)=1.\gcd(999,a_2)=1. The sequence then cycles through 1,1,0.1,1,0. Finally, 2006≡2(mod3),2006\equiv2\pmod3, so a2006a_{2006} has the same odd parity as a2;a_2; in this cycle it must therefore be 1.1.

Thus, the correct answer is B.

Problema 24#24
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