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Soluciones del 2002 AMC 12B

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

La media aritmética de los nueve números del conjunto {9,\{9, 99,99, 999,999, 9999,9999, …,\ldots, 999999999}999999999\} es un número de 99 cifras M,M, cuyas cifras son todas distintas. El número MM no contiene la cifra
The arithmetic mean of the nine numbers in the set {9,\{9, 99,99, 999,999, 9999,9999, …,\ldots, 999999999}999999999\} is a 99-digit number M,M, all of whose digits are distinct. The number MM does not contain the digit
00
22
44
66
88
Conceptos:valor posicionaldígitos
Nivel de dificultad: 950
Pista pequeña:
La media es 19(9+99+⋯+999,999,999)\dfrac{1}{9}(9+99+\cdots+999{,}999{,}999).
The mean is 19(9+99+⋯+999,999,999)\dfrac{1}{9}(9+99+\cdots+999{,}999{,}999)
Pista grande:
Al dividir cada término entre 99 la suma se convierte en 1+11+111+⋯1+11+111+\cdots; súmalos y observa qué cifra nunca aparece.
Dividing each term by 99 turns the sum into 1+11+111+⋯1+11+111+\cdots; add these and see which digit never appears
Solución:
Cada uno de los nueve números es 10k−1,10^k-1, así que su suma es 9+99+⋯+999,999,999.9+99+\cdots+999{,}999{,}999. Al dividir entre 9,9, M=1+11+111+⋯+111,111,111=123,456,789. \begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned} Sus cifras son del 11 al 9,9, por lo que la cifra que falta es 0.0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Each of the nine numbers is 10k−1,10^k-1, so their sum is 9+99+⋯+999,999,999.9+99+\cdots+999{,}999{,}999. Dividing by 9,9, M=1+11+111+⋯+111,111,111=123,456,789. \begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned} Its digits are 11 through 9,9, so the missing digit is 0.0.
Thus, the correct answer is A.

2.

¿Cuál es el valor de (3x−2)(4x+1)−(3x−2)4x+1 \begin{aligned} &(3x-2)(4x+1) \\ &\quad {}-(3x-2)4x+1 \end{aligned} cuando x=4x=4?
What is the value of (3x−2)(4x+1)−(3x−2)4x+1 \begin{aligned} &(3x-2)(4x+1) \\ &\quad {}-(3x-2)4x+1 \end{aligned} when x=4?x=4?
00
11
1010
1111
1212
Conceptos:manipulación algebraicafactorización
Nivel de dificultad: 980
Pista pequeña:
Agrupa los dos términos que contienen 3x−23x-2 usando la ley distributiva.
Group the two terms containing 3x−23x-2 using the distributive law
Pista grande:
Reescribe (3x−2)(4x+1)−(3x−2)4x(3x-2)(4x+1)-(3x-2)4x como =(3x−2)(4x+1−4x)=(3x-2)(4x+1-4x).
(3x−2)(4x+1)−(3x−2)4x(3x-2)(4x+1)-(3x-2)4x =(3x−2)(4x+1−4x)=(3x-2)(4x+1-4x)
Solución:
Saca como factor 3x−23x-2 de los dos primeros términos: (3x−2)(4x+1)−(3x−2)4x+1=(3x−2)(4x+1−4x)+1=3x−1. \begin{gathered} (3x-2)(4x+1) \\ {}-(3x-2)4x+1 \\ {}=(3x-2)(4x+1-4x)+1 \\ {}=3x-1. \end{gathered} En x=4x=4 esto vale 3⋅4−1=11.3\cdot4-1=11.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Factor 3x−23x-2 out of the first two terms: (3x−2)(4x+1)−(3x−2)4x+1=(3x−2)(4x+1−4x)+1=3x−1. \begin{gathered} (3x-2)(4x+1) \\ {}-(3x-2)4x+1 \\ {}=(3x-2)(4x+1-4x)+1 \\ {}=3x-1. \end{gathered} At x=4x=4 this equals 3⋅4−1=11.3\cdot4-1=11.
Thus, the correct answer is D.

3.

¿Para cuántos enteros positivos nn es n2−3n+2n^2-3n+2 un número primo?
For how many positive integers nn is n2−3n+2n^2-3n+2 a prime number?
ninguno
none
uno
one
dos
two
más de dos, pero un número finito
more than two, but finitely many
un número infinito
infinitely many
Conceptos:factorizaciónprimo
Nivel de dificultad: 1120
Pista pequeña:
Factoriza n2−3n+2n^2-3n+2.
Factor n2−3n+2n^2-3n+2
Pista grande:
(n−1)(n−2)(n-1)(n-2) es un producto de dos enteros; para que sea primo uno de los factores debe ser igual a 11.
(n−1)(n−2)(n-1)(n-2) is a product of two integers; for it to be prime one factor must equal 11
Solución:
Factoriza n2−3n+2=(n−1)(n−2).n^2-3n+2=(n-1)(n-2). Para n≥4n\ge4 ambos factores superan a 1,1, por lo que el valor es compuesto. Al probar n=1,2,3n=1,2,3 se obtiene 0,0, 0,0, y 2.2. Solo n=3n=3 produce un primo, así que hay exactamente uno de tales n.n.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Factor n2−3n+2=(n−1)(n−2).n^2-3n+2=(n-1)(n-2). For n≥4n\ge4 both factors exceed 1,1, so the value is composite. Checking n=1,2,3n=1,2,3 gives 0,0, 0,0, and 2.2. Only n=3n=3 yields a prime, so there is exactly one such n.n.
Thus, the correct answer is B.

4.

Sea nn un entero positivo tal que 12+13+17+1n\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?
Let nn be a positive integer such that 12+13+17+1n\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n is an integer. Which of the following statements is not true:
22 divide a nn
22 divides nn
33 divide a nn
33 divides nn
66 divide a nn
66 divides nn
77 divide a nn
77 divides nn
n>84n\gt84
Conceptos:fraccióndivisibilidadacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1270
Pista pequeña:
Observa que 12+13+17=4142\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}.
12+13+17=4142\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}
Pista grande:
La suma completa está estrictamente entre 00 y 2,2, así que debe ser igual a 11; despeja nn.
The whole sum lies strictly between 00 and 2,2, so it must equal 11; solve for nn
Solución:
Como 12+13+17=4142,\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}, la suma 4142+1n\dfrac{41}{42}+\dfrac1n está estrictamente entre 00 y 2,2, así que debe ser igual a 1.1. Entonces 1n=142,\dfrac1n=\dfrac1{42}, lo que da n=42.n=42.
Ahora bien, 2,2, 3,3, 6,6, y 77 dividen todos a 42,42, pero n>84n\gt84 es falso. La afirmación no verdadera es n>84.n\gt84.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Since 12+13+17=4142,\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}, the sum 4142+1n\dfrac{41}{42}+\dfrac1n lies strictly between 00 and 2,2, so it must equal 1.1. Then 1n=142,\dfrac1n=\dfrac1{42}, giving n=42.n=42.
Now 2,2, 3,3, 6,6, and 77 all divide 42,42, but n>84n\gt84 is false. The untrue statement is n>84.n\gt84.
Thus, the correct answer is E.

