Soluciones del 2002 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La media aritmética de los nueve números del conjunto $\{9,$ $99,$ $999,$ $9999,$ $\ldots,$ $999999999\}$ es un número de $9$ cifras $M,$ cuyas cifras son todas distintas. El número $M$ no contiene la cifra

The arithmetic mean of the nine numbers in the set $\{9,$ $99,$ $999,$ $9999,$ $\ldots,$ $999999999\}$ is a $9$ -digit number $M,$ all of whose digits are distinct. The number $M$ does not contain the digit

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:valor posicional dígitos

Nivel de dificultad: 950

Solución:

Cada uno de los nueve números es $10^k-1,$ así que su suma es $9+99+\cdots+999{,}999{,}999.$ Al dividir entre $9,$ $\begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned}$ Sus cifras son del $1$ al $9,$ por lo que la cifra que falta es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each of the nine numbers is $10^k-1,$ so their sum is $9+99+\cdots+999{,}999{,}999.$ Dividing by $9,$ $\begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned}$ Its digits are $1$ through $9,$ so the missing digit is $0.$

Thus, the correct answer is A.

2.

¿Cuál es el valor de $\begin{aligned} &(3x-2)(4x+1) \\ &\quad {}-(3x-2)4x+1 \end{aligned}$ cuando $x=4$ ?

What is the value of $\begin{aligned} &(3x-2)(4x+1) \\ &\quad {}-(3x-2)4x+1 \end{aligned}$ when $x=4?$

$0$

$1$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:manipulación algebraica factorización

Nivel de dificultad: 980

Solución:

Saca como factor $3x-2$ de los dos primeros términos: $\begin{gathered} (3x-2)(4x+1) \\ {}-(3x-2)4x+1 \\ {}=(3x-2)(4x+1-4x)+1 \\ {}=3x-1. \end{gathered}$ En $x=4$ esto vale $3\cdot4-1=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factor $3x-2$ out of the first two terms: $\begin{gathered} (3x-2)(4x+1) \\ {}-(3x-2)4x+1 \\ {}=(3x-2)(4x+1-4x)+1 \\ {}=3x-1. \end{gathered}$ At $x=4$ this equals $3\cdot4-1=11.$

Thus, the correct answer is D.

3.

¿Para cuántos enteros positivos $n$ es $n^2-3n+2$ un número primo?

For how many positive integers $n$ is $n^2-3n+2$ a prime number?

ninguno

none

uno

one

dos

two

más de dos, pero un número finito

more than two, but finitely many

un número infinito

infinitely many

Conceptos:factorización primo

Nivel de dificultad: 1120

Solución:

Factoriza $n^2-3n+2=(n-1)(n-2).$ Para $n\ge4$ ambos factores superan a $1,$ por lo que el valor es compuesto. Al probar $n=1,2,3$ se obtiene $0,$ $0,$ y $2.$ Solo $n=3$ produce un primo, así que hay exactamente uno de tales $n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factor $n^2-3n+2=(n-1)(n-2).$ For $n\ge4$ both factors exceed $1,$ so the value is composite. Checking $n=1,2,3$ gives $0,$ $0,$ and $2.$ Only $n=3$ yields a prime, so there is exactly one such $n.$

Thus, the correct answer is B.

4.

Sea $n$ un entero positivo tal que $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n$ es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

Let $n$ be a positive integer such that $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n$ is an integer. Which of the following statements is not true:

$2$ divide a $n$

$2$ divides $n$

$3$ divide a $n$

$3$ divides $n$

$6$ divide a $n$

$6$ divides $n$

$7$ divide a $n$

$7$ divides $n$

$n\gt84$

Conceptos:fracción divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Como $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42},$ la suma $\dfrac{41}{42}+\dfrac1n$ está estrictamente entre $0$ y $2,$ así que debe ser igual a $1.$ Entonces $\dfrac1n=\dfrac1{42},$ lo que da $n=42.$

Ahora bien, $2,$ $3,$ $6,$ y $7$ dividen todos a $42,$ pero $n\gt84$ es falso. La afirmación no verdadera es $n\gt84.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42},$ the sum $\dfrac{41}{42}+\dfrac1n$ lies strictly between $0$ and $2,$ so it must equal $1.$ Then $\dfrac1n=\dfrac1{42},$ giving $n=42.$

Now $2,$ $3,$ $6,$ and $7$ all divide $42,$ but $n\gt84$ is false. The untrue statement is $n\gt84.$

Thus, the correct answer is E.

