Question

Todos los coeficientes no nulos de un polinomio $P$ con coeficientes reales se reemplazan por su media para formar un polinomio $Q.$ ¿Cuál de las siguientes podría ser una gráfica de $y = P(x)$ y $y = Q(x)$ en el intervalo $-4 \le x \le 4$ ?

The nonzero coefficients of a polynomial $P$ with real coefficients are all replaced by their mean to form a polynomial $Q.$ Which of the following could be a graph of $y = P(x)$ and $y = Q(x)$ over the interval $-4 \le x \le 4?$

Solución:

Reemplazar los coeficientes no nulos por su media mantiene sin cambios el total de los coeficientes, así que $P$ y $Q$ tienen la misma suma de coeficientes. Como $P(1)$ y $Q(1)$ son iguales cada uno a esa suma, $P(1) = Q(1).$

Por lo tanto las gráficas de $y = P(x)$ y $y = Q(x)$ deben cruzarse en $x = 1.$ La única opción que muestra una intersección en $x = 1$ es la gráfica B. (Allí, $P(x) = 2x^4 - 3x^2 - 3x - 4$ y $Q(x) = -2x^4 - 2x^2 - 2x - 2.$ )

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Replacing the nonzero coefficients by their mean keeps the total of the coefficients unchanged, so $P$ and $Q$ have the same coefficient sum. Since $P(1)$ and $Q(1)$ each equal that sum, $P(1) = Q(1).$

Therefore the graphs of $y = P(x)$ and $y = Q(x)$ must cross at $x = 1.$ The only choice showing an intersection at $x = 1$ is graph B. (There, $P(x) = 2x^4 - 3x^2 - 3x - 4$ and $Q(x) = -2x^4 - 2x^2 - 2x - 2.$ )

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años