5.

Sean v,v, w,w, x,x, y,y, y zz las medidas en grados de los cinco ángulos de un pentágono. Supón que v<w<x<y<zv\lt w\lt x\lt y\lt z y que v,v, w,w, x,x, y,y, zz forman una progresión aritmética. Halla el valor de x.x.
Let v,v, w,w, x,x, y,y, and zz be the degree measures of the five angles of a pentagon. Suppose v<w<x<y<zv\lt w\lt x\lt y\lt z and v,v, w,w, x,x, y,y, zz form an arithmetic sequence. Find the value of x.x.
7272
8484
9090
108108
120120
Conceptos:suma de ángulossucesión aritmética
Nivel de dificultad: 1080
Pista pequeña:
Los ángulos interiores de un pentágono suman 540∘540^\circ.
The interior angles of a pentagon sum to 540∘540^\circ
Pista grande:
Escribe los cinco términos como x−2d,x-2d, x−d,x-d, x,x, x+d,x+d, x+2dx+2d; su suma es 5x5x.
Write the five terms as x−2d,x-2d, x−d,x-d, x,x, x+d,x+d, x+2dx+2d; their sum is 5x5x
Solución:
Los cinco ángulos interiores suman 540∘.540^\circ. Escribiendo la progresión como x−2d,x-2d, x−d,x-d, x,x, x+d,x+d, x+2d,x+2d, la suma es 5x=540,5x=540, así que x=108.x=108.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The five interior angles sum to 540∘.540^\circ. Writing the sequence as x−2d,x-2d, x−d,x-d, x,x, x+d,x+d, x+2d,x+2d, the sum is 5x=540,5x=540, so x=108.x=108.
Thus, the correct answer is D.

6.

Supón que aa y bb son números reales no nulos, y que la ecuación x2+ax+b=0x^2+ax+b=0 tiene por soluciones aa y b.b. Entonces el par (a,b)(a,b) es
Suppose that aa and bb are nonzero real numbers, and that the equation x2+ax+b=0x^2+ax+b=0 has solutions aa and b.b. Then the pair (a,b)(a,b) is
(−2,1)(-2,1)
(−1,2)(-1,2)
(1,−2)(1,-2)
(2,−1)(2,-1)
(4,4)(4,4)
Conceptos:Fórmulas de Vietacuadrática
Nivel de dificultad: 1190
Pista pequeña:
Si aa y bb son las raíces, entonces x2+ax+b=(x−a)(x−b)x^2+ax+b=(x-a)(x-b).
If aa and bb are the roots, then x2+ax+b=(x−a)(x−b)x^2+ax+b=(x-a)(x-b)
Pista grande:
Iguala coeficientes: a+b=−aa+b=-a y ab=b,ab=b, usando b≠0b\neq0.
Match coefficients: a+b=−aa+b=-a and ab=b,ab=b, using b≠0b\neq0
Solución:
Como aa y bb son las raíces, x2+ax+b=(x−a)(x−b)=x2−(a+b)x+ab. \begin{gathered} x^2+ax+b \\ {}=(x-a)(x-b) \\ {}=x^2-(a+b)x+ab. \end{gathered} Igualar coeficientes da a+b=−aa+b=-a y ab=b.ab=b.
Como b≠0,b\neq0, la segunda ecuación da a=1,a=1, y luego a+b=−aa+b=-a da b=−2.b=-2. Así (a,b)=(1,−2).(a,b)=(1,-2).
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since aa and bb are the roots, x2+ax+b=(x−a)(x−b)=x2−(a+b)x+ab. \begin{gathered} x^2+ax+b \\ {}=(x-a)(x-b) \\ {}=x^2-(a+b)x+ab. \end{gathered} Matching coefficients gives a+b=−aa+b=-a and ab=b.ab=b.
As b≠0,b\neq0, the second equation gives a=1,a=1, and then a+b=−aa+b=-a gives b=−2.b=-2. So (a,b)=(1,−2).(a,b)=(1,-2).
Thus, the correct answer is C.

7.

El producto de tres enteros positivos consecutivos es 88 veces su suma. ¿Cuál es la suma de sus cuadrados?
The product of three consecutive positive integers is 88 times their sum. What is the sum of their squares?
5050
7777
110110
149149
194194
Conceptos:cuadráticamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1190
Pista pequeña:
Llama a los enteros n−1,n-1, n,n, n+1n+1; su producto es n3−nn^3-n y su suma es 3n3n.
Call the integers n−1,n-1, n,n, n+1n+1; their product is n3−nn^3-n and their sum is 3n3n
Pista grande:
n2−1=24,n^2-1=24, así que halla nn y luego calcula (n−1)2+n2+(n+1)2(n-1)^2+n^2+(n+1)^2.
n2−1=24,n^2-1=24, so find nn and then compute (n−1)2+n2+(n+1)2(n-1)^2+n^2+(n+1)^2
Solución:
Sean los enteros n−1,n-1, n,n, n+1.n+1. Entonces (n−1)n(n+1)=8⋅3n,(n-1)n(n+1)=8\cdot3n, así que n2−1=24n^2-1=24 y n=5.n=5.
Los tres enteros 4,4, 5,5, 66 tienen cuadrados que suman 16+25+36=77.16+25+36=77.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let the integers be n−1,n-1, n,n, n+1.n+1. Then (n−1)n(n+1)=8⋅3n,(n-1)n(n+1)=8\cdot3n, so n2−1=24n^2-1=24 and n=5.n=5.
The three integers 4,4, 5,5, 66 have squares summing to 16+25+36=77.16+25+36=77.
Thus, the correct answer is B.

8.