5.

Sean $v,$ $w,$ $x,$ $y,$ y $z$ las medidas en grados de los cinco ángulos de un pentágono. Supón que $v\lt w\lt x\lt y\lt z$ y que $v,$ $w,$ $x,$ $y,$ $z$ forman una progresión aritmética. Halla el valor de $x.$

Let $v,$ $w,$ $x,$ $y,$ and $z$ be the degree measures of the five angles of a pentagon. Suppose $v\lt w\lt x\lt y\lt z$ and $v,$ $w,$ $x,$ $y,$ $z$ form an arithmetic sequence. Find the value of $x.$

$72$

$84$

$90$

$108$

$120$

Conceptos:suma de ángulos sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1080

Solución:

Los cinco ángulos interiores suman $540^\circ.$ Escribiendo la progresión como $x-2d,$ $x-d,$ $x,$ $x+d,$ $x+2d,$ la suma es $5x=540,$ así que $x=108.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The five interior angles sum to $540^\circ.$ Writing the sequence as $x-2d,$ $x-d,$ $x,$ $x+d,$ $x+2d,$ the sum is $5x=540,$ so $x=108.$

Thus, the correct answer is D.

6.

Supón que $a$ y $b$ son números reales no nulos, y que la ecuación $x^2+ax+b=0$ tiene por soluciones $a$ y $b.$ Entonces el par $(a,b)$ es

Suppose that $a$ and $b$ are nonzero real numbers, and that the equation $x^2+ax+b=0$ has solutions $a$ and $b.$ Then the pair $(a,b)$ is

$(-2,1)$

$(-1,2)$

$(1,-2)$

$(2,-1)$

$(4,4)$

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

Como $a$ y $b$ son las raíces, $\begin{gathered} x^2+ax+b \\ {}=(x-a)(x-b) \\ {}=x^2-(a+b)x+ab. \end{gathered}$ Igualar coeficientes da $a+b=-a$ y $ab=b.$

Como $b\neq0,$ la segunda ecuación da $a=1,$ y luego $a+b=-a$ da $b=-2.$ Así $(a,b)=(1,-2).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $a$ and $b$ are the roots, $\begin{gathered} x^2+ax+b \\ {}=(x-a)(x-b) \\ {}=x^2-(a+b)x+ab. \end{gathered}$ Matching coefficients gives $a+b=-a$ and $ab=b.$

As $b\neq0,$ the second equation gives $a=1,$ and then $a+b=-a$ gives $b=-2.$ So $(a,b)=(1,-2).$

Thus, the correct answer is C.

7.

El producto de tres enteros positivos consecutivos es $8$ veces su suma. ¿Cuál es la suma de sus cuadrados?

The product of three consecutive positive integers is $8$ times their sum. What is the sum of their squares?

$50$

$77$

$110$

$149$

$194$

Conceptos:cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

Sean los enteros $n-1,$ $n,$ $n+1.$ Entonces $(n-1)n(n+1)=8\cdot3n,$ así que $n^2-1=24$ y $n=5.$

Los tres enteros $4,$ $5,$ $6$ tienen cuadrados que suman $16+25+36=77.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the integers be $n-1,$ $n,$ $n+1.$ Then $(n-1)n(n+1)=8\cdot3n,$ so $n^2-1=24$ and $n=5.$

The three integers $4,$ $5,$ $6$ have squares summing to $16+25+36=77.$

Thus, the correct answer is B.

8.

Supón que julio del año $N$ tiene cinco lunes. ¿Cuál de los siguientes días debe ocurrir cinco veces en agosto del año $N$ ? (Nota: ambos meses tienen $31$ días.)

