Question

Sea $f(x)=x^2+6x+1,$ y sea $R$ el conjunto de puntos $(x,y)$ en el plano coordenado tales que $f(x)+f(y)\le0$ y $f(x)-f(y)\le0.$ El área de $R$ es la más cercana a

Let $f(x)=x^2+6x+1,$ and let $R$ denote the set of points $(x,y)$ in the coordinate plane such that $f(x)+f(y)\le0$ and $f(x)-f(y)\le0.$ The area of $R$ is closest to

$21$

$22$

$23$

$24$

$25$

Solución:

Al completar el cuadrado, $\begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered}$ así que la primera condición es el disco de radio $4$ centrado en $(-3,-3).$

Además $\begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered}$ así que la segunda condición $(x-y)(x+y+6)\le0$ describe dos semiplanos limitados por las rectas perpendiculares que pasan por $(-3,-3)$ de pendientes $1$ y $-1.$ Estas cortan el disco en dos mitades iguales.

Así, $R$ tiene área $\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13,$ que es la más cercana a $25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Completing the square, $\begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered}$ so the first condition is the disk of radius $4$ centered at $(-3,-3).$

Also $\begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered}$ so the second condition $(x-y)(x+y+6)\le0$ describes two half-planes bounded by the perpendicular lines through $(-3,-3)$ of slopes $1$ and $-1.$ These cut the disk into two equal halves.

Thus $R$ has area $\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13,$ which is closest to $25.$

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años