Supón que julio del año NN tiene cinco lunes. ¿Cuál de los siguientes días debe ocurrir cinco veces en agosto del año NN? (Nota: ambos meses tienen 3131 días.)
Suppose July of year NN has five Mondays. Which of the following must occur five times in August of year N?N? (Note: Both months have 3131 days.)
lunes
Monday
martes
Tuesday
miércoles
Wednesday
jueves
Thursday
viernes
Friday
Conceptos:fecha y horaaritmética modularanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1370
Pista pequeña:
Con 3131 días, el día de la semana del 11 de julio es el que se repite cinco veces, así que el lunes es el 1,1, 2,2, o 33 de julio.
With 3131 days, the weekday of July 11 is the one that repeats five times, so Monday is July 1,1, 2,2, or 33
Pista grande:
El 11 de agosto cae tres días de la semana después del 11 de julio; prueba los tres casos y encuentra el día de agosto común a todos.
August 11 falls three weekdays after July 11; test the three cases and find the August weekday common to all
Solución:
Como julio tiene 31=4⋅7+331=4\cdot7+3 días, el día de la semana del 11 de julio ocurre cinco veces, así que el lunes cae en el 1,1, 2,2, o 3.3. Los días que ocurren cinco veces en agosto son los del 1,1, 2,2, 3,3, de agosto, y el 11 de agosto está tres días de la semana después del 1.1.
Al probar los tres casos, los días de agosto que ocurren cinco veces son de jueves a sábado, de miércoles a viernes, y de martes a jueves. El jueves aparece en todos los casos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Since July has 31=4⋅7+331=4\cdot7+3 days, the weekday of July 11 occurs five times, so Monday falls on July 1,1, 2,2, or 3.3. The days that occur five times in August are those of August 1,1, 2,2, 3,3, and August 11 is three weekdays after July 1.1.
Testing the three cases, the August weekdays occurring five times are Thursday through Saturday, Wednesday through Friday, and Tuesday through Thursday. Thursday appears in every case.
Thus, the correct answer is D.

9.

Si a,a, b,b, c,c, dd son números reales positivos tales que a,a, b,b, c,c, dd forman una progresión aritmética creciente y a,a, b,b, dd forman una progresión geométrica, entonces ad\dfrac{a}{d} es
If a,a, b,b, c,c, dd are positive real numbers such that a,a, b,b, c,c, dd form an increasing arithmetic sequence and a,a, b,b, dd form a geometric sequence, then ad\dfrac{a}{d} is
112\dfrac{1}{12}
16\dfrac{1}{6}
14\dfrac{1}{4}
13\dfrac{1}{3}
12\dfrac{1}{2}
Conceptos:sucesión aritméticasucesión geométrica
Nivel de dificultad: 1330
Pista pequeña:
Escribe b=a+r,b=a+r, c=a+2r,c=a+2r, d=a+3rd=a+3r.
Write b=a+r,b=a+r, c=a+2r,c=a+2r, d=a+3rd=a+3r
Pista grande:
La condición geométrica b2=adb^2=ad da r2=ar,r^2=ar, así que r=ar=a.
The geometric condition b2=adb^2=ad gives r2=ar,r^2=ar, so r=ar=a
Solución:
Sea b=a+r,b=a+r, c=a+2r,c=a+2r, d=a+3r.d=a+3r. La condición geométrica b2=adb^2=ad da (a+r)2=a(a+3r),(a+r)^2=a(a+3r), es decir r2=ar,r^2=ar, así que r=a.r=a.
Entonces d=a+3a=4ad=a+3a=4a y ad=14.\dfrac{a}{d}=\dfrac14.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let b=a+r,b=a+r, c=a+2r,c=a+2r, d=a+3r.d=a+3r. The geometric condition b2=adb^2=ad gives (a+r)2=a(a+3r),(a+r)^2=a(a+3r), i.e. r2=ar,r^2=ar, so r=a.r=a.
Then d=a+3a=4ad=a+3a=4a and ad=14.\dfrac{a}{d}=\dfrac14.
Thus, the correct answer is C.

10.

¿Cuántos enteros diferentes pueden expresarse como la suma de tres miembros distintos del conjunto {1,4,7,10,13,16,19}\{1,4,7,10,13,16,19\}?
How many different integers can be expressed as the sum of three distinct members of the set {1,4,7,10,13,16,19}?\{1,4,7,10,13,16,19\}?
1313
1616
2424
3030
3535
Conceptos:aritmética modularconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 1270
Pista pequeña:
Cada elemento es uno más que un múltiplo de 3,3, así que la suma de tres elementos es un múltiplo de 33
Every element is one more than a multiple of 3,3, so each three-element sum is a multiple of 33
Pista grande:
Cuenta los múltiplos de 33 desde la suma más pequeña 1+4+71+4+7 hasta la suma más grande 13+16+1913+16+19.
Count the multiples of 33 from the smallest sum 1+4+71+4+7 to the largest sum 13+16+1913+16+19
Solución:
Cada elemento es uno más que un múltiplo de 3,3, así que cualquier suma de tres de ellos es un múltiplo de 3.3. La suma más pequeña es 1+4+7=121+4+7=12 y la más grande es 13+16+19=48,13+16+19=48, y todo múltiplo de 33 entre ellas es alcanzable.
Hay 1313 múltiplos de 33 desde 1212 hasta 48.48.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Every element is one more than a multiple of 3,3, so any sum of three of them is a multiple of 3.3. The smallest sum is 1+4+7=121+4+7=12 and the largest is 13+16+19=48,13+16+19=48, and every multiple of 33 between them is attainable.
There are 1313 multiples of 33 from 1212 to 48.48.
Thus, the correct answer is A.

11.

Los enteros positivos A,A, B,B, A−B,A-B, y A+BA+B son todos números primos. La suma de estos cuatro primos es
The positive integers A,A, B,B, A−B,A-B, and A+BA+B are all prime numbers. The sum of these four primes is
par
even
divisible entre 33
divisible by 33
divisible entre 55
divisible by 55
divisible entre 77
divisible by 77
primo
prime
Conceptos:paridadprimo
Nivel de dificultad: 1430
Pista pequeña:
A−BA-B y A+BA+B tienen la misma paridad, y ambos son primos, así que ambos son impares.
A−BA-B and A+BA+B have the same parity, and both are prime, so both are odd
Pista grande:
Entonces B=2,B=2, lo que hace de A−2,A-2, A,A, A+2A+2 tres primos en progresión aritmética.
Then B=2,B=2, making A−2,A-2, A,A, A+2A+2 three primes in arithmetic progression
Solución:
A−BA-B y A+BA+B tienen la misma paridad; como ambos son primos, son impares, así que AA y BB tienen paridades opuestas. Si AA fuera par, el primo AA sería 2,2, pero el primo positivo BB cumpliría B≥2B\ge2 y haría A−B≤0.A-B\le0. Por tanto, AA es impar y el primo par BB es 2.2.
Entonces A−2,A-2, A,A, y A+2A+2 son tres primos. Uno es divisible entre 3,3, así que debe ser 3;3; la terna es 3,3, 5,5, 7.7. Su suma junto con 22 es 2+3+5+7=17,2+3+5+7=17, un primo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
A−BA-B and A+BA+B have the same parity; being prime, both are odd, so AA and BB have opposite parity. If AA were even, then the prime AA would equal 2,2, but the positive prime BB would satisfy B≥2B\ge2 and make A−B≤0.A-B\le0. Hence AA is odd and the even prime BB is 2.2.
Then A−2,A-2, A,A, A+2A+2 are three primes. One is divisible by 3,3, so that one must equal 3;3; the triple is 3,3, 5,5, 7.7. Their sum together with 22 is 2+3+5+7=17,2+3+5+7=17, a prime.
Thus, the correct answer is E.