Suppose July of year $N$ has five Mondays. Which of the following must occur five times in August of year $N?$ (Note: Both months have $31$ days.)

lunes

Monday

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

jueves

Thursday

viernes

Friday

Conceptos:fecha y hora aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Como julio tiene $31=4\cdot7+3$ días, el día de la semana del $1$ de julio ocurre cinco veces, así que el lunes cae en el $1,$ $2,$ o $3.$ Los días que ocurren cinco veces en agosto son los del $1,$ $2,$ $3,$ de agosto, y el $1$ de agosto está tres días de la semana después del $1.$

Al probar los tres casos, los días de agosto que ocurren cinco veces son de jueves a sábado, de miércoles a viernes, y de martes a jueves. El jueves aparece en todos los casos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since July has $31=4\cdot7+3$ days, the weekday of July $1$ occurs five times, so Monday falls on July $1,$ $2,$ or $3.$ The days that occur five times in August are those of August $1,$ $2,$ $3,$ and August $1$ is three weekdays after July $1.$

Testing the three cases, the August weekdays occurring five times are Thursday through Saturday, Wednesday through Friday, and Tuesday through Thursday. Thursday appears in every case.

Thus, the correct answer is D.

9.

Si $a,$ $b,$ $c,$ $d$ son números reales positivos tales que $a,$ $b,$ $c,$ $d$ forman una progresión aritmética creciente y $a,$ $b,$ $d$ forman una progresión geométrica, entonces $\dfrac{a}{d}$ es

If $a,$ $b,$ $c,$ $d$ are positive real numbers such that $a,$ $b,$ $c,$ $d$ form an increasing arithmetic sequence and $a,$ $b,$ $d$ form a geometric sequence, then $\dfrac{a}{d}$ is

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1330

Solución:

Sea $b=a+r,$ $c=a+2r,$ $d=a+3r.$ La condición geométrica $b^2=ad$ da $(a+r)^2=a(a+3r),$ es decir $r^2=ar,$ así que $r=a.$

Entonces $d=a+3a=4a$ y $\dfrac{a}{d}=\dfrac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $b=a+r,$ $c=a+2r,$ $d=a+3r.$ The geometric condition $b^2=ad$ gives $(a+r)^2=a(a+3r),$ i.e. $r^2=ar,$ so $r=a.$

Then $d=a+3a=4a$ and $\dfrac{a}{d}=\dfrac14.$

Thus, the correct answer is C.

10.

¿Cuántos enteros diferentes pueden expresarse como la suma de tres miembros distintos del conjunto $\{1,4,7,10,13,16,19\}$ ?

How many different integers can be expressed as the sum of three distinct members of the set $\{1,4,7,10,13,16,19\}?$

$13$

$16$

$24$

$30$

$35$

Conceptos:aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Cada elemento es uno más que un múltiplo de $3,$ así que cualquier suma de tres de ellos es un múltiplo de $3.$ La suma más pequeña es $1+4+7=12$ y la más grande es $13+16+19=48,$ y todo múltiplo de $3$ entre ellas es alcanzable.

Hay $13$ múltiplos de $3$ desde $12$ hasta $48.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every element is one more than a multiple of $3,$ so any sum of three of them is a multiple of $3.$ The smallest sum is $1+4+7=12$ and the largest is $13+16+19=48,$ and every multiple of $3$ between them is attainable.

There are $13$ multiples of $3$ from $12$ to $48.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Los enteros positivos $A,$ $B,$ $A-B,$ y $A+B$ son todos números primos. La suma de estos cuatro primos es

The positive integers $A,$ $B,$ $A-B,$ and $A+B$ are all prime numbers. The sum of these four primes is

par

even

divisible entre $3$

divisible by $3$

divisible entre $5$

divisible by $5$

divisible entre $7$

divisible by $7$

primo

prime

Conceptos:paridad primo

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

$A-B$ y $A+B$ tienen la misma paridad; al ser primos, ambos son impares, así que uno de $A,B$ es par. Como $A$ está entre los dos primos impares $A-B$ y $A+B,$ es el impar, lo que obliga a $B=2.$

