Question

Un disfenoide es un tetraedro cuyas caras triangulares son congruentes entre sí. ¿Cuál es el área total de superficie mínima de un disfenoide cuyas caras son triángulos escalenos con lados de longitud entera?

A disphenoid is a tetrahedron whose triangular faces are congruent to one another. What is the least total surface area of a disphenoid whose faces are scalene triangles with integer side lengths?

$\sqrt3$

$3\sqrt{15}$

$15$

$15\sqrt7$

$24\sqrt6$

Solución:

Un disfenoide existe (como el tetraedro formado por los centros de las caras de una caja) exactamente cuando el triángulo común de las caras es acutángulo, y su área total de superficie es $4$ veces el área de una cara. Queremos el triángulo escaleno acutángulo de lados enteros con menor área. Los candidatos $(2,3,4)$ y $(3,5,6)$ son obtusángulos, y $(3,4,5)$ es rectángulo (lo que da una figura plana degenerada), pero $(4,5,6)$ es acutángulo ya que $4^2+5^2\gt6^2.$ Por Herón con $s=\tfrac{15}2,$ su área es $\sqrt{\tfrac{15}2\cdot\tfrac72\cdot\tfrac52\cdot\tfrac32}=\tfrac{15\sqrt7}{4}.$ El área total de superficie es $4\cdot\tfrac{15\sqrt7}{4}=15\sqrt7.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A disphenoid exists (as the tetrahedron formed by the face-plane midpoints of a box) exactly when the common face triangle is acute, and its total surface area is $4$ times one face's area. We want the smallest-area acute scalene integer triangle. The candidates $(2,3,4)$ and $(3,5,6)$ are obtuse, and $(3,4,5)$ is right (giving a degenerate flat figure), but $(4,5,6)$ is acute since $4^2+5^2\gt6^2.$ By Heron with $s=\tfrac{15}2,$ its area is $\sqrt{\tfrac{15}2\cdot\tfrac72\cdot\tfrac52\cdot\tfrac32}=\tfrac{15\sqrt7}{4}.$ The total surface area is $4\cdot\tfrac{15\sqrt7}{4}=15\sqrt7.$ Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años