12.

¿Para cuántos enteros nn es n20−n\dfrac{n}{20-n} el cuadrado de un entero?
For how many integers nn is n20−n\dfrac{n}{20-n} the square of an integer?
11
22
33
44
1010
Conceptos:cuadrado perfectodivisibilidad
Nivel de dificultad: 1490
Pista pequeña:
Pon n20−n=k2\dfrac{n}{20-n}=k^2 y despeja nn en términos de kk.
Set n20−n=k2\dfrac{n}{20-n}=k^2 and solve for nn in terms of kk
Pista grande:
n=20k2k2+1n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}; como gcd⁡(k2,k2+1)=1,\gcd(k^2,k^2+1)=1, k2+1k^2+1 debe dividir a 2020.
n=20k2k2+1n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}; since gcd⁡(k2,k2+1)=1,\gcd(k^2,k^2+1)=1, k2+1k^2+1 must divide 2020
Solución:
Sea n20−n=k2.\dfrac{n}{20-n}=k^2. Al resolver, n=20k2k2+1.n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}. Como k2k^2 y k2+1k^2+1 son coprimos, k2+1k^2+1 debe dividir a 20,20, lo que solo ocurre para ∣k∣=0,1,2,3.|k|=0,1,2,3.
Los signos de kk no cambian n;n; estos valores dan n=0,n=0, 10,10, 16,16, y 18,18, cuatro valores en total.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Set n20−n=k2.\dfrac{n}{20-n}=k^2. Solving, n=20k2k2+1.n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}. Since k2k^2 and k2+1k^2+1 are coprime, k2+1k^2+1 must divide 20,20, which happens only for ∣k∣=0,1,2,3.|k|=0,1,2,3.
The signs of kk do not change n;n; these give n=0,n=0, 10,10, 16,16, and 18,18, which is four values.
Thus, the correct answer is D.

13.

La suma de 1818 enteros positivos consecutivos es un cuadrado perfecto. El menor valor posible de esta suma es
The sum of 1818 consecutive positive integers is a perfect square. The smallest possible value of this sum is
169169
225225
289289
361361
441441
Conceptos:cuadrado perfectosucesión aritmética
Nivel de dificultad: 1430
Pista pequeña:
La suma de n,n, n+1,…,n+1,\ldots, n+17n+17 es igual a 9(2n+17)9(2n+17).
The sum of n,n, n+1,…,n+1,\ldots, n+17n+17 equals 9(2n+17)9(2n+17)
Pista grande:
Como 99 ya es un cuadrado, 2n+172n+17 debe ser un cuadrado perfecto impar; toma el menor válido.
Since 99 is already a square, 2n+172n+17 must be an odd perfect square; take the smallest valid one
Solución:
La suma de n,n, n+1,…,n+1,\ldots, n+17n+17 es 18n+17⋅182=9(2n+17).18n+\dfrac{17\cdot18}{2}=9(2n+17). Como 99 es un cuadrado perfecto, 2n+172n+17 también debe serlo.
El menor entero positivo nn que hace de 2n+172n+17 un cuadrado perfecto es n=4,n=4, que da 2n+17=252n+17=25 y una suma de 9⋅25=225.9\cdot25=225.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The sum of n,n, n+1,…,n+1,\ldots, n+17n+17 is 18n+17⋅182=9(2n+17).18n+\dfrac{17\cdot18}{2}=9(2n+17). Since 99 is a perfect square, 2n+172n+17 must be one too.
The smallest positive integer nn making 2n+172n+17 a perfect square is n=4,n=4, giving 2n+17=252n+17=25 and a sum of 9⋅25=225.9\cdot25=225.
Thus, the correct answer is B.

14.

Se dibujan cuatro círculos distintos en un plano. ¿Cuál es el número máximo de puntos donde se cortan al menos dos de los círculos?
Four distinct circles are drawn in a plane. What is the maximum number of points where at least two of the circles intersect?
88
99
1010
1212
1616
Conceptos:conteo de interseccionesconteo de pares
Nivel de dificultad: 1220
Pista pequeña:
Dos círculos distintos se cortan en a lo sumo 22 puntos.
Two distinct circles meet in at most 22 points
Pista grande:
Hay (42)\binom{4}{2} pares de círculos; multiplica por 22.
There are (42)\binom{4}{2} pairs of circles; multiply by 22
Solución:
Cada par de círculos se corta en a lo sumo 22 puntos, y hay (42)=6\binom{4}{2}=6 pares, lo que da a lo sumo 6⋅2=126\cdot2=12 puntos de intersección.
La cota se alcanza tomando cuatro círculos en posición general, de modo que cada par se corte dos veces y no haya tres que pasen por el mismo punto.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Each pair of circles meets in at most 22 points, and there are (42)=6\binom{4}{2}=6 pairs, giving at most 6⋅2=126\cdot2=12 intersection points.
The bound is attainable by taking four circles in general position so that every pair crosses twice and no three pass through the same point.
Thus, the correct answer is D.

15.

¿Cuántos números de cuatro cifras NN tienen la propiedad de que el número de tres cifras obtenido al quitar la cifra de más a la izquierda es un noveno de NN?
How many four-digit numbers NN have the property that the three-digit number obtained by removing the leftmost digit is one ninth of N?N?
44
55
66
77
88
Conceptos:valor posicionaldígitos
Nivel de dificultad: 1510
Pista pequeña:
Escribe N=1000a+x,N=1000a+x, donde aa es la cifra inicial y xx las últimas tres cifras.
Write N=1000a+x,N=1000a+x, where aa is the leading digit and xx the last three digits
Pista grande:
N=9xN=9x da 1000a=8x,1000a=8x, así que x=125ax=125a; cuenta las cifras aa que mantienen xx con tres cifras.
N=9xN=9x gives 1000a=8x,1000a=8x, so x=125ax=125a; count the digits aa keeping xx three digits
Solución:
Sea aa la cifra inicial y xx el número de tres cifras que queda al quitarla, de modo que N=1000a+x.N=1000a+x. La condición N=9xN=9x da 1000a=8x,1000a=8x, es decir x=125a.x=125a.
Para a=1,…,7a=1,\ldots,7 esto hace de xx un número de tres cifras, mientras que a=8a=8 da x=1000.x=1000. Así que hay 77 números de este tipo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let aa be the leading digit and xx the three-digit number after removing it, so N=1000a+x.N=1000a+x. The condition N=9xN=9x gives 1000a=8x,1000a=8x, i.e. x=125a.x=125a.
For a=1,…,7a=1,\ldots,7 this makes xx a three-digit number, while a=8a=8 gives x=1000.x=1000. So there are 77 such numbers.
Thus, the correct answer is D.

