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2002 AMC 12B Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2002 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Sea f(x)=x2+6x+1,f(x)=x^2+6x+1, y sea RR el conjunto de puntos (x,y)(x,y) en el plano coordenado tales que f(x)+f(y)≤0f(x)+f(y)\le0 y f(x)−f(y)≤0.f(x)-f(y)\le0. El área de RR es la más cercana a

Let f(x)=x2+6x+1,f(x)=x^2+6x+1, and let RR denote the set of points (x,y)(x,y) in the coordinate plane such that f(x)+f(y)≤0f(x)+f(y)\le0 and f(x)−f(y)≤0.f(x)-f(y)\le0. The area of RR is closest to

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Respuesta: E
Conceptos:completar el cuadradocírculoárea
Nivel de dificultad: 2260
Pista pequeña:

Completa el cuadrado: f(x)+f(y)f(x)+f(y) =(x+3)2+(y+3)2−16=(x+3)^2+(y+3)^2-16.

Complete the square: f(x)+f(y)f(x)+f(y) =(x+3)2+(y+3)2−16=(x+3)^2+(y+3)^2-16

Pista grande:

La primera condición es un disco de radio 44; la segunda, (x−y)(x+y+6)≤0,(x-y)(x+y+6)\le0, conserva la mitad de él.

The first condition is a disk of radius 44; the second, (x−y)(x+y+6)≤0,(x-y)(x+y+6)\le0, keeps half of it

Solución:

Al completar el cuadrado, f(x)+f(y)=(x+3)2+(y+3)2−16, \begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered} así que la primera condición es el disco de radio 44 centrado en (−3,−3).(-3,-3).

Además f(x)−f(y)=(x−y)(x+y+6), \begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered} así que la segunda condición (x−y)(x+y+6)≤0(x-y)(x+y+6)\le0 describe dos semiplanos limitados por las rectas perpendiculares que pasan por (−3,−3)(-3,-3) de pendientes 11 y −1.-1. Estas cortan el disco en dos mitades iguales.

Así, RR tiene área 12π⋅42=8π≈25.13,\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13, que es la más cercana a 25.25.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Completing the square, f(x)+f(y)=(x+3)2+(y+3)2−16, \begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered} so the first condition is the disk of radius 44 centered at (−3,−3).(-3,-3).

Also f(x)−f(y)=(x−y)(x+y+6), \begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered} so the second condition (x−y)(x+y+6)≤0(x-y)(x+y+6)\le0 describes two half-planes bounded by the perpendicular lines through (−3,−3)(-3,-3) of slopes 11 and −1.-1. These cut the disk into two equal halves.

Thus RR has area 12π⋅42=8π≈25.13,\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13, which is closest to 25.25.

Thus, the correct answer is E.

Problema 24#24
Examen completo

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