Entonces $A-2,$ $A,$ $A+2$ son tres primos, que deben ser $3,$ $5,$ $7.$ Su suma junto con $2$ es $2+3+5+7=17,$ un primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

$A-B$ and $A+B$ have the same parity; being prime, both are odd, so one of $A,B$ is even. Since $A$ lies between the two odd primes $A-B$ and $A+B,$ it is the odd one, forcing $B=2.$

Then $A-2,$ $A,$ $A+2$ are three primes, which must be $3,$ $5,$ $7.$ Their sum together with $2$ is $2+3+5+7=17,$ a prime.

Thus, the correct answer is E.

12.

¿Para cuántos enteros $n$ es $\dfrac{n}{20-n}$ el cuadrado de un entero?

For how many integers $n$ is $\dfrac{n}{20-n}$ the square of an integer?

$1$

$2$

$3$

$4$

$10$

Conceptos:cuadrado perfecto divisibilidad

Nivel de dificultad: 1490

Solución:

Pon $\dfrac{n}{20-n}=k^2.$ Al despejar, $n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.$ Como $k^2$ y $k^2+1$ son coprimos, $k^2+1$ debe dividir a $20,$ lo que solo ocurre para $k=0,1,2,3.$

Estos dan $n=0,$ $10,$ $16,$ $18,$ que son cuatro valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $\dfrac{n}{20-n}=k^2.$ Solving, $n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.$ Since $k^2$ and $k^2+1$ are coprime, $k^2+1$ must divide $20,$ which happens only for $k=0,1,2,3.$

These give $n=0,$ $10,$ $16,$ $18,$ which is four values.

Thus, the correct answer is D.

13.

La suma de $18$ enteros positivos consecutivos es un cuadrado perfecto. El menor valor posible de esta suma es

The sum of $18$ consecutive positive integers is a perfect square. The smallest possible value of this sum is

$169$

$225$

$289$

$361$

$441$

Conceptos:cuadrado perfecto sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

La suma de $n,$ $n+1,\ldots,$ $n+17$ es $18n+\dfrac{17\cdot18}{2}=9(2n+17).$ Como $9$ es un cuadrado perfecto, $2n+17$ también debe serlo.

El menor entero positivo $n$ que hace de $2n+17$ un cuadrado perfecto es $n=4,$ que da $2n+17=25$ y una suma de $9\cdot25=225.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The sum of $n,$ $n+1,\ldots,$ $n+17$ is $18n+\dfrac{17\cdot18}{2}=9(2n+17).$ Since $9$ is a perfect square, $2n+17$ must be one too.

The smallest positive integer $n$ making $2n+17$ a perfect square is $n=4,$ giving $2n+17=25$ and a sum of $9\cdot25=225.$

Thus, the correct answer is B.

14.

Se dibujan cuatro círculos distintos en un plano. ¿Cuál es el número máximo de puntos donde se cortan al menos dos de los círculos?

Four distinct circles are drawn in a plane. What is the maximum number of points where at least two of the circles intersect?

$8$

$9$

$10$

$12$

$16$

Conceptos:conteo de intersecciones conteo de pares

Nivel de dificultad: 1220

Solución:

Cada par de círculos se corta en a lo sumo $2$ puntos, y hay $\binom{4}{2}=6$ pares, lo que da a lo sumo $6\cdot2=12$ puntos de intersección.

Es posible una configuración de cuatro círculos que alcance los $12$ puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each pair of circles meets in at most $2$ points, and there are $\binom{4}{2}=6$ pairs, giving at most $6\cdot2=12$ intersection points.

A configuration of four circles achieving all $12$ points is possible.

Thus, the correct answer is D.

15.

¿Cuántos números de cuatro cifras $N$ tienen la propiedad de que el número de tres cifras obtenido al quitar la cifra de más a la izquierda es un noveno de $N$ ?

