Question

¿Cuántas cadenas de longitud $5$ formadas con los dígitos $0,1,2,3,4$ hay tales que para cada $j\in\{1,2,3,4\},$ al menos $j$ de los dígitos son menores que $j$ ? (Por ejemplo, $02214$ satisface la condición porque contiene al menos $1$ dígito menor que $1,$ al menos $2$ dígitos menores que $2,$ al menos $3$ dígitos menores que $3,$ y al menos $4$ dígitos menores que $4.$ La cadena $23404$ no satisface la condición porque no contiene al menos $2$ dígitos menores que $2.$ )

How many strings of length $5$ formed from the digits $0,1,2,3,4$ are there such that for each $j\in\{1,2,3,4\},$ at least $j$ of the digits are less than $j?$ (For example, $02214$ satisfies the condition because it contains at least $1$ digit less than $1,$ at least $2$ digits less than $2,$ at least $3$ digits less than $3,$ and at least $4$ digits less than $4.$ The string $23404$ does not satisfy the condition because it does not contain at least $2$ digits less than $2.$ )

$500$

$625$

$1089$

$1199$

$1296$

Solución:

Ordena los cinco dígitos como $d_{(1)}\le d_{(2)}\le\cdots\le d_{(5)}.$ El requisito "al menos $j$ dígitos menores que $j$ " es equivalente a $d_{(j)}\le j-1$ para $j=1,2,3,4,$ es decir $d_{(1)}=0,\ d_{(2)}\le1,$ $\ d_{(3)}\le2,\ d_{(4)}\le3$ (con $d_{(5)}\le4$ automático).

Contar las cadenas ordenadas de dígitos de $\{0,1,2,3,4\}$ cuyos valores ordenados cumplen estas cotas da $1296.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Sort the five digits as $d_{(1)}\le d_{(2)}\le\cdots\le d_{(5)}.$ The requirement "at least $j$ digits less than $j$ " is equivalent to $d_{(j)}\le j-1$ for $j=1,2,3,4,$ i.e. $d_{(1)}=0,\ d_{(2)}\le1,$ $\ d_{(3)}\le2,\ d_{(4)}\le3$ (with $d_{(5)}\le4$ automatic).

Counting the ordered strings of digits from $\{0,1,2,3,4\}$ whose sorted values obey these bounds gives $1296.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años