Question

Una circunferencia de radio entero $r$ está centrada en $(r,r).$ Segmentos de recta distintos de longitud $c_i$ conectan los puntos $(0,a_i)$ con $(b_i,0)$ para $1\le i\le14$ y son tangentes a la circunferencia, donde $a_i,$ $b_i,$ y $c_i$ son todos enteros positivos y $c_1\le c_2\le\cdots\le c_{14}.$ ¿Cuál es la razón $\dfrac{c_{14}}{c_1}$ para el menor valor posible de $r$ ?

A circle with integer radius $r$ is centered at $(r,r).$ Distinct line segments of length $c_i$ connect points $(0,a_i)$ to $(b_i,0)$ for $1\le i\le14$ and are tangent to the circle, where $a_i,$ $b_i,$ and $c_i$ are all positive integers and $c_1\le c_2\le\cdots\le c_{14}.$ What is the ratio $\dfrac{c_{14}}{c_1}$ for the least possible value of $r?$

$\dfrac{21}{5}$

$\dfrac{85}{13}$

$7$

$\dfrac{39}{5}$

$17$

Solución:

La circunferencia centrada en $(r,r)$ con radio $r$ es tangente a ambos ejes. Un segmento de $(0,a)$ a $(b,0)$ con $a^2+b^2=c^2$ es tangente a ella cuando $r$ es igual al inradio $\tfrac{a+b-c}{2}$ o al semiperímetro $\tfrac{a+b+c}{2}$ del triángulo rectángulo con catetos $a,b.$

El caso del inradio se reordena como $(a-2r)(b-2r)=2r^2,$ así que el número de tales segmentos crece con el número de divisores de $2r^2.$ El menor $r$ que admite $14$ segmentos distintos es $r=6:$ el caso del semiperímetro da el triángulo $3$ - $4$ - $5$ (ambas orientaciones, $c=5$ ), y el caso del inradio da doce más, hasta $13$ - $84$ - $85$ con $c=85.$

Entonces $c_1=5$ y $c_{14}=85,$ así que $\dfrac{c_{14}}{c_1}=\dfrac{85}{5}=17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circle centered $(r,r)$ with radius $r$ is tangent to both axes. A segment from $(0,a)$ to $(b,0)$ with $a^2+b^2=c^2$ is tangent to it when $r$ equals either the inradius $\tfrac{a+b-c}{2}$ or the semiperimeter $\tfrac{a+b+c}{2}$ of the right triangle with legs $a,b.$

The inradius case rearranges to $(a-2r)(b-2r)=2r^2,$ so the number of such segments grows with the number of divisors of $2r^2.$ The least $r$ that admits $14$ distinct segments is $r=6:$ the semiperimeter case gives the $3$ - $4$ - $5$ triangle (both orientations, $c=5$ ), and the inradius case gives twelve more, up to $13$ - $84$ - $85$ with $c=85.$

Then $c_1=5$ and $c_{14}=85,$ so $\dfrac{c_{14}}{c_1}=\dfrac{85}{5}=17.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años