How many four-digit numbers $N$ have the property that the three-digit number obtained by removing the leftmost digit is one ninth of $N?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:valor posicional dígitos

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Sea $a$ la cifra inicial y $x$ el número de tres cifras que queda al quitarla, de modo que $N=1000a+x.$ La condición $N=9x$ da $1000a=8x,$ es decir $x=125a.$

Para $a=1,\ldots,7$ esto hace de $x$ un número de tres cifras, mientras que $a=8$ da $x=1000.$ Así que hay $7$ números de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $a$ be the leading digit and $x$ the three-digit number after removing it, so $N=1000a+x.$ The condition $N=9x$ gives $1000a=8x,$ i.e. $x=125a.$

For $a=1,\ldots,7$ this makes $x$ a three-digit number, while $a=8$ gives $x=1000.$ So there are $7$ such numbers.

Thus, the correct answer is D.

16.

Juan lanza un dado octaédrico regular y justo marcado con los números $1$ al $8.$ Luego Amal lanza un dado justo de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los dos lanzamientos sea múltiplo de $3$ ?

Juan rolls a fair regular octahedral die marked with the numbers $1$ through $8.$ Then Amal rolls a fair six-sided die. What is the probability that the product of the two rolls is a multiple of $3?$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad complementaria dados (probabilidad)

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

El producto es múltiplo de $3$ si y solo si al menos un dado muestra $3$ o $6.$ El dado octaédrico evita $3,6$ con probabilidad $\dfrac68=\dfrac34,$ y el dado de seis caras los evita con probabilidad $\dfrac46=\dfrac23.$

Así que ninguno muestra un múltiplo de $3$ con probabilidad $\dfrac34\cdot\dfrac23=\dfrac12,$ y la respuesta es $1-\dfrac12=\dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The product is a multiple of $3$ if and only if at least one die shows $3$ or $6.$ The octahedral die avoids $3,6$ with probability $\dfrac68=\dfrac34,$ and the six-sided die avoids them with probability $\dfrac46=\dfrac23.$

So neither shows a multiple of $3$ with probability $\dfrac34\cdot\dfrac23=\dfrac12,$ and the answer is $1-\dfrac12=\dfrac12.$

Thus, the correct answer is C.

17.

El césped de Andy tiene el doble de área que el césped de Beth y el triple de área que el césped de Carlos. La cortadora de Carlos corta a la mitad de velocidad que la de Beth y a un tercio de la velocidad que la de Andy. Si los tres empiezan a cortar su césped al mismo tiempo, ¿quién terminará primero?

Andy's lawn has twice as much area as Beth's lawn and three times as much area as Carlos' lawn. Carlos' lawn mower cuts half as fast as Beth's mower and one third as fast as Andy's mower. If they all start to mow their lawns at the same time, who will finish first?

Andy

Beth

Carlos

Andy y Carlos empatan en el primer lugar.

Andy and Carlos tie for first.

Los tres empatan.

All three tie.

Conceptos:tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Sea el césped de Andy de área $A;$ entonces el de Beth es $\dfrac A2$ y el de Carlos es $\dfrac A3.$ Con la velocidad de Carlos $R,$ Beth corta a $2R$ y Andy a $3R.$

Sus tiempos son $\dfrac{A}{3R},$ $\dfrac{A/2}{2R}=\dfrac{A}{4R},$ y $\dfrac{A/3}{R}=\dfrac{A}{3R}$ respectivamente. El tiempo de Beth $\dfrac{A}{4R}$ es el más pequeño, así que Beth termina primero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let Andy's lawn have area $A;$ then Beth's is $\dfrac A2$ and Carlos' is $\dfrac A3.$ With Carlos' rate $R,$ Beth mows at $2R$ and Andy at $3R.$

Their times are $\dfrac{A}{3R},$ $\dfrac{A/2}{2R}=\dfrac{A}{4R},$ and $\dfrac{A/3}{R}=\dfrac{A}{3R}$ respectively. Beth's time $\dfrac{A}{4R}$ is the smallest, so Beth finishes first.

Thus, the correct answer is B.

18.