16.

Juan lanza un dado octaédrico regular y justo marcado con los números 11 al 8.8. Luego Amal lanza un dado justo de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los dos lanzamientos sea múltiplo de 33?
Juan rolls a fair regular octahedral die marked with the numbers 11 through 8.8. Then Amal rolls a fair six-sided die. What is the probability that the product of the two rolls is a multiple of 3?3?
112\dfrac{1}{12}
13\dfrac{1}{3}
12\dfrac{1}{2}
712\dfrac{7}{12}
23\dfrac{2}{3}
Conceptos:probabilidad complementariadados (probabilidad)
Nivel de dificultad: 1430
Pista pequeña:
El producto es múltiplo de 33 exactamente cuando al menos un lanzamiento es 33 o 66.
The product is a multiple of 33 exactly when at least one roll is 33 or 66
Pista grande:
Calcula 11 menos la probabilidad de que ninguno de los dados muestre un 33 o un 66.
Compute 11 minus the probability that neither die shows a 33 or 66
Solución:
El producto es múltiplo de 33 si y solo si al menos un dado muestra 33 o 6.6. El dado octaédrico evita 3,63,6 con probabilidad 68=34,\dfrac68=\dfrac34, y el dado de seis caras los evita con probabilidad 46=23.\dfrac46=\dfrac23.
Así que ninguno muestra un múltiplo de 33 con probabilidad 34⋅23=12,\dfrac34\cdot\dfrac23=\dfrac12, y la respuesta es 1−12=12.1-\dfrac12=\dfrac12.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The product is a multiple of 33 if and only if at least one die shows 33 or 6.6. The octahedral die avoids 3,63,6 with probability 68=34,\dfrac68=\dfrac34, and the six-sided die avoids them with probability 46=23.\dfrac46=\dfrac23.
So neither shows a multiple of 33 with probability 34⋅23=12,\dfrac34\cdot\dfrac23=\dfrac12, and the answer is 1−12=12.1-\dfrac12=\dfrac12.
Thus, the correct answer is C.

17.

El césped de Andy tiene el doble de área que el césped de Beth y el triple de área que el césped de Carlos. La cortadora de Carlos corta a la mitad de velocidad que la de Beth y a un tercio de la velocidad que la de Andy. Si los tres empiezan a cortar su césped al mismo tiempo, ¿quién terminará primero?
Andy’s lawn has twice as much area as Beth’s lawn and three times as much area as Carlos’ lawn. Carlos’ lawn mower cuts half as fast as Beth’s mower and one third as fast as Andy’s mower. If they all start to mow their lawns at the same time, who will finish first?
Andy
Beth
Carlos
Andy y Carlos empatan en el primer lugar.
Andy and Carlos tie for first.
Los tres empatan.
All three tie.
Conceptos:tasarazón y proporción
Nivel de dificultad: 1370
Pista pequeña:
Sea AA el área de Andy; entonces las áreas son A,A, A2,\dfrac A2, A3\dfrac A3 y las velocidades de corte son 3R,3R, 2R,2R, RR.
Let Andy’s area be AA; then the areas are A,A, A2,\dfrac A2, A3\dfrac A3 and the mowing rates are 3R,3R, 2R,2R, RR
Pista grande:
El tiempo es el área dividida entre la velocidad; compara A3R,\dfrac{A}{3R}, A4R,\dfrac{A}{4R}, A3R\dfrac{A}{3R}.
Time equals area divided by rate; compare A3R,\dfrac{A}{3R}, A4R,\dfrac{A}{4R}, A3R\dfrac{A}{3R}
Solución:
Sea el césped de Andy de área A;A; entonces el de Beth es A2\dfrac A2 y el de Carlos es A3.\dfrac A3. Con la velocidad de Carlos R,R, Beth corta a 2R2R y Andy a 3R.3R.
Sus tiempos son A3R,\dfrac{A}{3R}, A22R=A4R,\dfrac{\frac{A}{2}}{2R}=\dfrac{A}{4R}, y A3R=A3R\dfrac{\frac{A}{3}}{R}=\dfrac{A}{3R} respectivamente. El tiempo de Beth A4R\dfrac{A}{4R} es el más pequeño, así que Beth termina primero.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let Andy’s lawn have area A;A; then Beth’s is A2\dfrac A2 and Carlos’ is A3.\dfrac A3. With Carlos’ rate R,R, Beth mows at 2R2R and Andy at 3R.3R.
Their times are A3R,\dfrac{A}{3R}, A22R=A4R,\dfrac{\frac{A}{2}}{2R}=\dfrac{A}{4R}, and A3R=A3R\dfrac{\frac{A}{3}}{R}=\dfrac{A}{3R} respectively. Beth’s time A4R\dfrac{A}{4R} is the smallest, so Beth finishes first.
Thus, the correct answer is B.

18.

