Question

Una circunferencia de radio entero $r$ está centrada en $(r,r).$ Segmentos de recta distintos de longitud $c_i$ conectan los puntos $(0,a_i)$ con $(b_i,0)$ para $1\le i\le14$ y son tangentes a la circunferencia, donde $a_i,$ $b_i,$ y $c_i$ son todos enteros positivos y $c_1\le c_2\le\cdots\le c_{14}.$ ¿Cuál es la razón $\dfrac{c_{14}}{c_1}$ para el menor valor posible de $r$ ?

A circle with integer radius $r$ is centered at $(r,r).$ Distinct line segments of length $c_i$ connect points $(0,a_i)$ to $(b_i,0)$ for $1\le i\le14$ and are tangent to the circle, where $a_i,$ $b_i,$ and $c_i$ are all positive integers and $c_1\le c_2\le\cdots\le c_{14}.$ What is the ratio $\dfrac{c_{14}}{c_1}$ for the least possible value of $r?$

$\dfrac{21}{5}$

$\dfrac{85}{13}$

$7$

$\dfrac{39}{5}$

$17$

Respuesta: E

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Terna pitagórica conteo de factores

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Un segmento de $(0,a)$ a $(b,0)$ tangente a esta circunferencia hace que $r$ sea el inradio o el semiperímetro del triángulo rectángulo con catetos $a,b$

A segment from $(0,a)$ to $(b,0)$ tangent to this circle makes $r$ the inradius or the semiperimeter of the right triangle with legs $a,b$

Pista grande:

Para el caso del inradio, $(a-2r)(b-2r)=2r^2,$ así que los divisores positivos de $2r^2$ cuentan los segmentos orientados

For the inradius case, $(a-2r)(b-2r)=2r^2,$ so positive divisors of $2r^2$ count the oriented segments

Solución:

El círculo de centro $(r,r)$ y radio $r$ es tangente a ambos ejes. Un segmento de $(0,a)$ a $(b,0)$ con $a^2+b^2=c^2$ es tangente al círculo cuando $r$ es el inradio $\tfrac{a+b-c}{2}$ o el semiperímetro $\tfrac{a+b+c}{2}$ del triángulo rectángulo de catetos $a,b.$

En el caso del inradio, sean $x=a-2r$ y $y=b-2r.$ Entonces $xy=2r^2,$ y cada divisor positivo $x$ determina un segmento orientado, con $a=x+2r,$ $b=\frac{2r^2}{x}+2r,$ y $c=x+\frac{2r^2}{x}+2r.$ Por tanto, hay exactamente $d(2r^2)$ segmentos de este tipo.

Para $r=1,2,3,4,5,$ estas cantidades son $2,4,6,6,6,$ y no hay caso de semiperímetro porque el menor triángulo rectángulo entero tiene semiperímetro $6.$ Para $r=6,$ $d(72)=12,$ y el triángulo $3$ - $4$ - $5$ aporta otros dos segmentos orientados. Por tanto, $6$ es el menor radio posible y produce exactamente $14$ segmentos.

Los dos segmentos del caso del semiperímetro tienen $c=5.$ En la familia del inradio, $c=x+\frac{72}{x}+12$ es máximo en $x=1$ o $72,$ y da $c=85.$ Así, $c_1=5,$ $c_{14}=85,$ y $\frac{c_{14}}{c_1}=17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circle centered $(r,r)$ with radius $r$ is tangent to both axes. A segment from $(0,a)$ to $(b,0)$ with $a^2+b^2=c^2$ is tangent to it when $r$ equals either the inradius $\tfrac{a+b-c}{2}$ or the semiperimeter $\tfrac{a+b+c}{2}$ of the right triangle with legs $a,b.$

In the inradius case, put $x=a-2r$ and $y=b-2r.$ Then $xy=2r^2,$ and every positive divisor $x$ determines one oriented segment, with $a=x+2r,$ $b=\frac{2r^2}{x}+2r,$ and $c=x+\frac{2r^2}{x}+2r.$ Thus there are exactly $d(2r^2)$ such segments.

For $r=1,2,3,4,5,$ these counts are $2,4,6,6,6,$ and no semiperimeter case is possible because the smallest integer right triangle has semiperimeter $6.$ At $r=6,$ $d(72)=12,$ and the $3$ - $4$ - $5$ triangle contributes two more oriented segments. Hence $6$ is the least possible radius and gives exactly $14$ segments.

The two semiperimeter segments have $c=5.$ In the inradius family, $c=x+\frac{72}{x}+12$ is largest at $x=1$ or $72,$ giving $c=85.$ Therefore $c_1=5,$ $c_{14}=85,$ and $\frac{c_{14}}{c_1}=17.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12A Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años