Se elige al azar un punto $P$ de la región rectangular con vértices $(0,0),$ $(2,0),$ $(2,1),$ $(0,1).$ ¿Cuál es la probabilidad de que $P$ esté más cerca del origen que del punto $(3,1)$ ?

A point $P$ is randomly selected from the rectangular region with vertices $(0,0),$ $(2,0),$ $(2,1),$ $(0,1).$ What is the probability that $P$ is closer to the origin than it is to the point $(3,1)?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

Conceptos:probabilidad geométrica mediatriz trapecio

Nivel de dificultad: 1610

Solución:

Los puntos más cercanos a $(0,0)$ que a $(3,1)$ están del lado del origen de la mediatriz de ese segmento, la recta $3x+y=5.$

Dentro del rectángulo, esta región es un trapecio cuyos lados paralelos tienen longitudes $\dfrac53$ (en $y=0$ ) y $\dfrac43$ (en $y=1$ ), así que su área es $\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32.$ El rectángulo tiene área $2,$ así que la probabilidad es $\dfrac{3/2}{2}=\dfrac34.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The points closer to $(0,0)$ than to $(3,1)$ lie on the origin side of the perpendicular bisector of that segment, the line $3x+y=5.$

Within the rectangle, this region is a trapezoid whose parallel sides have lengths $\dfrac53$ (at $y=0$ ) and $\dfrac43$ (at $y=1$ ), so its area is $\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32.$ The rectangle has area $2,$ so the probability is $\dfrac{3/2}{2}=\dfrac34.$

Thus, the correct answer is C.

19.

Si $a,$ $b,$ y $c$ son números reales positivos tales que $a(b+c)=152,$ $b(c+a)=162,$ y $c(a+b)=170,$ entonces $abc$ es

If $a,$ $b,$ and $c$ are positive real numbers such that $a(b+c)=152,$ $b(c+a)=162,$ and $c(a+b)=170,$ then $abc$ is

$672$

$688$

$704$

$720$

$750$

Conceptos:sistema de ecuaciones simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Sumar las tres ecuaciones da $2(ab+bc+ca)=484,$ así que $ab+bc+ca=242.$ Restar de esto cada ecuación original produce $bc=90,$ $ca=80,$ y $ab=72.$

Al multiplicar, $(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2,$ y como $abc\gt0,$ obtenemos $abc=720.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding the three equations gives $2(ab+bc+ca)=484,$ so $ab+bc+ca=242.$ Subtracting each original equation from this yields $bc=90,$ $ca=80,$ and $ab=72.$

Multiplying, $(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2,$ and since $abc\gt0,$ we get $abc=720.$

Thus, the correct answer is D.

20.

Sea $\triangle XOY$ un triángulo rectángulo con $m\angle XOY=90^\circ.$ Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los catetos $OX$ y $OY,$ respectivamente. Dado que $XN=19$ y $YM=22,$ halla $XY.$

Let $\triangle XOY$ be a right-angled triangle with $m\angle XOY=90^\circ.$ Let $M$ and $N$ be the midpoints of legs $OX$ and $OY,$ respectively. Given that $XN=19$ and $YM=22,$ find $XY.$

$24$

$26$

$28$

$30$

$32$

Conceptos:triángulo rectángulo mediana (geometría)Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Sea $OM=a$ y $ON=b.$ Como $M,N$ son puntos medios, $XN^2=(2a)^2+b^2=361$ y $YM^2=a^2+(2b)^2=484.$

Al sumar, $5(a^2+b^2)=845,$ así que $a^2+b^2=169.$ Entonces $MN=\sqrt{a^2+b^2}=13,$ y como $MN$ es el segmento medio que une $M$ y $N,$ tenemos $XY=2\,MN=26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $OM=a$ and $ON=b.$ Since $M,N$ are midpoints, $XN^2=(2a)^2+b^2=361$ and $YM^2=a^2+(2b)^2=484.$