Se elige al azar un punto PP de la región rectangular con vértices (0,0),(0,0), (2,0),(2,0), (2,1),(2,1), (0,1).(0,1). ¿Cuál es la probabilidad de que PP esté más cerca del origen que del punto (3,1)(3,1)?
A point PP is randomly selected from the rectangular region with vertices (0,0),(0,0), (2,0),(2,0), (2,1),(2,1), (0,1).(0,1). What is the probability that PP is closer to the origin than it is to the point (3,1)?(3,1)?
12\dfrac{1}{2}
23\dfrac{2}{3}
34\dfrac{3}{4}
45\dfrac{4}{5}
11
Conceptos:probabilidad geométricamediatriztrapecio
Nivel de dificultad: 1610
Pista pequeña:
PP está más cerca del origen a un lado de la mediatriz del segmento que va de (0,0)(0,0) a (3,1)(3,1).
PP is closer to the origin on one side of the perpendicular bisector of the segment from (0,0)(0,0) to (3,1)(3,1)
Pista grande:
Esa mediatriz es la recta 3x+y=53x+y=5; halla el área del rectángulo del lado del origen y divide entre el área total.
That bisector is the line 3x+y=53x+y=5; find the area of the rectangle on the origin side and divide by the total area
Solución:
Los puntos más cercanos a (0,0)(0,0) que a (3,1)(3,1) están del lado del origen de la mediatriz de ese segmento, la recta 3x+y=5.3x+y=5.
Dentro del rectángulo, esta región es un trapecio cuyos lados paralelos tienen longitudes 53\dfrac53 (en y=0y=0) y 43\dfrac43 (en y=1y=1), así que su área es 12(53+43)=32.\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32. El rectángulo tiene área 2,2, así que la probabilidad es 322=34.\dfrac{\frac{3}{2}}{2}=\dfrac34.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The points closer to (0,0)(0,0) than to (3,1)(3,1) lie on the origin side of the perpendicular bisector of that segment, the line 3x+y=5.3x+y=5.
Within the rectangle, this region is a trapezoid whose parallel sides have lengths 53\dfrac53 (at y=0y=0) and 43\dfrac43 (at y=1y=1), so its area is 12(53+43)=32.\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32. The rectangle has area 2,2, so the probability is 322=34.\dfrac{\frac{3}{2}}{2}=\dfrac34.
Thus, the correct answer is C.

19.

Si a,a, b,b, y cc son números reales positivos tales que a(b+c)=152,a(b+c)=152, b(c+a)=162,b(c+a)=162, y c(a+b)=170,c(a+b)=170, entonces abcabc es
If a,a, b,b, and cc are positive real numbers such that a(b+c)=152,a(b+c)=152, b(c+a)=162,b(c+a)=162, and c(a+b)=170,c(a+b)=170, then abcabc is
672672
688688
704704
720720
750750
Conceptos:sistema de ecuacionessimetría (álgebra)
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:
Suma las tres ecuaciones para obtener ab+bc+caab+bc+ca.
Add all three equations to get ab+bc+caab+bc+ca
Pista grande:
Resta cada ecuación original de ese total para hallar ab,ab, bc,bc, ca,ca, luego multiplica y toma una raíz cuadrada.
Subtract each original equation from that total to find ab,ab, bc,bc, ca,ca, then multiply and take a square root
Solución:
Sumar las tres ecuaciones da 2(ab+bc+ca)=484,2(ab+bc+ca)=484, así que ab+bc+ca=242.ab+bc+ca=242. Restar de esto cada ecuación original produce bc=90,bc=90, ca=80,ca=80, y ab=72.ab=72.
Al multiplicar, (abc)2=90⋅80⋅72=7202,(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2, y como abc>0,abc\gt0, obtenemos abc=720.abc=720.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Adding the three equations gives 2(ab+bc+ca)=484,2(ab+bc+ca)=484, so ab+bc+ca=242.ab+bc+ca=242. Subtracting each original equation from this yields bc=90,bc=90, ca=80,ca=80, and ab=72.ab=72.
Multiplying, (abc)2=90⋅80⋅72=7202,(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2, and since abc>0,abc\gt0, we get abc=720.abc=720.
Thus, the correct answer is D.

20.

Sea △XOY\triangle XOY un triángulo rectángulo con m∠XOY=90∘.m\angle XOY=90^\circ. Sean MM y NN los puntos medios de los catetos OXOX y OY,OY, respectivamente. Dado que XN=19XN=19 y YM=22,YM=22, halla XY.XY.
Let △XOY\triangle XOY be a right-angled triangle with m∠XOY=90∘.m\angle XOY=90^\circ. Let MM and NN be the midpoints of legs OXOX and OY,OY, respectively. Given that XN=19XN=19 and YM=22,YM=22, find XY.XY.
2424
2626
2828
3030
3232
Conceptos:triángulo rectángulomediana (geometría)Teorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Sea OM=a,OM=a, ON=bON=b; entonces 192=(2a)2+b219^2=(2a)^2+b^2 y 222=a2+(2b)222^2=a^2+(2b)^2.
Let OM=a,OM=a, ON=bON=b; then 192=(2a)2+b219^2=(2a)^2+b^2 and 222=a2+(2b)222^2=a^2+(2b)^2
Pista grande:
Suma las ecuaciones para obtener 5(a2+b2)5(a^2+b^2); observa que XY=2a2+b2XY=2\sqrt{a^2+b^2}.
Add the equations to get 5(a2+b2)5(a^2+b^2); note that XY=2a2+b2XY=2\sqrt{a^2+b^2}
Solución:
Sea OM=aOM=a y ON=b.ON=b. Como M,NM,N son puntos medios, XN2=(2a)2+b2=361XN^2=(2a)^2+b^2=361 y YM2=a2+(2b)2=484.YM^2=a^2+(2b)^2=484.
Al sumar, 5(a2+b2)=845,5(a^2+b^2)=845, así que a2+b2=169.a^2+b^2=169. Entonces MN=a2+b2=13,MN=\sqrt{a^2+b^2}=13, y como MNMN es el segmento medio que une MM y N,N, tenemos XY=2 MN=26.XY=2\,MN=26.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let OM=aOM=a and ON=b.ON=b. Since M,NM,N are midpoints, XN2=(2a)2+b2=361XN^2=(2a)^2+b^2=361 and YM2=a2+(2b)2=484.YM^2=a^2+(2b)^2=484.
Adding, 5(a2+b2)=845,5(a^2+b^2)=845, so a2+b2=169.a^2+b^2=169. Then MN=a2+b2=13,MN=\sqrt{a^2+b^2}=13, and since MNMN is the midsegment joining MM and N,N, we have XY=2 MN=26.XY=2\,MN=26.
Thus, the correct answer is B.

21.

Para todo entero positivo nn menor que 2002,2002, sea an={11,si n es divisible por 13 y 14;13,si n es divisible por 14 y 11;14,si n es divisible por 11 y 13;0,en otro caso.a_n=\begin{cases} 11, & \text{si } n \text{ es divisible por } 13 \text{ y } 14;\\ 13, & \text{si } n \text{ es divisible por } 14 \text{ y } 11;\\ 14, & \text{si } n \text{ es divisible por } 11 \text{ y } 13;\\ 0, & \text{en otro caso}. \end{cases} Calcula ∑n=12001an.\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n.
For all positive integers nn less than 2002,2002, let an={11,if n is divisible by 13 and 14;13,if n is divisible by 14 and 11;14,if n is divisible by 11 and 13;0,otherwise.a_n=\begin{cases} 11, & \text{if } n \text{ is divisible by } 13 \text{ and } 14;\\ 13, & \text{if } n \text{ is divisible by } 14 \text{ and } 11;\\ 14, & \text{if } n \text{ is divisible by } 11 \text{ and } 13;\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} Calculate ∑n=12001an.\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n.
448448
486486
15601560
20012001
20022002
Conceptos:divisibilidadmínimo común múltiplomúltiplo
Nivel de dificultad: 1650
Pista pequeña:
Como 11,11, 13,13, 1414 son coprimos dos a dos, «divisible entre dos de ellos» significa divisible entre su producto.
Because 11,11, 13,13, 1414 are pairwise coprime, “divisible by two of them” means divisible by their product
Pista grande:
Cuenta los múltiplos de 182,182, 154,154, 143143 por debajo de 20022002; ningún número menor que 20022002 es divisible entre los tres.
Count multiples of 182,182, 154,154, 143143 below 20022002; no number under 20022002 is divisible by all three
Solución:
Como 2002=11⋅13⋅142002=11\cdot13\cdot14 con 11,11, 13,13, 1414 coprimos dos a dos, an=11a_n=11 cuando nn es múltiplo de 182,182, an=13a_n=13 cuando nn es múltiplo de 154,154, y an=14a_n=14 cuando nn es múltiplo de 143143 (y ningún n<2002n\lt2002 es divisible entre los tres).
Para n≤2001n\le2001 hay 1010 múltiplos de 182,182, 1212 de 154,154, y 1313 de 143.143. Así que la suma es 11⋅10+13⋅12+14⋅13=110+156+182=448. \begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Since 2002=11⋅13⋅142002=11\cdot13\cdot14 with 11,11, 13,13, 1414 pairwise coprime, an=11a_n=11 when nn is divisible by 182,182, an=13a_n=13 when nn is divisible by 154,154, and an=14a_n=14 when nn is divisible by 143143 (and no n<2002n\lt2002 is divisible by all three).
For n≤2001n\le2001 there are 1010 multiples of 182,182, 1212 of 154,154, and 1313 of 143.143. So the sum is 11⋅10+13⋅12+14⋅13=110+156+182=448. \begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448. \end{gathered}
Thus, the correct answer is A.

22.

Para todos los enteros nn mayores que 1,1, define an=1log⁡n2002.a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}. Sea b=a2+a3+a4+a5b=a_2+a_3+a_4+a_5 y c=a10+a11+a12+a13+a14.c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}. Entonces b−cb-c es igual a
For all integers nn greater than 1,1, define an=1log⁡n2002.a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}. Let b=a2+a3+a4+a5b=a_2+a_3+a_4+a_5 and c=a10+a11+a12+a13+a14.c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}. Then b−cb-c equals
−2-2
−1-1
12002\dfrac{1}{2002}
11001\dfrac{1}{1001}
12\dfrac{1}{2}
Conceptos:logaritmo
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Nota que 1log⁡n2002=log⁡2002n\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n.
1log⁡n2002=log⁡2002n\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n
Pista grande:
Entonces b−cb-c =log⁡20022⋅3⋅4⋅510⋅11⋅12⋅13⋅14=\log_{2002}\dfrac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}; simplifica la fracción.
Then b−cb-c =log⁡20022⋅3⋅4⋅510⋅11⋅12⋅13⋅14=\log_{2002}\dfrac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}; simplify the fraction
Solución:
Por cambio de base, an=1log⁡n2002=log⁡2002n.a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n. Así b−c=log⁡20022⋅3⋅4⋅510⋅11⋅12⋅13⋅14. \begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}. \end{gathered}
La fracción es igual a 120240240=12002,\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002}, así que b−c=log⁡200212002=−1.b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
By change of base, an=1log⁡n2002=log⁡2002n.a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n. So b−c=log⁡20022⋅3⋅4⋅510⋅11⋅12⋅13⋅14. \begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}. \end{gathered}
The fraction equals 120240240=12002,\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002}, so b−c=log⁡200212002=−1.b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1.
Thus, the correct answer is B.

23.

En △ABC,\triangle ABC, tenemos AB=1AB=1 y AC=2.AC=2. El lado BCBC y la mediana desde AA hacia BCBC tienen la misma longitud. ¿Cuánto vale BCBC?
In △ABC,\triangle ABC, we have AB=1AB=1 and AC=2.AC=2. Side BCBC and the median from AA to BCBC have the same length. What is BC?BC?
1+22\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}
1+32\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}
2\sqrt{2}
32\dfrac{3}{2}
3\sqrt{3}
Conceptos:mediana (geometría)ley de los cosenos
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:
Sea MM el punto medio de BC,BC, AM=2a,AM=2a, y θ=∠AMB\theta=\angle AMB.
Let MM be the midpoint of BC,BC, AM=2a,AM=2a, and θ=∠AMB\theta=\angle AMB
Pista grande:
Aplica la ley de los cosenos a △ABM\triangle ABM y △AMC\triangle AMC (ángulos θ\theta y 180∘−θ180^\circ-\theta) y suma.
Apply the Law of Cosines to △ABM\triangle ABM and △AMC\triangle AMC (angles θ\theta and 180∘−θ180^\circ-\theta) and add
Solución:
Sea MM el punto medio de BC,BC, pon AM=2a,AM=2a, y sea θ=∠AMB,\theta=\angle AMB, de modo que ∠AMC=180∘−θ.\angle AMC=180^\circ-\theta. Con BM=CM=a,BM=CM=a, de manera que BC=2a,BC=2a, la ley de los cosenos en △ABM\triangle ABM y △AMC\triangle AMC da a2+4a2−4a2cos⁡θ=1,a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1, a2+4a2+4a2cos⁡θ=4.a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4.
Al sumar, 10a2=5,10a^2=5, así que a=22a=\dfrac{\sqrt2}{2} y BC=2a=2.BC=2a=\sqrt2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let MM be the midpoint of BC,BC, set AM=2a,AM=2a, and let θ=∠AMB,\theta=\angle AMB, so ∠AMC=180∘−θ.\angle AMC=180^\circ-\theta. With BM=CM=a,BM=CM=a, so that BC=2a,BC=2a, the Law of Cosines in △ABM\triangle ABM and △AMC\triangle AMC gives a2+4a2−4a2cos⁡θ=1,a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1, a2+4a2+4a2cos⁡θ=4.a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4.
Adding, 10a2=5,10a^2=5, so a=22a=\dfrac{\sqrt2}{2} and BC=2a=2.BC=2a=\sqrt2.
Thus, the correct answer is C.

24.