Adding, $5(a^2+b^2)=845,$ so $a^2+b^2=169.$ Then $MN=\sqrt{a^2+b^2}=13,$ and since $MN$ is the midsegment joining $M$ and $N,$ we have $XY=2\,MN=26.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Para todos los enteros positivos menores que $2002$ , sea $n$ tal que $a_n=\begin{cases} 11, & 182\mid n;\\ 13, & 154\mid n;\\ 14, & 143\mid n. \end{cases}$ En todos los demás casos define $a_n=0$ . Calcula $\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n.$

For all positive integers less than $2002$ , let $n$ satisfy $a_n=\begin{cases} 11, & 182\mid n;\\ 13, & 154\mid n;\\ 14, & 143\mid n. \end{cases}$ In all other cases set $a_n=0$ . Calculate $\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n.$

$448$

$486$

$1560$

$2001$

$2002$

Conceptos:divisibilidad mínimo común múltiplo múltiplo

Nivel de dificultad: 1650

Solución:

Como $2002=11\cdot13\cdot14$ con $11,$ $13,$ $14$ coprimos dos a dos, $a_n=11$ cuando $182\mid n,$ $a_n=13$ cuando $154\mid n,$ y $a_n=14$ cuando $143\mid n$ (y ningún $n\lt2002$ es divisible entre los tres).

Para $n\le2001$ hay $10$ múltiplos de $182,$ $12$ de $154,$ y $13$ de $143.$ Así que la suma es $\begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $2002=11\cdot13\cdot14$ with $11,$ $13,$ $14$ pairwise coprime, $a_n=11$ when $182\mid n,$ $a_n=13$ when $154\mid n,$ and $a_n=14$ when $143\mid n$ (and no $n\lt2002$ is divisible by all three).

For $n\le2001$ there are $10$ multiples of $182,$ $12$ of $154,$ and $13$ of $143.$ So the sum is $\begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

22.

Para todos los enteros $n$ mayores que $1,$ define $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}.$ Sea $b=a_2+a_3+a_4+a_5$ y $c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}.$ Entonces $b-c$ es igual a

For all integers $n$ greater than $1,$ define $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}.$ Let $b=a_2+a_3+a_4+a_5$ and $c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}.$ Then $b-c$ equals

$-2$

$-1$

$\dfrac{1}{2002}$

$\dfrac{1}{1001}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Por cambio de base, $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n.$ Así $\begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}. \end{gathered}$

La fracción es igual a $\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002},$ así que $b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By change of base, $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n.$ So $\begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}. \end{gathered}$

The fraction equals $\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002},$ so $b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1.$

Thus, the correct answer is B.

23.

En $\triangle ABC,$ tenemos $AB=1$ y $AC=2.$ El lado $BC$ y la mediana desde $A$ hacia $BC$ tienen la misma longitud. ¿Cuánto vale $BC$ ?

In $\triangle ABC,$ we have $AB=1$ and $AC=2.$ Side $BC$ and the median from $A$ to $BC$ have the same length. What is $BC?$

$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{3}$

Conceptos:mediana (geometría)ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Sea $M$ el punto medio de $BC,$ pon $AM=2a,$ y sea $\theta=\angle AMB,$ de modo que $\angle AMC=180^\circ-\theta.$ Con $BM=CM=a,$ de manera que $BC=2a,$ la ley de los cosenos en $\triangle ABM$ y $\triangle AMC$ da $a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1,$ $a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4.$

Al sumar, $10a^2=5,$ así que $a=\dfrac{\sqrt2}{2}$ y $BC=2a=\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $M$ be the midpoint of $BC,$ set $AM=2a,$ and let $\theta=\angle AMB,$ so $\angle AMC=180^\circ-\theta.$ With $BM=CM=a,$ so that $BC=2a,$ the Law of Cosines in $\triangle ABM$ and $\triangle AMC$ gives $a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1,$ $a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4.$

Adding, $10a^2=5,$ so $a=\dfrac{\sqrt2}{2}$ and $BC=2a=\sqrt2.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ de área $2002$ contiene un punto $P$ en su interior tal que $PA=24,$ $PB=32,$ $PC=28,$ y $PD=45.$ Halla el perímetro de $ABCD.$