Un cuadrilátero convexo ABCDABCD de área 20022002 contiene un punto PP en su interior tal que PA=24,PA=24, PB=32,PB=32, PC=28,PC=28, y PD=45.PD=45. Halla el perímetro de ABCD.ABCD.
A convex quadrilateral ABCDABCD with area 20022002 contains a point PP in its interior such that PA=24,PA=24, PB=32,PB=32, PC=28,PC=28, and PD=45.PD=45. Find the perimeter of ABCD.ABCD.
420024\sqrt{2002}
284652\sqrt{8465}
2(48+2002)2\left(48+\sqrt{2002}\right)
286332\sqrt{8633}
4(36+113)4\left(36+\sqrt{113}\right)
Conceptos:áreadiagonalTeorema de Pitágorasacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Para un cuadrilátero con diagonales d1,d2,d_1,d_2, el área es a lo sumo 12d1d2,\tfrac12 d_1 d_2, con igualdad cuando las diagonales son perpendiculares.
For a quadrilateral with diagonals d1,d2,d_1,d_2, the area is at most 12d1d2,\tfrac12 d_1 d_2, with equality when the diagonals are perpendicular
Pista grande:
Aquí 12(PA+PC)(PB+PD)\tfrac12(PA+PC)(PB+PD) =2002=2002 obliga a que las diagonales sean perpendiculares y se corten en PP; halla cada lado con el teorema de Pitágoras.
Here 12(PA+PC)(PB+PD)\tfrac12(PA+PC)(PB+PD) =2002=2002 forces perpendicular diagonals meeting at PP; find each side with the Pythagorean theorem
Solución:
Para cualquier cuadrilátero, el área es a lo sumo 12 d1d2\tfrac12\,d_1 d_2 donde d1,d2d_1,d_2 son las diagonales, con igualdad exactamente cuando son perpendiculares. Aquí 2002=Area≤12 AC⋅BD≤12(PA+PC)(PB+PD)=12⋅52⋅77=2002. \begin{gathered} 2002=\text{Area} \\ {}\le \tfrac12\,AC\cdot BD \\ {}\le \tfrac12(PA+PC)(PB+PD) \\ {}= \tfrac12\cdot52\cdot77 \\ {}= 2002. \end{gathered}
La igualdad obliga a que las diagonales sean perpendiculares y se corten en P.P. Entonces AB=242+322=40,BC=282+322=4113, \begin{aligned} AB &= \sqrt{24^2+32^2}=40, \\ BC &= \sqrt{28^2+32^2}=4\sqrt{113}, \end{aligned} CD=282+452=53,DA=452+242=51. \begin{aligned} CD &= \sqrt{28^2+45^2}=53, \\ DA &= \sqrt{45^2+24^2}=51. \end{aligned}
El perímetro es 144+4113=4(36+113).144+4\sqrt{113}=4\left(36+\sqrt{113}\right).
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
For any quadrilateral, the area is at most 12 d1d2\tfrac12\,d_1 d_2 where d1,d2d_1,d_2 are the diagonals, with equality exactly when they are perpendicular. Here 2002=Area≤12 AC⋅BD≤12(PA+PC)(PB+PD)=12⋅52⋅77=2002. \begin{gathered} 2002=\text{Area} \\ {}\le \tfrac12\,AC\cdot BD \\ {}\le \tfrac12(PA+PC)(PB+PD) \\ {}= \tfrac12\cdot52\cdot77 \\ {}= 2002. \end{gathered}
Equality forces the diagonals to be perpendicular and to intersect at P.P. Then AB=242+322=40,BC=282+322=4113, \begin{aligned} AB &= \sqrt{24^2+32^2}=40, \\ BC &= \sqrt{28^2+32^2}=4\sqrt{113}, \end{aligned} CD=282+452=53,DA=452+242=51. \begin{aligned} CD &= \sqrt{28^2+45^2}=53, \\ DA &= \sqrt{45^2+24^2}=51. \end{aligned}
The perimeter is 144+4113=4(36+113).144+4\sqrt{113}=4\left(36+\sqrt{113}\right).
Thus, the correct answer is E.

25.

Sea f(x)=x2+6x+1,f(x)=x^2+6x+1, y sea RR el conjunto de puntos (x,y)(x,y) en el plano coordenado tales que f(x)+f(y)≤0f(x)+f(y)\le0 y f(x)−f(y)≤0.f(x)-f(y)\le0. El área de RR es la más cercana a
Let f(x)=x2+6x+1,f(x)=x^2+6x+1, and let RR denote the set of points (x,y)(x,y) in the coordinate plane such that f(x)+f(y)≤0f(x)+f(y)\le0 and f(x)−f(y)≤0.f(x)-f(y)\le0. The area of RR is closest to
2121
2222
2323
2424
2525
Conceptos:completar el cuadradocírculoárea
Nivel de dificultad: 2260
Pista pequeña:
Completa el cuadrado: f(x)+f(y)f(x)+f(y) =(x+3)2+(y+3)2−16=(x+3)^2+(y+3)^2-16.
Complete the square: f(x)+f(y)f(x)+f(y) =(x+3)2+(y+3)2−16=(x+3)^2+(y+3)^2-16
Pista grande:
La primera condición es un disco de radio 44; la segunda, (x−y)(x+y+6)≤0,(x-y)(x+y+6)\le0, conserva la mitad de él.
The first condition is a disk of radius 44; the second, (x−y)(x+y+6)≤0,(x-y)(x+y+6)\le0, keeps half of it
Solución:
Al completar el cuadrado, f(x)+f(y)=(x+3)2+(y+3)2−16, \begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered} así que la primera condición es el disco de radio 44 centrado en (−3,−3).(-3,-3).
Además f(x)−f(y)=(x−y)(x+y+6), \begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered} así que la segunda condición (x−y)(x+y+6)≤0(x-y)(x+y+6)\le0 describe dos semiplanos limitados por las rectas perpendiculares que pasan por (−3,−3)(-3,-3) de pendientes 11 y −1.-1. Estas cortan el disco en dos mitades iguales.
Así, RR tiene área 12π⋅42=8π≈25.13,\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13, que es la más cercana a 25.25.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Completing the square, f(x)+f(y)=(x+3)2+(y+3)2−16, \begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered} so the first condition is the disk of radius 44 centered at (−3,−3).(-3,-3).
Also f(x)−f(y)=(x−y)(x+y+6), \begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered} so the second condition (x−y)(x+y+6)≤0(x-y)(x+y+6)\le0 describes two half-planes bounded by the perpendicular lines through (−3,−3)(-3,-3) of slopes 11 and −1.-1. These cut the disk into two equal halves.
Thus RR has area 12π⋅42=8π≈25.13,\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13, which is closest to 25.25.
Thus, the correct answer is E.