A convex quadrilateral $ABCD$ with area $2002$ contains a point $P$ in its interior such that $PA=24,$ $PB=32,$ $PC=28,$ and $PD=45.$ Find the perimeter of $ABCD.$

$4\sqrt{2002}$

$2\sqrt{8465}$

$2\left(48+\sqrt{2002}\right)$

$2\sqrt{8633}$

$4\left(36+\sqrt{113}\right)$

Conceptos:área diagonal Teorema de Pitágoras acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Para cualquier cuadrilátero, el área es a lo sumo $\tfrac12\,d_1 d_2$ donde $d_1,d_2$ son las diagonales, con igualdad exactamente cuando son perpendiculares. Aquí $\begin{gathered} 2002=\text{Area} \\ {}\le \tfrac12\,AC\cdot BD \\ {}\le \tfrac12(PA+PC)(PB+PD) \\ {}= \tfrac12\cdot52\cdot77 \\ {}= 2002. \end{gathered}$

La igualdad obliga a que las diagonales sean perpendiculares y se corten en $P.$ Entonces $\begin{aligned} AB &= \sqrt{24^2+32^2}=40, \\ BC &= \sqrt{28^2+32^2}=4\sqrt{113}, \end{aligned}$ $\begin{aligned} CD &= \sqrt{28^2+45^2}=53, \\ DA &= \sqrt{45^2+24^2}=51. \end{aligned}$

El perímetro es $144+4\sqrt{113}=4\left(36+\sqrt{113}\right).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For any quadrilateral, the area is at most $\tfrac12\,d_1 d_2$ where $d_1,d_2$ are the diagonals, with equality exactly when they are perpendicular. Here $\begin{gathered} 2002=\text{Area} \\ {}\le \tfrac12\,AC\cdot BD \\ {}\le \tfrac12(PA+PC)(PB+PD) \\ {}= \tfrac12\cdot52\cdot77 \\ {}= 2002. \end{gathered}$

Equality forces the diagonals to be perpendicular and to intersect at $P.$ Then $\begin{aligned} AB &= \sqrt{24^2+32^2}=40, \\ BC &= \sqrt{28^2+32^2}=4\sqrt{113}, \end{aligned}$ $\begin{aligned} CD &= \sqrt{28^2+45^2}=53, \\ DA &= \sqrt{45^2+24^2}=51. \end{aligned}$

The perimeter is $144+4\sqrt{113}=4\left(36+\sqrt{113}\right).$

Thus, the correct answer is E.

25.

Sea $f(x)=x^2+6x+1,$ y sea $R$ el conjunto de puntos $(x,y)$ en el plano coordenado tales que $f(x)+f(y)\le0$ y $f(x)-f(y)\le0.$ El área de $R$ es la más cercana a

Let $f(x)=x^2+6x+1,$ and let $R$ denote the set of points $(x,y)$ in the coordinate plane such that $f(x)+f(y)\le0$ and $f(x)-f(y)\le0.$ The area of $R$ is closest to

$21$

$22$

$23$

$24$

$25$

Conceptos:completar el cuadrado círculo área

Nivel de dificultad: 2260

Solución:

Al completar el cuadrado, $\begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered}$ así que la primera condición es el disco de radio $4$ centrado en $(-3,-3).$

Además $\begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered}$ así que la segunda condición $(x-y)(x+y+6)\le0$ describe dos semiplanos limitados por las rectas perpendiculares que pasan por $(-3,-3)$ de pendientes $1$ y $-1.$ Estas cortan el disco en dos mitades iguales.

Así, $R$ tiene área $\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13,$ que es la más cercana a $25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Completing the square, $\begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered}$ so the first condition is the disk of radius $4$ centered at $(-3,-3).$

Also $\begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered}$ so the second condition $(x-y)(x+y+6)\le0$ describes two half-planes bounded by the perpendicular lines through $(-3,-3)$ of slopes $1$ and $-1.$ These cut the disk into two equal halves.

Thus $R$ has area $\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13,$ which is closest to $25.$

Thus, the correct answer is E.